第11讲 一次函数及其应用
1．一次函数的概念一般地形如ykx＋b(k≠0) 的函数叫做一次函数当＝时＝kx＋b即为y＝kx叫做正比例函数所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．一次函数的图象与性质(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线它与x轴的交点坐标为(－)，与y轴的交点坐标为正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是过(0b) 的一条直线．(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象所经过的象限及增减性．
k、b的符号 函数图象 图象的位置 增减性 k＞0 b＞0 图象过第一、二、三象限 y随x的增大而增大 b＝0 图象过
第一、三象限 y随x的增大而增大 b＜0 图象过第一、三、四象限 y随x的增大而增大 k＜0 函数图象 图象的位置 增减性 b＞0 图象过第一、二、四象限 y随x的增大而减小 b＝0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小 b＜0 图象过
第二、三、四 象限 y随x的增大而减小 3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数解析式一般形式y＝kx＋b(k≠0); (2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入y＝kx＋b得到方程(组); (3)求：解方程(组)求出k的值； (4)写：写出一次函数的解析式．一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数的解析式y＝kx＋b就是一个二元一次方程；(2)一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的__横坐标__就是方程kx＋b＝0的解；(3)一次函数y＝k＋b与y＝k＋b的图象的解．5．一次函数与不等式的关系
(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围；
(2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围
就是不等式kx＋b<0的解集，即函数图象位于x轴的下方部分对应点的横坐标的取值范围．
6．一次函数的实际应用
(1)常见类型：①费用问题；②销售问题；③行程问题；④容量问题；
⑤方案问题．
(2)解一次函数实际问题的一般步骤：
①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； ⑥答．
考点1： 一次函数的图象与性质
【例题1】（2018??3分）如图，在等腰RtABO，A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mxm（m0）把ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值．
【解答】解：y=mx+m=m（x1），
函数y=mxm一定过点（﹣1，0），
当x=0时，y=m，
点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y=﹣x2，
，得，
直线l：y=mxm（m0）把ABO分成面积相等的两部分，
，
解得，m=（舍去），
故答案为：．
（201?四川省广安8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，
w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案，在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案．2．在遇到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选取合适的数值代入解析式求解即可．同时，一次函数确定最值时还应注意以下两点：
①当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题，对于某些关键字要特别注意，如“不超过”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“≤”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“≥”；
②从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略．
3．涉及图象问题的实际应用要注意：
在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围．
一、选择题：
1. （201?四川省广安3分）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【】
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C．
（2018?湘潭）若b0，则一次函数y=﹣xb的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【】
【解答】解：一次函数y=xb中k=﹣10，b0，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
2019湖北荆门（3分）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
【】
【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b＜0时成立；
当k＞0，b≤0时成立；
综上所述，k≥0，b≤0；
故选：A．
2019?山东临沂?3分）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点（0，b） D．当x＞﹣时，y＞0
【】
【解答】解：∵y＝kx+b（k＜0，b＞0），
∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵k＜0，∴y随x的增大而减小，B正确；
令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为（0，b），∴C正确；
令y＝0时，x＝﹣，当x＞﹣时，y＜0；D不正确；故选：D．
5. （2018?包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k0）与直线l1在第一象限交于点C．若BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【】
【解答】直线l1：y=﹣x1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，
即A（2，0）B（0，1），
Rt△AOB中，AB==3，
如图，过C作CDOA于D，
BOC=∠BCO，
CB=BO=1，AC=2，
CD∥BO，
OD=AO=，CD=BO=，
即C（，），
把C（，）代入直线l2：y=kx，可得
=k，
即k=，
故选：B．
（201?山东潍坊?3分）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 1＜k＜3 ．
【】1＜k＜3；
【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，
∴k＞1，k＜3，
∴1＜k＜3；
故答案为1＜k＜3；
（2018?邵阳）如图所示，一次函数y=axb的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程axb=0的解是 ．
【】x=2．【解答】解：一次函数y=axb的图象与x轴相交于点（2，0），
关于x的方程axb=0的解是x=2．
故答案为x=2．
【答案】y＝2x﹣4．
【解答】解：∵A（2，0），B（0，1）
∴OA＝2，OB＝1
过点C作CD⊥x轴于点D，
则易知△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2
∴C（3，2）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．
故答案为：y＝2x﹣4．
9. （2019?山东省聊城市?3分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 .
【答案】P（，），
【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（0，2），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
三、解答题：
10. （201?湖北省仙桃市?8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
【分析】（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y＝20x；②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；
（2）把x＝30代入y＝16x+20，即可求解；
【解答】解：（1）根据题意，得
①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20；
（2）把x＝30代入y＝16x+20，
∴y＝16×30+20＝500；
∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元；
（2018?重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
【分析】（1）先把A（5，m）代入y=﹣x3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y=2xb，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；
（2）先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x3，然后求出直线y=2x3与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）把A（5，m）代入y=﹣x3得m=﹣53=﹣2，则A（5，﹣2），
点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，
C（3，2），
过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D，
CD的解析式可设为y=2xb，
把C（3，2）代入得6b=2，解得b=﹣4，
直线CD的解析式为y=2x﹣4；
（2）当x=0时，y=﹣x3=3，则B（0，3），
当y=0时，2x﹣4=0，解得x=2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；
易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=2x3，
当y=0时，2x3=0，解的x=﹣，则直线y=2x3与x轴的交点坐标为（﹣，0），
直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为﹣≤x≤2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
15. (2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积；
(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．
【变式】 (4)将(3)中条件“过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线l1，l2的交点分别为C，D”保持不变，“当点C位于点D上方时”改为“且CD＝2”，求点C的坐标．
【点拨】 (1)点B在直线y＝2x上，所以m＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C位于点D的上方，l1>l2，即当n<2时．(4)当CD＝2时，需分点C在点D上方和下方进行讨论．
【自主解答】 解：(1)∵直线y＝2x经过点B，
∴4＝2m，∴m＝2，即B(2，4)．
设直线l1的解析式为y＝kx＋b，
∵直线l1的经过点A，B，
∴解得
∴直线l1的解析式为y＝x＋3.
(2)∵当x＝0时，y＝3，∴M(0，3)．
∴S△AOM＝×6×3＝9.
(3)n<2.
(4)①当点C在点D上方时，有x＋3－2x＝2，解得x＝.
此时点C的坐标为(，)；
②当点C在点D下方时，有2x－(x＋3)＝2，解得x＝.
此时点C的坐标为(，)．
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