第04讲 分式
1．分式的基本概念
(1)形如(A、B是整式且B中含有字母)的式子叫做分式．
(2)当B≠0时分式有意义；当B0时分式无意义；当A0 时分式的值为零.
分式的性质
(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式分式的值不变即＝＝；(M是不等于零的整式)
(2)分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变．即＝－＝－＝.
最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式那么这个分式叫做最简分式．
4
(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
(2)确定最简公分母：
确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
(3)约分：把分式中分子与分母的___公因式____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
(4)分式的运算法则：
加减法：
同分母加减法：±＝__；
异分母加减法：±＝.
乘除法：
·＝； ÷＝___．
乘方：()＝
考点1： 分式的化简
【例题1】下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分母同时除以最大公因式，D选项正确的变形是所以答案是D选项
考点2： 分式的化简
【例题2】（2018包头）化简；（﹣1）= ．
﹣．
：原式=（﹣）
=
=?
=﹣，
故答案为：﹣．
【例题3】先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a2－a－6＝0.
【解答】解：原式＝÷
＝·
＝.
∵a2－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2.
∴当a＝－2时，原式＝－.
归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．
2．分式化简求值的一般步骤：
第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；
第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；
第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减；
第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．
一、选择题：
1. （2018?金华）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【解答】由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x3≠0，
解得x=3．
故选：A．
（2018?台州）计算，结果正确的是（ ）
A．1 B．x C． D．
【解答】原式=
=1故选：A．
（201?江苏扬州?）分式可变形为( D )
A. B.- C. D.
【答案】：故选B.
【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号
（2019?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落（ ）
A．段 B．段 C．段 D．段
【答案】B
【解析】∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又x为正整数，
≤x＜1
故表示﹣的值的点落在
5. （2019?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ）
A．5 B．﹣ C． D．
【答案】D
【解答】解：∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝，
故选：D．
二、填空题：
6. （2019?江苏泰州?3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】 x≠
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
7. （2018?襄阳）计算﹣的结果是 ．
【解答】原式=
==，故答案为：．
（2018四川自贡4分）化简结果是 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
故答案为：
先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．
设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是 ；
②铅笔的零售价每支应为 元；
③批发价每支应为 元．（用含x、m的代数式表示）．
【分析】①关系式为：学生数300，学生数60≥301列式求值即可；
②零售价=总价学生实有人数；
③批发价=总价（学生实有人数60）．
【解答】解：①由题意得：
x300，x60≥301，
241≤x≤300；
②铅笔的零售价每支应为元；
③批发价每支应为元．
10. （2018?玉林）先化简再求值：（a﹣），其中a=1，b=1﹣．
据分式的运算法则即可求出答案，
：当a=1，b=1﹣时，
原式=?
=?
===
先化简（1﹣），再从不等式2x﹣16的正整数解中选一个适当的数代入求值．
【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可．
【解答】解：（1﹣）=×=，
2x﹣16，
2x＜7，
x＜，
把x=3代入上式得：
原式==4．
【解析】：原式＝[－]÷
＝(－)·
＝·
＝a＋3.
∵a≠－3，2，3，
∴a＝4或a＝5.
∴当a＝4时，原式＝7.(或当a＝5时，原式＝8.)
13. (2018·石家庄模拟)化简÷－，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
【解析】：原式＝·＋
＝＋
＝.
∵a与2，3构成△ABC的三边，
∴1
又∵a为整数，
∴a＝2，3，4.
又∵a≠±2且a≠3，∴a＝4.
∴当a＝4时，原式＝1.
14. 问题探索：
（1）已知一个正分数（mn＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（mn＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣=，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）（mn＞0）
证明：﹣=，
又m＞n＞0，
＜0，
＜．
（2）根据（1）的方法，将1换为k，有（mn＞0，k0）．
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：，
所以住宅的采光条件变好了．
2
|
|
