第24讲 尺规作图
1．尺规作图的作图工具圆规和没有刻度的直尺基本尺规作图类型一：作一条线段等于已知线段步骤：①作射线OP；以O为圆心为半径作弧交OP于A即为所求线段．图示：类型三：作线段的垂直平分线步骤：①分别以点A为圆心以大于AB长为半径在AB两侧作弧两弧交于M点；连接MN直线MN即为所求垂直平分线．图示：类型四：作一个角等于已知角：步骤：①以O为圆心以任意长为半径作弧交∠α的两边于点P；作射线O′A；以O′为圆心长为半径作弧交O′A于点M；以点M为圆心长为半径作弧交前弧于点N；过点N作射线O′B即为所求角．图示：类型五：过一点作已知直线的垂线步骤：点在直线上：①以点O为圆心任意长为半径作弧交直线于A两点；分别以点A为圆心以大于AB长为半径在直线两侧作弧交点分别为M；连接MN即为所求垂线．点在直线外：①在直线另一侧取点M；以PM为半径画弧交直线于A两点；分别以A为圆心以大于AB长为半径画弧交M同侧于点N；连接PN则直线PN即为所求的垂线．图示：3．常见几种基本尺规作图作三角形
①已知三边作三角形；
②已知两边及其夹角作三角形；
③已知两角及其夹边作三角形；
④已知底边及底边上的高作等腰三角形；
⑤已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；
(6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．
已知：如图，∠α，线段a.
求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
【解析】：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形
归纳：1．熟悉
2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程．
3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．
4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性．如图在△ABC中已知∠ABC＝90(1)请在BC上找一点P作⊙P与AC都相切与AC的切点为Q；(尺规作图保留作图痕迹)(2)连接BQ若AB＝3(1)中所作圆的半径为求
【分析】 (1)要求作⊙P与AB、AC相切，根据切线的性质，即点P到AB、AC的距离相等，且点P在边BC上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC的平分线交BC于P点，以点P为圆心，PB为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦函数求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．
解：(1)如图所示即为所求：
(2)∵AB、AQ为⊙P的切AB＝AQ＝PQ为BQ的垂直平分线＋∠ABQ＝90＋∠ABQ＝90＝∠BAP在中＝＝＝＝＝＝＝⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
一、选择题：
1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
【】
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
（2018?襄阳）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【】
【解答】解：DE垂直平分线段AC，
DA=DC，AE=EC=6cm，
AB+AD+BD=13cm，
AB+BD+DC=13cm，
ABC的周长=ABBD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
（201?河北?3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．C．D．【】
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．
（201?贵阳?3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【】
【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
（2018?河南）如图，已知AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点F；作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【】
【解答】解：AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
AH=1，HO=2，
Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分AOB，
AOG=∠EOG，
又AG∥OE，
AGO=∠EOG，
AGO=∠AOG，
AG=AO=，
HG=﹣1，
G（﹣1，2），
故选：A．
（2018?南京）如图，在ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【】
【解答】解：用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
D为AB的中点，E为AC的中点，
DE是ABC的中位线，
DE=BC=5cm．
故答案为：5．
（201?河南?3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为 .
【】2．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
（2018?淮安）如图，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【】
【解答】解：连接AD．
PQ垂直平分线段AB，
DA=DB，设DA=DB=x，
在RtACD中，C=90°，AD2=AC2CD2，
x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D;
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E.
(2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.
①点B与⊙O的位置关系是_____________；(直接写出答案)
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
解：(1)如图(2)①连接OC如图垂直平分AC＝OC＝∠ACO＋∠B＝90＋∠ACO＝90＝∠OCB＝OB＝OA点B在⊙O上；且点D是AC的中点＝AC＝4设⊙O的半径为r则OA＝OE＝r＝OE－DE＝r－2在中＝AD＋OD即r＝4＋(r－2)r＝5.∴⊙O的半径为5
10. （201?安徽?分） 如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.
【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==.
2019?江苏泰州?8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
12. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据DBF=∠ABD﹣ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）四边形ABCD是菱形，
ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DCAB，A=∠C．
ABC=150°，ABC+∠C=180°，
C=∠A=30°，
EF垂直平分线线段AB，
AF=FB，
A=∠FBA=30°，
DBF=∠ABD﹣FBE=45°．
2019?湖北孝感?8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 CD＝CE ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
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