浙江省杭州市四校2023届高三下学期5月高考模拟
数学卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知，集合，集合，若，则（ ）
A. B. C.或1 D.
3．已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，，．则下列说法正确的是（ ）
A.， B.，
C.与相交，且交线平行于l D.与相交，且交线垂直于l
5．标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数在区间上单调递增，若存在唯一的实数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点为与的一个交点，若△的内切圆圆心在直线上，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A.直线过定点 B.点到直线的最大距离为
C.的最大值为3 D.的最小值为2
10.年月日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比如表所示. 已知，于是分别用p＝和p＝得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，百分比y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（）（附：，）
年份
年份代码x
p
q
A. B. C. D.
11. 如图，直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（）
A. B.面积的最小值是
C. D.存在最小值
12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为,由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ΔABC．定义为经过A,B两点的大圆在这两点间的劣弧的长度．已知地球半径为R，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（ ）
A.
B.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则
C.若点P,Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面ΔNPQ的面积
D.若NP=NQ=PQ=R，则球面ΔNPQ的面积为
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．已知，则实数的取值范围 .
14. 已知锐角满足，，则 .
15．函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
16. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有________个.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）线段上一点D满足，，求的长度．
18．设正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列.若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前项和；若不能，请说明理由.
19．已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为，为的外心，，.
（1）证明：BC⊥AD；
（2）若E为AD中点，OD=2，求平面与平面夹角的余弦值．
20．数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为，向右移动的概率为，记点移动次后所在的位置对应的实数为.
（1）求和的分布列和期望；
（2）当时，点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.
21．已知椭圆，是椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线与直线交于点，是直线与椭圆的两个交点.
（1）求直线与直线的斜率之积；
（2）求面积的最大值.
22．已知是方程的两个实根，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）已知，，若存在正实数，使得成立，证明：.
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
C
B
B
D
B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9
10
11
12
AC
ABC
BC
BD
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13． 14. 15． 16. 20
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】(1) (2)
【解析】（1）由结合正弦定理可得，
因为，所以，
所以，即
因为，所以，因为，所以；
（2）由题设，令，则，，，在△中，
即，
所以，故，
所以，即，故，
所以.
18．【答案】(1)
(2)能，，.
【解析】（1），
当时，，即，
得或（舍去）.
当时，由，……①
得，……②
得：，
化简得.
因为，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）存在.
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；
下面证明此时的公比最小：
，假若取，公比为，
则为奇数，不可能在数列中.
所以.
又，所以，即的通项公式为：，
故.
19．【解析】（1）连结并延长交于，连结，
因为O恰好为△ABC的外心，所以，
又，，所以，
所以，即是的角平分线，
又，所以由等腰三角形三线合一可得，
因为D在面ABC上的投影为O，所以面ABC，
又面ABC，所以，
又面，所以面，
又面，所以.
（2）解法一：在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知是的中点，
由（1）知，面ABC，
取中点，连结，因为，,面ABC,
作垂直交于点，连结，即为平面与平面夹角的平面角.易得，，
，即平面与平面夹角的余弦值为.
解法二：由（1）知，面ABC，过作轴平行于，则轴垂直于面ABC，如图建立空间直角坐标系，在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知是的中点，又，，则，
设，则，又，所以，解得，故，
则，
故，
设为平面的一个法向量，则，
取，则，故，
易得是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的平面角为，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20．【解析】（1）时，
，
，.
-3
-1
1
3
.
（1）时，
，
，，
.
-4
-2
0
2
4
（2）设点向右移动次，向左移动次的概率为，则，
当时，，随的值的增加而增加，
当时，，随的值的增加而减小，
所以当时，最大，此时点所在的位置对应的实数应为4.
21．【解析】（1）设，，，
则，，又因为是两条切线的交点，
所以有，，
所以，，又因为，
所以.
（2）①当时，联立直线与椭圆方程，
得，
，则，
联立直线 与椭圆方程，解得点.
则点 到直线的距离，
所以
令 ，则，
令 ，则，
，在上单调递增，在上单调递减，当，，即时，.
所以，所以面积的最大值是.
②当时，可求得，当时，的最大值为.
当时，可求得，当时，的最大值为.
综上，当时，面积的最大值是.
22．【解析】（1），，，
单调递增，则，则，即，
所以方程的根即方程的根.
令，则，
在上单调递减，且，在上单调递减，在上单调递增，
因为方程有两个实根，所以，.
（2）要证，即证，由（1）可得，
只需证明，
下面证明
令，，所以在上单调递增，
又因为，则当时，.
设，则，
当时，，
设，则，
所以当时，，单调递增，所以，.
所以，在单调递增，
所以，即．
综上所述，.
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