2018北京北师大实验中学初二（上）期中数学（教师版）

2018北京北师大实验中学初二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．在9月份的“学农”活动中，剪纸不仅
是同学们最喜欢的一门课程，很多老师也和同学们一起学习剪纸这项最古老的民间艺术，下面是刘红老师的剪纸作品，其中是轴对称图形的为（　　
）A．B．C．D．2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4B．x2+x﹣1＝（x﹣1
）（x+2）+1C．a+ax+ay＝a（x+y）D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）3．点A（3，﹣1）关于x轴的对称点是（　　）A
．（﹣1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（3，﹣1）D．（3，1）4．若分式的值为零，则x的值是（　　）A．0B．1C．﹣1D．﹣25
．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（　　
）A．SASB．AASC．ASAD．SSS6．下列说法中，错误的是（　　）A．全等三角形对应角相等B．全等三角形对应边相等C．全等
三角形的面积相等D．面积相等的两个三角形一定全等7．等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则它的周长是（　　）A．15cmB．1
2cmC．15cm或12cmD．以上都不正确8．如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为
a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（　　）A．a+3bB．2a+bC．a+2bD．
4ab9．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠EDF的度数为（　　）A
．50°B．40°C．80°D．60°10．如图，AC＝BD，∠ADB＝∠BCA＝90°，AC与BD交于点E．有下列结论：①△AB
C≌△BAD；②△ADE≌△BCE；③点E在线段AB的垂直平分线上；④AC、BD分别平分∠DAB和∠CBA；以上结论正确的个数有（
　　）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）11．因式分解：x2+2x＝　．12．使分式有意
义的a的取值范围是　．13．如图，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可补充的一个条件是：　．（答案不
唯一，写一个即可）14．若点（2x+1，5）和（y，x﹣1）关于y轴对称，则y＝　．15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
35°，则这个等腰三角形顶角的度数为　．16．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝
6，则AC的长为　．17．阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其
中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P．求作：过点P且与直线垂直的直线PQ，垂足为点QP某同学的作图步骤如下：步骤作法推断第
一步以点 P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于 A，B 两点．PA＝PB第二步连接 PA，PB，作∠APB的平分线，交直线于点Q
．∠APQ＝∠　直线 PQ即为所求作．PQ⊥l请你根据该同学的作图方法完成以下推理：∵PA＝PB，∠APQ＝∠　，∴PQ⊥l．（依
据：　）．18．若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是　．三.解答题（本大题共
4道小题，第19～21题4分，第22题5分，共17分）19．（4分）分解因式：3a2﹣6a+3．20．（4分）分解因式：x3y2﹣
16x3．21．（4分）计算：．22．（5分）已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证
：AE＝CF．四、解答题（本大题共3道小题，第23题5分，第24、25题每小题5分，共17分）23．（5分）先化简，再求值：，其中
x＝2017，y＝2018．24．（6分）“学农”期间，我们住在北京农学院，a，b分别代表两条道路，点M、N分别代表宿舍楼和教学楼
．为了便于杨枫老师快速便捷地协调指挥，现要建立联络站O点，使O点到两条道路的距离相等，且到宿舍楼和教学楼的距离也相等．请用直尺和圆
规画出所有满足条件的O点位置，不写作法，保留作图痕迹．并指出杨枫老师应选择的联络站位置．25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy
中，A（﹣2，1）、B（﹣1，4），连接AB，（1）画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于y轴对称，请写出A1、B1的坐标
：A1　，B1　；（2）点P是y轴上一个动点，请画出P点，使PA+PB最小；（3）已知点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰△ABC
，则所有符合条件的C点有　个．五.解答题（本大题共2道小题，每小题6分，共12分）26．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝100°
，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝　；（2
）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为　，并给出证明．27．（6分）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足BP＝CQ
，作点Q关于直线AC的对称点M，连接AP、AQ、AM、CM、PM，线段PM、AC交于点N，（1）当∠BAP＝15°时，∠QAM＝　
；（2）求证：AP＝PM；（3）若AB＝4，当点P在边BC上运动时，则线段CN的最大值为　．六、填空题（本大题共6分）28．（6分
）在学习整式乘法一章，佩奇发现（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3，（x﹣y）（x3+x2y
+xy2+y3）＝x4﹣y4，（x﹣y）（x4+x3y+x2y2+xy3+y4）＝x5﹣y5．…（1）借助佩奇发现的等式，不完全归
纳（x﹣y）（xn﹣1+xn﹣2y+…+xyn﹣2+yn﹣1）＝　．（2）利用（1）中的规律，因式分解x7﹣1＝　．（3）运用新知
：计算1+5+52+53+…+510＝　．七、解答题（本大题共6分）29．（6分）如图1，直线l是直角△ABC的斜边BC的垂直平分
线，点A′与A关于直线l对称，连接A''B、A′C，由轴对称的性质不难得到A''B与AC的交点M在直线l上，点P是直线A''B上一点，过
点P作PD∥A''C交BC于点D，过点D作DQ⊥AC于点Q，（1）若∠ABC＝65°，则∠ACA′＝　；（2）如图2，当点P与点M重
合时，求证：DP+DQ＝AB；（3）①如图3，当点P在线段A′B上（不含端点）时，线段DP、DQ、AB的数量关系是　；②当点P在线
段A′B的延长线上时，线段DP、DQ、AB的数量关系是　．八、操作题（本大题共8分）30．（8分）（1）已知△ABC中，∠A＝90
°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只
需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成
了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．参考答案一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据轴
对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答
】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此
选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．【分析
】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解
，故此选项错误；B、x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；C、a+ax+ay＝a（1
+x+y），故此选项错误；D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要
考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．3．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．【解
答】解：点A（3，﹣1）关于x轴的对称点A1的坐标是（3，1）．故选：D．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题
的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互
为相反数．4．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x﹣1＝0且x+2≠0，从而解决问题．【解答】解：∵x﹣1
＝0且x+2≠0，∴x＝1．故选：B．【点评】此题考查的是分式的值为零的条件，分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经
常考查的知识点．5．【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．根据全等三角形的判定方法结合已知条件可得答案．【解答】
解：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），即△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是
AAS，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．6．
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应边、对应角相等，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行分析即可．【解答】解：A、
全等三角形对应角相等，说法正确；B、全等三角形对应边相等，说法正确；C、全等三角形的面积相等，说法正确；D、面积相等的两个三角形一
定全等，说法错误，例如一边长为6，这边上的高为3和一边长为3，这边上的高为6的两个三角形，面积相等，却不全等；故选：D．【点评】此
题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的性质．7．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是
多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3cm时，3+3＝6，不能构成三角形，因此这种
情况不成立．当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3＝15cm．故选：A．【点评】本题考
查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起
来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．8．【分析】可根据拼前与拼后面积不变，求出正方形的边长．【解答】
解：设拼成后大正方形的边长为x，则a2+4ab+4b2＝x2，则（a+2b）2＝x2，∴x＝a+2b，故选：C．【点评】本题考查了
完全平方公式的几何背景以及整式的混合运算，解题的关键是依据面积相等列方程．9．【分析】先根据图形翻折不变的性质可得AD＝DF，根据
等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算可得∠BDF的解，再根据平角的定义和折叠的性质即可求解．【解答
】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD＝DF，∵D是AB边的中点，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠EDF＝（180°﹣∠BDF）÷2＝5
0°．故选：A．【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．10．
【分析】由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△BAC，可得∠DAB＝∠DBA，∠DBA＝∠CAB，AD＝BC，由“AAS”可证△ADE
≌△BCE，可得AE＝BE，即可求解．【解答】解：∵AC＝BD，AB＝AB∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴∠DAB＝∠DBA
，∠DBA＝∠CAB，AD＝BC∴∠DAE＝∠CBE，且AD＝BC，∠ADB＝∠BCA＝90°∴△ADE≌△BCE（AAS）∴AE
＝BE∴点E在线段AB的垂直平分线上，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形
的判定和性质是本题的关键．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）11．【分析】直接提取公因式x即可．【解答】解：原式
＝x（x+2），故答案为：x（x+2）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式，找公因式的方法：当各项系数
都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次
数取最低的．12．【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：分式有意义，则a+4≠0，解得：a≠﹣4．故答案为：a≠﹣4
．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．13．【分析】依据AB⊥BD，ED∥AB，可得∠B＝∠D
＝90°，再根据AB＝ED，即可得到可补充的一个条件，使得△ABC≌△EDC．【解答】解：∵AB⊥BD，ED∥AB，∴∠B＝∠D＝
90°，又∵AB＝ED，∴当∠A＝∠E时，△ABC≌△EDC（ASA）；当∠ACB＝∠ECD时，△ABC≌△EDC（AAS）；当B
C＝DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；当AC＝EC时，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；故答案为：∠A＝∠E或∠ACB＝∠E
CD或BC＝DC或AC＝AE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．14．【分析】根据关于
y轴对称横坐标互为相反数、纵坐标相等列出方程求得x、y的值即可．【解答】解：∵点（2x+1，5）和（y，x﹣1）关于y轴对称，∴2
x+1＝﹣y，x﹣1＝5，解得：x＝6，y＝﹣13，故答案为：﹣13．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标的知识，牢记其
坐标特点是解答本题的关键，难度不大．15．【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图（
1），∵AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝35°，∴∠A＝55°；如图（2），∵AB＝AC，BD⊥AC，∴∠
BDC＝90°，∵∠ABD＝35°，∴∠BAD＝55°，∴∠BAC＝125°；综上所述，它的顶角度数为：55°或125°．故答案为
：55°或125°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．16．【分析】先根
据角平分线的性质得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ADE，故可得出AE＝DE＝6，再根据AC＝AE+CE即
可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，∴∠CAD＝
∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．故答案为：13．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰
三角形的两底角相等是解答此题的关键．17．【分析】由AP＝AQ、BP＝BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A
、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．【解答】解：由作图可知AP＝AQ、BP＝BQ，所以点A、B在线段PQ的中垂线上（到线段
两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），所以PQ⊥l，故答案为：BPQ，等腰三角形三线合一【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解
题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．18．【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB＝30°，O
A＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围．【解答】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线
OB有唯一交点B，即△AOB的形状与大小是唯一的；以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B''，即△
AOB''的形状与大小是唯一的；综上所述，k的取值范围是k＝2或k≥4．故答案为：k＝2或k≥4．【点评】本题主要考查了全等三角形的
判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形．三.解答题（本大题共4道小题，第19～
21题4分，第22题5分，共17分）19．【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：原式＝3（a2﹣2
a+1）＝3（a﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．20．【分析】直接提取公因
式x3，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：原式＝x3（y2﹣16）＝x3（y+4）（y﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公
因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．21．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝?＝．【
点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．【分析】由平行线性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ADF≌
△CBE，可得AF＝CE，即可得结论．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，DF＝BE，∴△ADF≌△CBE（A
AS）∴AF＝CE∴AF﹣EF＝CE﹣EF∴AE＝CF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关
键．四、解答题（本大题共3道小题，第23题5分，第24、25题每小题5分，共17分）23．【分析】根据分水的乘法可以化简题目中的式
子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝，当x＝2017，y＝2018时，原式＝1．【点评】本题考查分式
的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．24．【分析】直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出交点即可得出答
案．【解答】解：如图所示：点O即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题
关键．25．【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；（2）依据两点之间
线段最短，连接AB1交y轴于点P，则PA+PB最小；（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点
．【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求，A1（2，1）、B1（1，4）；故答案为：（2，1）；（1，4）；（2）如图所
示，点P即为所求；（3）如图所示，满足△ABC是等腰△ABC的C点有7个．故答案为：7．【点评】此题主要考查了轴对称变换作图以及最
短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关
于某直线的对称点．五.解答题（本大题共2道小题，每小题6分，共12分）26．【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠
CDE的度数；（2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，可得∴
FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可证△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，则可得结论．【解答】解
：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝20°∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，故答案为：
60°（2）BC＝AB+CE理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝
BF，∴△ABD≌△FBD（SAS）∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠E
DC，且DE＝DF，CD＝CD∴△CDF≌△CDE（SAS）∴CE＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CE故答案为：BC＝AB+CE
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．27．【分析】（1）根据等边三
角形的证明：△ABP≌△ACQ（SAS），得∠CAQ＝∠BAP＝15°，在证明△AQC≌△AMC（SSS），得∠CAM＝∠CAQ＝
15，相加可得结论，也可以根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由三角形外角的性质即可得到∠APQ的度数，即可得出∠PAQ，
进而得到∠BAQ的度数；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q关于直
线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的
性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，∵BP＝CQ，∴△ABP≌△AC
Q（SAS），∴∠CAQ＝∠BAP＝15°，∵点Q关于直线AC的对称点M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∵AC＝AC，∴△AQC≌△A
MC（SSS），∴∠CAM＝∠CAQ＝15°，∴∠QAM＝30°；故答案为：30°；（2）由（1）知：△ABP≌△ACQ≌△ACM
，∴AP＝AQ＝AM，∠CAM＝∠BAP，∵∠BAC＝60°，∴∠PAM＝60°，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM；（3）AP
＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APQ＝∠AQP，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又∵∠BAP＝15°，∴∠AQB＝∠A
PQ＝∠BAP+∠B＝75°，∴∠PAQ＝30°，∴∠BAQ＝15°+30°＝45°；（2）①如图2，作点Q关于直线AC的对称点M
，连接AM、PM．②相等．∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC
＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AM＝PM．【点评】本题考
查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．六、填
空题（本大题共6分）28．【分析】根据题目中的规律解答即可．【解答】解：（1）（x﹣y）（xn﹣1+xn﹣2y+…+xyn﹣2+y
n﹣1）＝xn﹣yn；（2）x7﹣1＝（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1；（3）1+5+52+53+…+510＝×（
5﹣1）（1+5+52+53+…+510）＝（511﹣1）．故答案为：xn﹣yn；（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1
；（511﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式，正确的找出规律是解题的关键．七、解答题（本大题共6分）29．【分析】（1）根据∠A
CA′＝∠BCA′﹣∠ACB，只要求出∠ACB，∠A′CB即可；（2）利用面积法：S△BCM＝S△BDM+S△CMD即可证明；（3
）①结论：AB＝DQ+DP，如图3中，利用面积法：根据S△BCM＝S△BDM+S△CMD即可证明；②结论：AB＝DQ﹣DP．如图4
中，连接DM．利用面积法：根据S△BCM＝S△CMD﹣S△BDM，即可证明；【解答】（1）解：如图1中，∵∠ABC＝65°，∠A＝
90°，∴∠ACB＝25°，∵∠A′CB＝∠ABC＝65°∴∠ACA′＝65°﹣25°＝40°．故答案为40°．（2）证明：如图2
中，∵PD∥CA′，∴∠DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝S△BDM+S△CMD，∴?CM?BA＝
?BM?DP+?CM?DQ，∵BM＝CM，∴AB＝DP+DQ．（3）①结论：AB＝DP+DQ．理由：连接DM．∵PD∥CA′，∴∠
DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝S△BDM+S△CMD，∴?CM?BA＝?BM?DP+?CM?D
Q，∵BM＝CM，∴AB＝DP+DQ．故答案为AB＝DQ+DP．②结论：AB＝DQ﹣DP．理由：如图4中，连接DM．∵PD∥CA′
，∴∠DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝S△CMD﹣S△BDM，∴?CM?BA＝?CM?DQ﹣?B
M?DP∵BM＝CM，∴AB＝DQ﹣DP．故答案为：AB＝DQ﹣DP．【点评】本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，直角三角形
的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决线段之间的关系，属于中考压轴题．八、操作题（本大题共8分）30．【分析】
（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中
确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程
，可得出角与角之间的关系．【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．而∠ADB＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣（90°﹣x）即3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C；②若∠C是底角，第一种情况：如图2，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．由AB＝AD，得2x＝y﹣x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．由AB＝BD，得180°﹣x﹣y＝2x，此时3x+y＝180°，即∠ABC＝180°﹣3∠C．由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况，如图3，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC＝135°﹣∠C或∠ABC＝180°﹣3∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意角【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题． 1 / 1