第28讲 投影与视图
【考点导引】
1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．
2.会判断简单物体的三视图．
3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠.
【难点突破】
1. 自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图.一个几何体的三视图与它的放置方式和观察者的观察角度有关.
2. （1）三视图属于正投影．三视图的主要特征是：长对正、高平齐、宽相等．画三视图时，三个视图一般要放在正确的位置（即主视图要在左上边，它的下方应是俯视图，左视图坐落在右边），还要注意线条的虚实，看得见的部分的轮廓应画成实线，看不见部分的轮廓应画成虚线．
（2）简单几何体的三视图可以确定出原简单几何体的大致形状，辨别时充分利用空间想象力，注意组合物体的位置特征，这样才能使问题顺利得以解决．由三视图逆推原几何体，主视图主要描述物体的长和高，左视图主要描述物体的宽和高，俯视图主要描述物体的长和宽，而若三视图不完整，则组合体可能存在多种情形，需进行分类讨论，全面获解．
3. 由视图到立体图形，根据视图想像出视图所反映的立体形状，我们称为读图．读图的一般规律：（1）长、宽、高的关系：主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等．（2）上下、前后、左右的关系：读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置．
4. 画物体的三视图时，应遵循这样的画图规则：“主、俯两图长对正，主、左两图高平齐，左、俯两图宽相等”. 另外要注意看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线. 此类问题容易出错的地方是忽略内部轮廓线及其虚实.
【解题策略】
转化思想，将立体图形转化为平面图形，如物体的包装等．
【典例精析】
类型一：物体的三视图
【例1】（ 2019?广西池河?3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．球
【答案】A
【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．
类型二：根据视图确定物体的形状
【例2】（2019?甘肃?3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
【答案】（18+2）cm2．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．
故答案为（18+2）cm2．
类型三：投影
【例3】 (1)一木杆按如图所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子(用线段CD表示)；
(2)图是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置(用点P表示)，并在图中画出人在此光源下的影子(用线段EF表示)．
解：(1)如图，CD是木杆在阳光下的影子．
(2)如图所示，点P是光源；EF就是人在光源P下的影子．
归纳总结：1．阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正比．2．灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧．
【真题检测】
1. (2019甘肃省陇南市)下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A.该几何体为四棱柱，不符合题意；
B.该几何体为四棱锥，不符合题意；
C.该几何体为三棱柱，符合题意；
D.该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：C．
2. （2019?湖南邵阳?3分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）
【答案】C
【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B．俯视图与主视图都是正方形，故选项B不合题意；
C．俯视图是圆，左视图是三角形；故选项C符合题意；
D．俯视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：C．
3. （2019，山东淄博，4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：A.圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；B.三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
C.长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；
D.球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．故选：D．
4. （2019?浙江绍兴?4分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，
故选：A．
5. （2019?湖北省随州市?3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积=π×12=π，
侧面积为=π?3=3π，
则这个几何体的表面积=π+3π=4π；故选：C．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
6. （2019?河北省?2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
【答案】A
【解答】解：S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
7. （2018?齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，EFG=45°．则AB的长为 cm．
【答案】4．．
【解答】解：过点E作EQFG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
EF=8cm，EFG=45°，
EQ=AB=×8=4（cm）．
故答案为：4．
8. （2019?山东青岛?3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 4 个小立方块．
【答案】4．
【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．
故答案为：4
9. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A、E、C在同一直线上)．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
【解析】：如题图，过点D作DGAB，分别交AB，EF于点G，H，则
EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30.
EF∥AB，＝.
由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.
＝，解之，得BG＝18.75.
AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0，
楼高AB约为20.0米．
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