第05讲 二次根式
1．二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
二次根式有意义的条件：_a≥0 ．
2．二次根式的性质
3．最简二次根式
必须满足两个条件
4．同类二次根式
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
5．二次根式的运算
(1)加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行加减运算．
(2)乘法：·＝；
(3)除法：＝__．
6．二次根式的估值
二次根式的估算，一般是对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间.
【高频考点】
考点1：二次根式的概念
【例题1】（广东省广州市，12，3分）代数式有意义时，实数x的取值范围是 ．
【答案】x≤9
【提示】要使二次根式有意义，只需满足被开方数是非负数即可．通过解不等式，即得实数x的取值范围．
【解答】解：代数式有意义，9－x≥0，解得x≤9．故答案为x≤9．
归纳：式子 (a≥0)叫做二次根式．(a≥0)；|a|；a2；是初中阶段常见的非负数形式，若几个非负数的和为0，则这几个数均为0，据此可求某些字母的值．
考点2:二次根式的运算
【例题2】（江苏盐城，19（2），4分）计算： (3－)(3＋)＋(2－)．
【提示】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和乘法公式，先根据平方差公式、单项式乘多项式的法则分别进行运算，再化简．
【解答】解：原式＝2+2－2＝2．
点拨：二次根式的运算，若是加减运算时，先将每一项化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式合并；若是乘除运算时，先将被开方数相乘或相除，再将所得的数开方并化为最简二次根式；若是混合运算时，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的顺序进行计算，同时注意运算的结果必须是最简二次根式．
考点3：二次根式与其它知识的综合应用
【例题:3】（2018?枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【答案】1
【解析】：S=，
ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2018?扬州）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3
【答案】C
解：由题意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：C．
2. （2018?绵阳）等式=成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】由题意可知：
解得：x≥3
故选：B．
3. (2019?湖南益阳?4分)下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、＝2，故本选项错误；
选项B、，故本选项错误；
选项C、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
选项D、根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选D．
4. （2019?湖南湘西州?4分）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 3 ．（用科学计算器计算或笔算）．
【答案】3
【解答】解：解：由题图可得代数式为．
当x＝16时，原式＝÷2+1＝4÷2+1＝2+1＝3．
故答案为：3
5. (2019?湖北宜昌?3分)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为( )
A．6 B．6 C．18 D．
【答案】A
【解答】解：a＝7，b＝5，c＝6．
p＝＝9，
ABC的面积S＝＝6；
故选：A．
二、填空题：
6. 化简= x ．（x≥0）
【答案】x
解析：原式==x．
故答案为：x
7. （2018?广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+= ．
【答案】2
【解答】由数轴可得：
0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
8. （2018·广东广州·3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
【答案】2
【解析】解：由数轴可知： 0
a-2<0，
原式=a+ =a+2-a=2.
故答案为：2.
9. （2019，山东枣庄，4分）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为 ．
【答案】2018．
【解答】解：+++…+
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝2018，
故答案为：2018．
三、解答题：
10. (2018·徐州)已知x＝＋1，求x2－2x－3的值．
解：原式＝(x－3)(x＋1)，将x＝＋1代入到上式，则可得，
原式＝(＋1－3)×(＋1＋1)＝(－2)×(＋2)＝－1.
11. 2018?陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0
解：原式=+﹣1+1
=3+﹣1+1
=4．
12. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
(2)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：由题意，得
4＝2mn，且m，n为正整数，
m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.
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