第14讲 线段、角、相交线和平行线
1．线段与直线(1)两个基本事实：直线的基本事实：两点确定一条直线；线段的基本事实：两点之间线段最短．(2)两点间距离：连接两点的线段叫做两点之间的距离．(3)线段的中点：如图点C把线段AB分成相等的AC与BC点C叫做线段AB的中点即AC＝BC＝AB.(4)线段的和与差：如图点C是线段AB上一点则AC＋BC＝AB＝AB－BC＝AB－AC.
2．角及角平分线
(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ，
1°＝__60′，1′＝60_″.
(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角；
度数是90°的角叫做直角．
(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_．
补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．
(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
3．相交线(如图)
(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等
性质：邻补角和为180°.
②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.
性质：对顶角相等．
(2)三线八角：
同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6；
内错角有∠3与∠5，∠2与∠8；
同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.
(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；
②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短；
④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离；
⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．平行线(1)在同一平面内不相交的两条直线叫平行线；(2)平行线公理：经过直线外一点直线与已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线也；(3)平行线判定与性质：判定定理性质定理
考点1： 几何图形基本知识
【例题1】若C、D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，AB=10cm，BC=4cm，则AD的长是________ cm．由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．如图：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm，故答案为：3 已知线段AB=10cm，线段BC=4cm，则线段AC的长是________?cm．（1）如图1，点B在点A、C的中间时， ，AC=AB+BC=10+4=14（cm）（2）如图2，点C在点A、B的中间时， ，AC=AB﹣BC=10﹣4=6（cm）∴线段AC的长是14或6cm．故答案为：14或6．（2018?重庆）如图，ABCD，EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分FGD．若EFG=90°，E=35°，求EFB的度数．
【分析】依据三角形内角和定理可得FGH=55°，再根据GE平分FGD，ABCD，即可得到FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据FHG是EFH的外角，即可得出EFB=55°﹣35°=20°．
【解答】解：EFG=90°，E=35°，
FGH=55°，
GE平分FGD，ABCD，
FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
FHG是EFH的外角，
EFB=55°﹣35°=20°．
(1)通过观察题图和已知条件得出已知和所求的角是否可以直接通过平行线的哪些性质得出；(2)结合两角互余、两角互补、三角形内角和定理、三角形的内外角关系进行求解；(3)若题中提到角平分线，则在解题过程中注意角之间的等量代换．最后根据角之间的等量关系即可求解．
一、选择题：
1. （2018?邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知AOD=160°，则BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
【】
【解答】AOD=160°，
BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
2019?湖北十堰?3分）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【】
【解答】解：∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠1＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠3＝40°，
故选：C．
3. （2018?孝感）如图，直线ADBC，若1=42°，BAC=78°，则2的度数为（ ）
A．42° B．50° C．60° D．68°
【】
【解答】解：1=42°，BAC=78°，
ABC=60°，
又AD∥BC，
2=∠ABC=60°，
故选：C．
（2018?铜仁市）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
【】
【解答】解：当直线c在a、b之间时，
a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
a与c的距离=4﹣1=3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
a与c的距离=41=5（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．
故选：C．
（2019?河北省?3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．代表FEC B．@代表同位角
C．▲代表EFC D．代表AB证明：延长BE交CD于点F，
则BEC＝EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又BEC＝B+∠C，得B＝EFC．
故ABCD（内错角相等，两直线平行）．
【】
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣38°＝142°．
故答案为142°．
7. （2018?通辽）如图，AOB的一边OA为平面镜，AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则DEB的度数是 ．
【】75°30′（或75.5°）．
【解答】解：CD∥OB，
ADC=∠AOB，
EDO=∠CDA，
EDO=∠AOB=37°45′，
EDB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为75°30′（或75.5°）．
A．48° B．78° C．92° D．102°
【答案】D
【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．
故选：D．
9. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为5厘米．
或1或3或9．【解答】解：设运动时间为t秒．
如果点P向左、点Q向右运动，
由题意，得：t2t=5﹣4，
解得t=；
点P、Q都向右运动，
由题意，得：2t﹣t=5﹣4，
解得t=1；
点P、Q都向左运动，
由题意，得：2t﹣t=54，
解得t=9．
点P向右、点Q向左运动，
由题意，得：2t﹣4t=5，
解得t=3．
综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．
故答案为或1或3或9．
已知α=76°，β=41°31′，求：（1）β的余角；（2）α的2倍与β的的差． （1）根据互为余角的两个角的和为90度可得β的余角=90°﹣β，将β=41°31′代入计算即可； （2）将α=76°，β=41°31′代入2α﹣β，然后计算即可．（1）β的余角=90°﹣β
=90°﹣41°31′=48°29′；（2）α=76°，β=41°31′，2∠α﹣β=2×76°﹣×41°31′=152°﹣20°45′30″ 已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
【解答】解：如图1所示，AP=2PB，AB=6，
PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；
点Q为PB的中点，
PQ=QB=PB=×2=1；
AQ=AP+PQ=4+1=5．
如图2所示，AP=2PB，AB=6，
AB=BP=6，
点Q为PB的中点，
BQ=3，
AQ=AB+BQ=6+3=9．
故AQ的长度为5或9．
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使SMAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求SCDP+S△BOP的取值范围；
若P在直线BD上运动，请直接写出CPO、DCP、BOP的数量关系．
【解答】（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）AB=4，CO=2，
S平行四边形ABOC=AB?CO=42=8，
设M坐标为（0，m），
4×|m|=8，解得m=4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）S梯形OCDB=×（34）2=7，
当点P运动到点B时，SPOC最小，SPOC的最小值=×3×2=3，SCDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，SPOC最大，SPOC的最大值=×4×2=4，SCDP+S△BOP＞3，
所以3S△CDP+S△BOP＜4；
当点P在BD上，如图1，作PECD，
CD∥AB，
CD∥PE∥AB，
DCP=∠EPC，BOP=∠EPO，
DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PECD，
CD∥AB，
CD∥PE∥AB，
DCP=∠EPC，BOP=∠EPO，
EPO﹣EPC=∠BOP﹣DCP，
BOP﹣DCP=∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，DCP﹣BOP=∠CPO．
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