第02讲 实数的运算及大小比较
1．实数的大小比较
(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右_边的数总大于_左__边的数；
(2)代数比较法：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而_小__；
(3)差值比较法：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；
a－b＜0?a＜b；
(4)求商比较法：若b＞0，则＞1?a＞b；
＝1?a＝b；＜1?a＜b；
(5)倒数比较法：若＞且a与b同号时，a＜b；
(6)平方比较法：对于任意正实数a，有a2＞b?a＞.
3.非负数
(1)常见非负数：|a|，a2，(a≥0)；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.
4．实数的运算
(1)零指数幂：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂：a－p＝(a≠0)；
(3)去绝对值符号：|a－b|＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝；
注意：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．
(5)实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算_乘除，最后算_加减_，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，同级运算应_从左到右_依次计算．
考点1： 实数的大小比较
【例题1】（2018?咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【答案】
【解析】：4＜5＜9，2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．故答案为．
归纳：两个实数比较大小，先将两个数化简成易于比较的同类数，再进行比较．
考点2： 实数的运算
【例题2】(2018·石家庄十八县大联考)嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：(－7)0＋|1－|＋()－1－□＋(－1)2 018.
经询问，王老师告诉题目的正确答案是1.
(1)求被覆盖的这个数是多少？
(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值．
【解析】：(1)原式＝1＋－1＋－□＋1＝1，
∴□＝1＋－1＋＋1－1＝2.
(2)α为三角形一内角，
0<α<180.
∴－15°<(α－15)°<165°.
2tan(α－15)°＝2，
(α－15)°＝60°.
α＝75.
归纳：考查实数的运算，先分别计算出每一项的值，再根据实数混合运算的顺序进行计算，即先乘除，再加减，同级运算，按从左向右进行计算．
一、选择题：
1. （山东滨州 1，3分）等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B．
【解答】解：，故选择B ．
2. （江苏省扬州市，1，3分）与-2的乘积为1的数是 ( )
A．2 B．-2 C． D．
【答案】D
【解答】解：与-2乘积为1的数就是-2的倒数，等于，故选择D ．
3. （ 江苏省淮安市，6，3分）估计的值( ).
A．在1和2之间 B． 在2和3之间 C．在3和4之间 D． 在4和5之间
【答案】C．
【解答】解：4<7<9 ∴＜＜ 即2＜＜3 2+1＜+1＜3+1
3＜+1＜4，故选择C．
4. （2018?福建）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【答案】B
【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故选：B．
5. （江苏泰州，6，3分）实数a、b满足，则的值为
A．2 B． C．?2 D．?
【答案】B
【解答】解：由题意：，所以，解之得，所以，故选择B．
二、填空题：
6. （ 河南省，9，3分）计算：
【答案】-1
【解答】解：（-2）0 -=1-2 = -1，故答案为-1 .
7. （2019?浙江嘉兴?4分）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为 （用“＜”号连接）．
【答案】b＜﹣a＜a＜﹣b
【解析】解：a＞0，b＜0，a+b＜0，
|b|＞a，
﹣b＞a，b＜﹣a，
四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．
故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b
8. （ 湖北省十堰市，12，3分）计算：|-4|-（）-2=______________
【答案】-2
【解答】解：|-4|-（）-2=|2-4|-=|-2|-4=-2 .
9. （山东滨州18，4分）下列式子：
……
可猜想第个式子为 ．
【答案】
【解答】解：观察每个式子的第二个数依次是3，9，27，81这些数分别是，，，，因此第个式子的第2个数是，每个式子的第一个数总是比第2个数小2，因此第个式子的第1个数是，每个式子的最后一个数总比第2个数小1，因此第个式子的最后一个数是，所以第个式子是．
故答案为：
三、解答题：
10. (2019?云南?6分)计算：．
【分析】原式利用乘方，零指数幂、算术平方根、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解析】解：原式＝9＋1－2－1＝7．
11. （广东茂名，16，7分）计算：（－1）+－－（π－3.14）0.
【提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、二次根式的化简、绝对值的意义、零整数指数幂的值和同类二次根式的合并法则．先分别计算（－1）、、、（π－3.14）0的值，然后再进行实数、二次根式加减运算. 【解答】解：原式=1+2－－1=2－= .
12. （江苏省扬州市，19（1），4分）计算：；
【提示】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是正确化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式等运算．本题先逐个化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式，再按照运算顺序计算．
【解答】解：原式=9﹣+6×=9﹣2+3=9+；
13. （江苏省宿迁市，17，6分）计算：
【提示】根据特殊角的三角函数值，负指数、零指数幂的运算及算术平方根分别计算即可.
【解答】解：原式=2×=．
14. （2019?甘肃武威?6分）计算：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0
【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：（﹣2）2﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0，
＝4﹣（2﹣）﹣2×+1，
＝4﹣2+﹣+1，
＝3．
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