第10讲 平面直角坐标系与函数
1．平面直角坐标系中点坐标的特征
注意：坐标轴不属于任何象限．
2．对称点坐标的规律
(1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标为(x，－y)；
(2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标为(－x，y)；
(3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变．
3．平移前后，点的坐标的变化规律
(1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)；
(4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．
4．点坐(1)点P(a)到x轴的距离为|b|；(2)点P(a)到y轴的距离为|a| ；(3)点P(a)到原点的距离为5．常量、变量
在某一过程中，保持数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
6．函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
7．函数自变量的取值范围
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．
8．函数的表示方法及图象：
(1)函数的三种表示方法：列表法；图象法；解析式法．
(2)函数图象的画法：
①描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线．
②画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围.
考点1： 直角坐标系与点坐标
【例题1】（2018?港南区一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x21）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
x2≥0，
x2+1≥1，
点P（﹣2，x21）在第二象限．
故选：B．
考查通过作坐标系确定点的位置关键是根据题中所给坐标画出适2018海南（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把ABC向左平移6个单位长度，得到A1B1C1，则点B1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2）
【】根据点的平移的规律：向左平移a个单位，坐标P（x，y）P（x﹣a，y），据此求解可得．
点B的坐标为（3，1），
向左平移6个单位后，点B1的坐标（﹣3，1），
故选：C．
本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
2019?湖北天门?3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+ 上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是 （97，32） ．
【分析】根据菱形的边长求得A1.A2.A3…的坐标然后分别表示出C1.C2.C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°?OC1＝，横坐标为cos60°?OC1＝，
∴C1（，），
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°?A1C2＝，代入y＝x+ 求得横坐标为2，
∴C2（，2，），
C3的纵坐标为：sin60°?A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，
∴C3（11，4），
∴C4（23，8），
C5（47，16），
∴C6（97，32）；
故答案为（97，32）．
考点3： 函数图像的判断
【例题3】(2017·西宁)如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC－CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(A)
A B C D
【解析】 △AMN的底为x，点N在线段DC上时，△AMN的高为3，不变，y＝x；点N在线段CB上时，△AMN的高为3＋3－2x＝6－2x，y＝x(6－2x)．
归纳：运动背景下的函数图象问题，第一，要数形结合，将运动过程与图象完全对应起来；第二，可先从图象上判断自变量的取值范围是否与运动实际过程一致，然后结合图象的趋势判断是否与实际过程一致；第三，可选取图象上的特殊点看是否符合运动过程；第四，可尝试求出函数关系式，再根据函数关系式的类型去判断．在复习时遇到判断函数图象的问题时，容易想到学过的一次函数、二次函数、反比例函数，但要注意一些分段函数及非常规的函数．
一、选择题：
1. （2019?广西贵港?3分）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，
解得：m＝﹣2，n＝7，
则m+n＝﹣2+7＝5．
故选：C．
2. （2018湖北省武汉3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣5，2）
【解答】解：点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）．
故选：A．
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A
【解答】解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
4. （2019?湖北黄石?3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B''的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（3，2） D．（﹣1，0）
【答案】C
【解答】解：如图所示，
由旋转得：CB''＝CB＝2，∠BCB''＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB＝1，
∴B''（2+1，2），即B''（3，2），
故选：C．
5. （201?山东潍坊?3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．
故选：D．
（浙江临安3分）P（3，﹣4）到x轴的距离是 ．【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是﹣4=4．
故答案为：4．
某雷达探测目标得到的结果如图所示,若记图中目标A的位置为(3,30°),目标B的位置为(2,180°),目标C的位置为(4,240°),则图中目标D的位置可记为
【答案】（5，120°）．
【解析】由图可知，图中目标D的位置可记为（5，120°）．故答案为：（5，120°）．
8. (2019甘肃省中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 （﹣1，1） ．
【】（﹣1，1）．
【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
2018广西贵港（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ 2n﹣1，0 ）．
【】（2n﹣1，0）．
【解答】直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1x轴，
当x=1时，y= ，
即B1（1，），
tan∠A1OB1=，
A1OB1=60°，A1B1O=30°，
OB1=2OA1=2，
以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0．
，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
【解答】解：，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），
∴点P在的第四象限．
11. 线段AB在直角坐标系中的位置如图．
（1）写出A、B两点的坐标．
（2）在y轴上找点C，使BC长度最短，写出点C的坐标．
（3）连接AC、BC并求出三角形ABC的面积．
（4）将三角形ABC平移，使点B与原点重合，画出平移后的三角形A1B1C1．
【解答】（1）A（1，3），B（3，1）；
（2）C（0，1）；
（3）三角形ABC的面积：×3×2=3；
（4）如图所示：A1B1C1即为所求．
在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若SBCD=7（SBCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使=（SPCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据SBCD=7（SBCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用=，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
设3a=﹣2，0b=4，
a=﹣5，b=4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）点C在y轴上，点D在第二象限，
线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2y）个单位，符合题意，
C（0，2y），D（﹣2，y），
连接OD，
SBCD=S△BOC+S△COD﹣SBOD
=OB×OC+OC×2﹣OBy=7，
y=2，
C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
PC=|4﹣m，
=，
4﹣m2=×7，
4﹣m=，
m=﹣或m=，
存在点P，其坐标为（0，﹣）或（0，）．
（201?甘肃庆阳?3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB?BC＝3，即AB?BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB?BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
（2018?嘉兴）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．
秋千摆动第一个来回需多少时间？
【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；
（2）根据函数图象可以解答本题；
根据函数图象中的数据可以解答本题．
【解答】（1）由图象可知，
对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
变量h是关于t的函数；
（2）由函数图象可知，
当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；
由图象可知，
秋千摆动第一个来回需2.8s．
（1）如图1，梯形ABCD中对角线交于点O，ABCD，请写出图中面积相等的三角形；
（2）如图2，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（﹣2，3），B（2，1）．
分别求三角形ACO和三角形BCO的面积及点C的坐标；
请利用（1）的结论解决如下问题：D是边OA上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB于点E（要有适当的作图说明）．
【解答】解：（1）AB∥DC，
S△ABD=S△ABC，SADC=S△BDC，
S△AOD=S△BOC．
（2）点A（﹣2，3），B（2，1），
直线AB的解析式为y=﹣x2，
C（0，2）
S△AOC=×2×2=2，SBOC=×2×2=2，（3）连接CD，过点O作OECD交AB于点E，连接DE，则DE就是所作的线．
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