第6讲 一次方程(组)及其应用
1．等式的基本性质
性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．方程及方程的解
(1)方程：含有未知数的等式．
(2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．
3．一元一次方程
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程．
(2)解一元一次方程主要有以下步骤：去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；移项(注意移项要变号)；合并同类项；系数化1.
4．二元一次方程
(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．
(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解．
(3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．
5．二元一次方程组
(1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组．
(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法.
方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单；
方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．
6．三元一次方程组
(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．
(2)三元一次方程组的解法：
7．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设：设关键未知数；
(3)找：找出各量之间的等量关系；
(4)列：根据等量关系列方程(组)；
(5)解：解方程(组)；
(6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意；
(7)答：规范作答，注意单位名称．
8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程；
水中航行问题：
-
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量．
(3)利润问题：
利润＝售价－进价＝进价×利润率；
售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ．
(4)利息问题：
利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息．
考点1：一元一次方程(组)的解法
【例题1】(2017·广州)解方程组：
【解答】 解：方法一：由，得x＝5－y.
把代入，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1.
把y＝1代入，得x＝5－1＝4.
原方程组的解为
方法二：由，得y＝5－x.
把代入，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4.
把x＝4代入，得y＝5－4＝1.
原方程组的解为
方法三：×3－，得x＝4.
把x＝4代入，得y＝1.
原方程组的解为
方法四：－×2，得y＝1.
把y＝1代入，得x＝4.
原方程组的解为
考点2：一元一次方程(组)的应用
【例题2】（2019?湖北黄石?8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得
x：600＝100：60
x＝1000
1000﹣600﹣100＝300
答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得
y＝200+y
y＝500
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的几倍”、“比…几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等，正方形四边相等或裁剪拼接和折叠前后的对应关系等．
考点3：二元一次方程(组)的解法
【例题3】（2018?德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y= ．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
【解答】：由题意可知：，
解得：
x＜y，
原式=5×12=60
故答案为：60
考点4：二元一次方程(组)的应用
【例题4】(2019甘肃省陇南市)（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
一、选择题：
1. （2019?湖南怀化?4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
【答案】A
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
2. 若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．1
【考点】解三元一次方程组．
【答案】C
【解答】：由题意可得方程x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则x=y=2；
然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）=6；
解得：a=2．
故选C．
3. （2019，四川巴中，4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解答】解：将代入得：
，
a+b＝2；
故选：B．
4. （2019?浙江宁波?4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元
【答案】A
【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
y＝x+7，
5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．
故选：A．
5. ( 2019甘肃省兰州市) （4分）?九章算术?是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：
4x+y＝5y+x，故选C.
二、填空题：
6. 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_______cm2.
【答案】10×40＝400(cm2)
【解析】：设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm，根据题意可得：
2x＝x＋4(50－x)，
解得：x＝40，
故50－x＝10(cm)．
则一个小长方形的面积为：10×40＝400(cm2)
7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
【答案】15
【解答】
当y=127时，解得：x=43；
当y=43时，解得：x=15；
当x=15时,解得不符合条件。
则输入的最小正整数是15.
故答案为：15.
8. （2019?湖南岳阳?4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
【答案】
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝，
即该女子第一天织布尺．
故答案为：．
9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是 ．
【答案】﹣．
【解答】：当y=﹣3时，
3x+5×（﹣3）=﹣3，
解得：x=4，
把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得，
3×（﹣3）﹣2a×4=a+2，
解得：a=﹣．
三、解答题：
10. (2018·嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由－，得3x＝3.
解法二：由，得3x＋(x－3y)＝2，
把代入，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【解析(1)解法一中的解题过程有错误，
由－，得3x＝3“×”．
应为由－，得－3x＝3.
(2)由－，得－3x＝3，解得x＝－1.
把x＝－1代入，得－1－3y＝5，解得y＝－2.
故原方程组的解是
11. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
【解析(1)甲对，乙不对．理由：
θ＝360°，(n－2)×180°＝360°.
解得n＝4.
θ＝630°，(n－2)×180°＝630°.解得n＝.
n为整数，θ不能取630°.
(2)依题意，得
(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.
解得x＝2.
12. (2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．
【解答】 解：方法一：设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种车每辆一次运土y立方米，由题意，得
解得
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
方法二：设甲种车每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，由题意，得
5x＋2(36－3x)＝64，解得x＝8.则36－3x ＝12.
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
方法三：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题意，得
5×＋2x＝64，解得x＝12.则＝8.
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
方法四：设甲种车每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土立方米，由题意，得
3x＋＝36，解得x＝8.则＝12.
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
方法五：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题意，得
3×＋x＝36，解得x＝12.则＝8.
答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．
13. (2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
=10（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
14. 如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O恰好到达点A处．
(1)将这枚硬币从点A开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B，则点B对应的数是－3；
(2)将这枚硬币从表示数a的点C处开始，先向左滚动1周，得到点D，再向右滚动5周得到点E，最后向左滚动2周得到点F.若点D，E，F所代表的数字之和为8，求a的值．
【解析】根据题意，点C表示的数为a，向左滚动1周得到点D，
则点D表示的数为a－3，再向右滚动5周得到点E，
则点E表示的数为a－3＋3×5，再向左滚动2周得到点F，
则点F表示的数为a－3＋3×5－3×2，
a－3＋(a－3＋15)＋(a－3＋15－6)＝8，
解得a＝－.
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