第9讲 不等式(组)及其应用
1．不等式的基本性质
性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)不等号方向；如果a＞b那么a±c>b±c；
性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数不等号方向；如果a＞b＞0那么ac>bc>；
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数不等号方向；如果＞b＜0那么ac
2．一元一次不等式
(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变)．
(3)解集在数轴上表示：
①画数轴 ②定边界 ③定方向 x＞a ＜a 3.
(1)定义：一般地，关于同一个未知数的几个不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
注意：不等式的解可以是一个或多个数值，而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合．
(3)解一元一次不等式组的步骤：①分别解每个一元一次不等式；②在数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得到不等式组的解集；
(4)几种常见的不等式组的解集(a>b，且a、b为常数)：
不等式
组(a>b) 图示 解集 口诀 x≥a 同大取大 x≤b 同小取小 a≤x≤b 大小、小大 中间找 无解 小小、大大 找不到 4.
(1)列不等式解应用题的基本步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的不等量关系；④列出不等式；⑤解不等式；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．
(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(＞)”、“不大于(≤)”等词，要正确理解这些词的含义．
考点1：解一元一次不等式
2018广西桂林（6.00分）解不等式x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
：去分母，得：5x﹣13x+3，
移项，得：5x﹣3x3+1，
合并同类项，得：2x4，
系数化为1，得：x2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1(组)的解集直观地表示在数轴上，体现数形结合的思想；3．在画图时，先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈，再确定方向(大向右，小向左)．
考点2：解一元一次不等式组
】
【解答】解：解不等式①，得x≤2.
解不等式②，得x＞1.
∴不等式组的解集为1＜x≤2.
将其表示在数轴上，如图所示．
归纳：在数轴上表示解集时，大于号向右，小于号向左，有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈． (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起．
考点3：一元一次不等式的实际应用
【例题3】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾?稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾?稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾?稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．
【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，
由题意得：，
解得：；
答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，
由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，
解得：z≥640；
答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．1.利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．
【例题4】(2018·河北中考预测)如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD＝4，且在数轴上移动．
(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上；
(2)当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间．
【解析】：(1)∵AB＝3－a，2AB表示的数始终位于点A的左侧，
∴2(3－a)2.
∵a<3，
∴a的取值范围为2
在数轴上表示如图．
(2)∵CD＝4，且当点B落在C，D两点之间，
∴解得3
∵t是整数，
∴t可以取4，5或6.
一、选择题：
1. (2019甘肃省（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3 D．x≥﹣3
【】
【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3；
故选：A．
（201?湖北荆门?3分）已知关于x的不等式3x﹣m1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．4m＜7 B．4m＜7 C．4m≤7 D．4m≤7
【】
【解答】解：解不等式3x﹣m1＞0，得：x，
不等式有最小整数解2，
1≤＜2，
解得：4m＜7，
故选：A．
（201?山东滨州?3分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B． C． D．
【】
【解答】解：解不等式x1≥3，得：x2，
解不等式﹣2x﹣6﹣4，得：x﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
2019?湖南怀化?4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【】
【解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，
由题意知，
解得：＜x＜12，
∵x为整数，
∴x＝11，
则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），
故选：C．
5. 2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（ ）
A．112 B．121 C．134 D．143
【】
【解答】解：设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：15x﹣1000﹣5x0.2（10005x），
解得：x133，
x为整数，
x≥134．
答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选：C．
6. （2018??3分）不等式组的解集为 ．
【】﹣3x≤．
【解答】解：解不等式3x1≥5x，得：x，
解不等式﹣2，得：x﹣3，
则不等式组的解集为﹣3x≤，
故答案为：﹣3x≤．
的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥﹣3．
【解答】解：解这个不等式组为x＜a﹣4，
则3a+2≥a﹣4，
解这个不等式得a≥﹣3
8. （2017山东烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
【】：x8．
【解答】解：依题意得：3x﹣618，
解得x8．
故答案是：x8．
9. 解不等式组并求出其最小整数解．
解：令：
解不等式①得x>－2
解不等式②得－x≥1不等式两边同乘以－得x≤－.∴原不等式组的解集为－2
原不等式组的最小整数解是－1
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
【解析】：(1)设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得
＋＝1.解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙单独整理80分钟完工．
(2)设甲整理y分钟，根据题意，得
＋≥1.解得y≥25.
答：甲至少整理25分钟才能完工.
11. (2018·唐山丰润区一模)小明解不等式－≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.①
去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.②
移项，得3x－4x≤1－3－1.③
合并同类项，得－x≤－3.④
两边都除以－1，得x≤3.⑤ 【解析】：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6.
去括号，得3＋3x－4x－2≤6.
移项，得3x－4x≤6－3＋2.
合并同类项，得－x≤5.
两边都除以－1，得x≥－5.
12. （2019?四川省凉山州?10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为 ﹣1＜x＜3 ．
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，
由②得，﹣1＜x＜3，
∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
（2）由＜0知①或②，
解不等式组①，得：x＞1；
解不等式组②，得：x＜﹣4；
所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．
13. (2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元？
(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【分析】 (1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，列方程组求解可得；(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元列不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】 解：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意，得
解得
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件，根据题意，得
16a＋4(100－a)≤900.解得a≤.
∵a为整数，∴a≤41.
答：A种奖品最多购买41件．
14. （2019?山东省聊城市?8分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 20 30 B品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 （1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；
（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（m+5）件，
则240m+180（m+5）≤21300，
解得：m≤40，
经检验，不等式的解符合题意，
∴m+5≤×40+5＝65，
答：最多能购进65件B品牌运动服．
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