第18讲 锐角三角函数及其应用（教师版） 备战2020中考数学专题复习分项提升

第18讲　锐角三角函数及其应用



1．锐角三角函数：如图在中设∠C＝90

∠A、∠B、∠C对应的边分别为a则：的正弦＝；

的余弦＝__；的正tanA＝.



2

30°，45°，60°的三角函数值，如下表：

正弦 余弦 正切 30 45° 1 60° 3.解直角三角形的常见类型及解法

已知条件 图形 解法 一直角边和一锐角(a) ∠B＝90－∠A＝＝ 已知斜边和一个锐角(c) ∠B＝90－∠A＝c·＝c· 已知两a，b) c＝由＝求∠A＝90－∠A 已知斜边和一条直角边(c) b＝由＝求∠A＝90－∠A 4

(1)铅垂线：重力线方向的直线；

(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；

(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；

(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；

(5)坡角：坡面与水平面的夹角；



(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)一般情况下我们用h表示坡的铅直高度用l表示坡的水平宽度用i表示坡度即i＝＝显然坡度越大坡角就越大坡面也就越陡；

(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角．

注意：东北方向指北偏东45方向东南方向指南偏东45方向西北方向指北偏西45方向西南方向指南偏西45方向．我们一般画图的方位为上北下南左西右东.





直角三角形的边角关系



(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值．





【解析】：(1)过点A作AE⊥BC于点E.

∵cosC＝，∴∠C＝45°.

在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，

∴AE＝CE＝1.

在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，

∴BE＝3AE＝3.

∴BC＝BE＋CE＝4.

(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.

∴DE＝CD－CE＝1.

∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.

∴sin∠ADC＝.

归纳： 1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．

2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．

3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解．

4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．

考点2：锐角三角函数的实际应用

（2019??8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．



【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．

【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．



∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，

∴四边形CEHF是矩形，

∴CE＝FH，

在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，

∴CE＝AC?sin60°＝34.6（cm），

∴FH＝CE＝34.6（cm）

∵DH＝49.6cm，

∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），

在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，

∴∠DCF＝30°，

∴此时台灯光线为最佳．



(1)构造一个直角三角形：

(2)构造两个直角三角形：

①不同地点测量：

②同一地点测量：





一、选择题：

1. （2018?宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）



A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米

【】

【解答】解：PA⊥PB，PC=100米，PCA=35°，

小河宽PA=PCtanPCA=100tan35°米．

故选：C．

如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（　　）



A． B． C． D．

【】．

【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，

∴AC＝＝＝5．

∴sin∠BAC＝＝．

故选：D．



图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）



A. B. C. D.

【答案：B

解析：解答：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．

在Rt△BCD中，tanB=

∴tanB′=tanB=．

故选B．

（2019?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）



A．75m B．50m C．30m D．12m

答案：

【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，

∴tan∠BAC＝=，

解得，AC＝75，

故选：A．

已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　）



A. B. C. D.

答案：A

解析：解答：作DE⊥AB于点E．



∵∠CBD=∠A，

∴tanA=tan∠CBD==，

设CD=1，则BC=2，AC=4，

∴AD=AC-CD=3，

在直角△ABC中，AB=，

在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，

∵AE2+DE2=AD2，

∴x2+（2x）2=9，

解得：x=，

则DE=，AE=．

∴BE=AB-AE==，

∴tan∠DBA=，

∴sin∠DBA=．

故选A．



6. （2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90°，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　 　．

答案：

【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，

tan∠ABD=，

=，

设AH=3x，则BH=4x，

由勾股定理得，（3x）2（4x）2=202，

解得，x=4，

则AH=12，BH=16，

在RtAHD中，HD==5，

BD=BH+HD=21，

ABD+∠CBD=90°，BCH+∠CBD=90°，

ABD=∠CBH，

=，又BC=10，

BG=6，CG=8，

DG=BD﹣BG=15，

CD==17，

故答案为：17．



（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=　2　．



答案：

【解答】解：如图，连接BE，



四边形BCEK是正方形，

KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，

BF=CF，

根据题意得：ACBK，

ACO∽△BKO，

KO：CO=BK：AC=1：3，

KO：KF=1：2，

KO=OF=CF=BF，

在RtPBF中，tanBOF==2，

AOD=∠BOF，

tan∠AOD=2．

故答案为：2

（2018?无锡）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30°，则ABC的面积等于　．

答案：15或10．

【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，

如图1，当AB、AC位于AD异侧时，



在RtABD中，B=30°，AB=10，

AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，

在RtACD中，AC=2，

CD===，

则BC=BDCD=6，

S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；

如图2，当AB、AC在AD的同侧时，



由知，BD=5，CD=，

则BC=BD﹣CD=4，

S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．

综上，ABC的面积是15或10，

故答案为15或10．

?浙江湖州?4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）



【答案】120

【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，

∵BO＝DO，

∴OE平分∠BOD，

∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，

∴∠FAB＝∠BOE＝37°，

在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，

∴h＝AF＝AB?cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，

故答案为：120



三、解答题：

10. （湖北荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；

延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．



【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．



∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，

∴△ADM≌△MCH．

∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．

∵∠AMD+∠DAM=90°，

∴∠AMD+∠HMC=90°，

∴∠AMH=90°，

∴∠MHA=45°，即α+β=45°．

（2）由勾股定理可知MH==．

∵∠MHR=45°，

∴==．

2019?湖北十堰?7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．



【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，

则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，

∵坡角α＝45°，β＝30°，

∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，

∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6，

∴BC＝（9+6）m，

答：BC的长（9+6）m．

12. （201?江苏宿迁?）①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．

（1）求坐垫E到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E''，求EE′的长．

（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）



【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；

（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案

【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，



由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，

∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），

则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；

（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，



由题意知E′H＝80×0.8＝64，

则E′C＝＝≈71，1，

∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．

13. 如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝2，sinB＝，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE，F为线段AE的中点．求：

(1)线段DE的长；

(2)∠CAE的正切值．



【解析】：(1)连接AD.

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

即∠ADB＝90°.

∵AB＝AC＝2，sinB＝，

∴＝.∴AD＝4.

由勾股定理，得BD＝2，∴DC＝BD＝2，BC＝4.

∵CE＝BC，∴CE＝4.

∴DE＝DC＋CE＝2＋4＝6.

(2)过点C作CM⊥AE于点M, 则∠CMA＝∠CME＝90°.

在Rt△ADE中，由勾股定理，得

AE＝＝2.

∵CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2，

∴(2)2－AM2＝42－(2－AM)2，

解得AM＝.

∴CM＝＝.

∴tan∠CAE＝＝.





























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