第03讲 整式及其因式分解（教师版） 备战2020中考数学专题复习分项提升

第03讲 整式及其因式分解



1．代数式及求值

(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；

(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；

(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．

2．整式及有关概念

(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；

(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_；

(3)整式：单项式和多项式统称为整式；

(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．

4．整式的运算

(1)整式的加减

整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数_不变．

(2)整式的乘法

①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；

②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；

③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；

④乘法公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2_；

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2

(3)整式的除法

①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

5．因式分解

(1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形．

(2)因式分解的方法

①提取公因式法：

ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．

公因式的确定：(3)因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；

②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；

④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x4－4＝(x＋2)(x－2)．在实数范围内分解因式时x－4＝(x＋2)(x＋)(x－)题目不作说明的表明是在有理数范围内分解因式．

考点1： 整式的运算

【例题1】（2019?湖北武汉?8分）计算：（2x2）3﹣x2?x4．

【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．

【解答】解：（2x2）3﹣x2?x4

＝8x6﹣x6

＝7x6．

归纳：整式的运算中需注意以下几点：

(1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a2)3＝a2×3.

(2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a2·a3＝a2＋3.

(3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方．

(4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：

①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；

②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；

③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；

④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.

考点2： 因式分解

【例题2】把4a2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．

(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；

(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．

【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a2＋2a＝2a(2a＋1)；

4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2；4a2－1＝(2a－1)(2a＋1)．

(2)答案不唯一，例如：

①4a2－4b2＝4(a2－b2)＝4(a＋b)(a－b)；

②4a2－a4＝a2(4－a2)＝a2(2－a)(2＋a)；

③4a2－8ab＋4b2＝4(a2－2ab＋b2)＝4(a－b)2.

归纳：公式法分解因式需注意以下几点：

(1)公式中的“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；

(2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．

考点3： 整式的综合运用

【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．

(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；

(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

【解析】：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)

＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2

＝－2x2＋6.

(2)设“”是a，则

原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)

＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2

＝(a－5)x2＋6.

∵标准答案的结果是常数，

∴a－5＝0.

解得a＝5.

归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式



一、选择题：

1. （2019?湖南株洲?3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）

A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5

【答案】C

【解答】解：A.2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；

B.3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；

C.﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；

D.﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C．

2. （ 四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是( )．答案．

【解答】解：幂的乘方运2019?湖南株洲?3分）下列各选项中因式分解正确的是（　　）

A．x2﹣1＝（x﹣1）2 B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）

C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2） D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2

【答案】D

【解答】解：A.x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；

B.a3﹣2a2+a＝a2（a﹣1），故此选项错误；

C.﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；

D.m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．

故选：D．

4. （2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（ab）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）



A．2a B．2b C．2a﹣2bD．﹣2b

【解答】S1=（AB﹣a）?a（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）?a（AB﹣b）（AD﹣a），

S2=AB（AD﹣a）（a﹣b）（AB﹣a），

S2﹣S1=AB（AD﹣a）（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣ABb）（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b?AD﹣ab﹣b?ABab=b（AD﹣AB）=2b．

故选：B．

（2018?绍兴）下面是一位同学做的四道题：（ab）2=a2b2，（﹣2a2）2=﹣4a4，a5÷a3=a2，a3?a4=a12．其中做对的一道题的序号是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】（ab）2=a22ab+b2，故此选项错误；

（﹣2a2）2=4a4，故此选项错误；

a5÷a3=a2，正确；

a3?a4=a7，故此选项错误．

故选：C．

2019?湖南怀化?4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于　 　．

【答案】-5

【解答】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，

故答案为：﹣5．

7. （2018湖北荆州（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是　5　．



第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，

第2n次输出的结果是5，第2n1次输出的结果是1（n为正整数），

第2018次输出的结果是5．

故答案为：5．

2019?湖北十堰?3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．

【答案】﹣3或4．

【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，

（2m﹣1）2﹣49＝0，

（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，

2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，

所以m1＝﹣3，m2＝4．

故答案为﹣3或4．

9. 2019?河北?4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则（1）用含x的式子表示m＝　 　；

（2）当y＝﹣2时，n的值为　 　．

【解答】解：（1）根据约定的方法可得：

m＝x+2x＝3x；

故答案为：3x；

（2）根据约定的方法即可求出n

x+2x+2x+3＝m+n＝y．

当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．

解得x＝﹣1．

∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．

故答案为：1． （2018?邵阳）先化简，再求值：（a﹣2b）（a2b）﹣（a﹣2b）28b2，其中a=﹣2，b=．

原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

：原式=a2﹣4b2﹣a24ab﹣4b28b2=4ab，

当a=﹣2，b=时，原式=﹣4．



























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