2018北京师大附中初二（上）期中数 学一、单项选择题：（本题共30分，每小题3分）1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（
）A. B. C. D. 2.月球平均亮度只有太阳的0.00000215倍,0.00000215用科学记数法可表示为（）A. B.
C. D. 3.代数式中，分式的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的
是A. B. C. D. 5.下列约分正确的是（ ）A. B. C. D. 6.如图，在△ABC和△DEF中，满足AB=DE
，∠B=∠E，如果要判定这两个三角形全等，那么添加的条件不正确的是（ ）A. ∠A=∠DB. ∠C=∠FC. BC=EFD.
AC=DF7.如图，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，则∠B等于（ ）A. 20°B. 30°C. 40°
D. 150°8.已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 无法确定9.在数
学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是
（ ）A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°10.已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：
①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画
弧，交弧MN于点E，作射线AE，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）.A. ∠ACD=∠EAPB. ∠ODC
=∠AEMC. OB∥AED. CD∥ME二、填空题：（本题共18分，第11-16题每小题2分，第17、18题每小题3分）11.若
分式的值为零，则x＝_____．12.因式分解：__________；_____________.13.分式的最简公分母为____
__________.14.若方程 的解是x=5，则k= ________．15.在解分式方程时，小兰的解法如下：解：方程两边同
乘以，得 ① ②解得 检验：时，， ③所以，原分式方程的解为. ④如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为小兰在哪些步
骤中出现了错误________________.（只填序号）16.如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝____
_°．17.如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，CA=CB，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E.若△ADE的周长为
8cm，则AB=__________cm.18.如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC''，△AE
B≌△AEB''，且C''D∥EB''∥BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC＝x°，则∠BFC的大小是_____°．（用含x的式子表示
）三、因式分解（本题共11分，第19题5分，第20题6分）19.20.四、计算题（本题共19分，第21题5分，第22题6分，第23
题8分）21.计算22.化简求值：，其中.23.解下列分式方程（1） （2）五、解答题（本题共22分，第24题6分，其余每小题8分
）24.如图所示，直线、、为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请
利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）.25.已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠B
CD．求证：AD=BE．26.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝（AD+AB）．请你猜想∠1和∠
2有什么数量关系？并证明你的猜想．解：猜想： ．证明：附加题一、填空题（6分）27.我们知道：分式和分数有着很多相似点.如类比分数
的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类
似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式
，如：；（1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号）①； ②； ③
； ④.（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：=______________+________________.（3）将假分
式化成整式与真分式的和的形式：=_____________+______________.二、解答题（本题共14分，第2题6分，第
3题8分）28.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？经
过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为.由题意可得，所以，问题解决.小
聪说：你考虑的不全面.还必须保证才行.请回答：_______________的说法是正确的，并说明正确的理由是：_________
_________.完成下列问题：（1）已知关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程无解.直接写出n的取
值范围.29.如图1，点A、Dy轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB，与y轴交于D点，∠CAO=90°－∠BDO.（
1）求证：AC=BC；（2）如图2，点C的坐标为（4,0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；（3）如图3
，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO
+∠FDH.试判断FH、GH、OG这三者之间数量关系，写出你的结论并加以证明.2018北京师大附中初二（上）期中数学参考答案一、单
项选择题：（本题共30分，每小题3分）1. 【答案】C【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式
因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B. 右边不是整式积的形式，不是因
式分解，故本选项错误；C. 是因式分解，故本选项正确；D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选:C.【点睛】考
查因式分解定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.2. 【答案】B【解析】0.0000
0215=.故选B.3.【答案】B【解析】【分析】找到分母中含有字母的式子的个数即可．【详解】代数式中，分式有，共2个.故选：B.
【点睛】考查分式的定义，根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．4. 【答案】A
【解析】试题分析：分式有意义，分母不等于零．A、无论x取何值，x2+1＞0，故该分式总有意义，故本选项正确；B、当x=-时，该分式
的分母等于0，分式无意义，故本选项错误；C、当x=1时，该分式的分母等于0，分式无意义，故本选项错误；D、当x=时，该分式的分母等
于0，分式无意义，故本选项错误；故选：A．考点:分式有意义的条件.5. 【答案】C【解析】【分析】找出分子分母的公因式进行约分即可
．【详解】A.，错误；B.分子分母没有公因式，不能约分，错误；C. 正确；D.错误；故选：C【点睛】考查分式的约分，熟练掌握分式基
本性质是解题的关键.6.【答案】D【解析】【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看各个选项是否符合即可．
【详解】A.∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)，正确，故本选项错误；B. ∵在△ABC和△DEF中， ∴△
ABC≌△DEF(AAS)，正确，故本选项错误；C. ∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，正确，故本选项错
误；D. 根据AB=DE，∠B=∠E，AC=DF不能推出△ABC≌△DEF，错误，故本选项正确；故选:D.【点睛】考查全等三角形的
判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.7.【答案】B【解析】试题分析：根据△≌△，，，再结合三角形的内角和定理即可求得结
果.∵，∴∠EDF=180°-∠E-∠F=30°∵△≌△∴∠=∠EDF=30°故选B.考点：本题考查的是全等三角形的性质，三角形的
内角和点评：解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180°.8. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，延
长中线AD使AD=ED，根据全等三角形的判定定理，可证明△BDE≌△CDA；由全等性质可知，BE=AC，所以由三边关系可得7-5＜
AE＜7+5；再结合，即可求出AD的取值范围.【详解】根据题意画出图形△ABC中线为AD，延长AD使AD=DE.∵AD是△ABC的
中线，∴BD=CD.∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，BD=CD，∴△BDE≌△CDA，∴BE=AC.在三角形ABE中由三边关系得
，7-5＜AE＜7+5.∵AE是中线AD的2倍，∴中线的取值范围为1＜AE＜6，即1＜x＜6.故选:C.【点睛】考查全等三角形的判
定与性质，三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.9.【答案】D【解析】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的
中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=9
0°，∴∠CDE=90°-35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．故选A．10.【答案】A【解
析】【分析】证明△OCD≌△AME，根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】在△OCD和△AME中， ∴△OCD≌△AME(SS
S)，∴∠DCO=∠EMA，∠O=∠OAE，∠ODC=∠AEM.∴CD∥ME,OB∥AE.故.B.C.D都可得到,∵△OCD≌△A
ME，∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出,故选:A.【点睛】考查作图-作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质
，平行线的判定等，比较基础.二、填空题：（本题共18分，第11-16题每小题2分，第17、18题每小题3分）11. 【答案】【解析
】【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【详解】∵分式的值为零，∴ ，解得x=.故答案为：.【点睛】
考查分式值为0的条件，分子为0，分母不为0.12.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】多项式有公因式，应先提取公因式，
再对余下的多项式进行观察，可采用平方差公式以及完全平方公式继续分解．【详解】 故答案为：(1). (2). 【点睛】考查因式分
解，熟练掌握提取公因式法以及公式法是解题的关键.13.【答案】【解析】【分析】找出分式的分母，根据求最简公分母的方法，找出最简公分
母即可.【详解】分式的分母分别是：则它们的最简公分母是：，即.故答案为：【点睛】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公
倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．14.
【答案】【解析】解：由题意得：，解得：k=.故答案为：．15. 【答案】①②【解析】第①、②步出错，正确解法为：去分母得：2(x
?1)?3(x+1)=1，去括号得：2x?2?3x?3=1，移项合并得：?x=6，解得：x=?6，经检验x=?6是分式方程的解.故
答案为：①②16.【答案】80°【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠AOB=∠ACB+∠D
BC，代入求出即可．【详解】△ABC≌△DCB，∠DBC=40°， 故答案为：80°【点睛】考查全等三角形的性质以及三角形外角的
性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.17.【答案】8【解析】：∠C=90°BD平分∠ABC交AC于D，
DE⊥AB于E利用角平分线的性质可知：CD=DE可知△CDB≌△EDB∵△ADE的周长为8cm即AD+AE+DE=8∵∠C=90°
，AC=BC∴∠A=45°∴AE=DE∴AD+2CD=8=AC+CD∵AB=BE+AE=AC+CD=818.【答案】【解析】【分析
】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，再利用三角形外角性质得∠C′
MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°
-∠B′-x，则∠C′+2x=180°-∠B′-x，所以∠C′+∠B′=180°-3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=
∠C=x+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°-2x．【详解】延长C′D交AC于M,如图,∵△ADC≌△ADC′,△AEB≌△A
EB′,∴∠C′=∠ACD,∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=x，∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2x，∵C′D∥B′E
，∴∠AEB′=∠C′MC，∵∠AEB′=180°?∠B′?∠B′AE=180°?∠B′?x，∴∠C′+2x=180°?∠B′?x
，∴∠C′+∠B′=180°?3x，∵∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠DAC+∠B′+∠ACD =x+∠ACD+∠B′=x+∠C′
+∠B′=x+180°?3x=180°?2x.故答案为：【点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形的内角和等知识
点，作出辅助线是解题的关键.三、因式分解（本题共11分，第19题5分，第20题6分）19. 【答案】【解析】【分析】-15=-5×
3，-5+3=-2，可运用十字相乘法进行分解.【详解】运用十字相乘法，可得.【点睛】对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和
提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解.20. 【答案】【解析】【分析】先对前两项提公因式a,再用平方差公式，再提取公因式
即可因式分解.【详解】原式 【点睛】本题考查的是因式分解,熟练掌握分组分解法，提取公因式法以及公式法是解题的关键.四、计算题（本
题共19分，第21题5分，第22题6分，第23题8分）21. 【答案】【解析】【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加
减运算即可．【详解】原式 【点睛】考查分式的混合运算，注意运算顺序，先乘方，后乘除，最后加减.22.【答案】【解析】【分析】先根据
分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.【详解】原式 当时，原式=【点睛】本题考查的是分式的化简求值,熟知分
式混合运算的法则是解答此题的关键.23. 【答案】（1）（2）无解【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得
到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】(1) 方程两边同乘以最简公分母3(x+1)得： 整理得： 移项得： 系数化为1，得
检验：当时， 所以，是原方程的根，(2)方程两边同乘以最简公分母(x?1)(x+2)得：x(x+2)?(x?1)(x+2)=3，
整理得： 合并同类项得：x=1，检验：当x=1时，(x?1)(x+2)=(1?1)(1+2)=0，所以，x=1是原方程的增根，所以
，原分式方程无解.【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注
意要验根.五、解答题（本题共22分，第24题6分，其余每小题8分）24.【答案】画图见解析【解析】试题分析：要使P到三条公路的距离
相等，那么P点必然在这三条公路夹角的角平分线上，因此，分别作出l1与l3、l2与l3夹角的角平分线，在区域A内的交点即为点P.试题
解析：如图，点P即为所求．点睛：本题关键在于利用角平分线的逆定理解题，掌握尺规作图作角平分线的方法.25.【答案】详见解析.【解析
】试题分析：利用∠DCE是∠DCA和∠ECB的公共角，得∠DCA=∠DCA，再证明△ADC△BEC即可.试题分析：证明：∵C是线段
AB的中点,∴AC=BC,∵∠ACE=∠BCD∴∠ACD=∠BCE,在△ADC和△BEC中,,∴△ADC△BEC（ASA）?∴AD
=BE．点睛： （1）含公共边型如图1所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE．说明△ABC≌△FED的理由
．由图形可知，AD+DC=AC，FC+DC=FD，所以AC=FD，再根据SSS可以说明两个三角形全等．（2）含公共角型如图2所示，
D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD≌△ACE.由图可知，∠DAC=∠EAB,
∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等. 26.【答案】∠1+∠2=180°【解析】【
分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件，可证BE=DF，所以△CDF≌△CE
B，由全等的性质可得∠ABC=∠CDF，问题可得解．【详解】猜想：∠1+∠2=180°证明：过C点作CF⊥AD延长线于点F，∵CE
⊥AB，AC平分∠DAB，∴CB=CF，∠CEB=∠CFD=90°，在Rt△CEA和Rt△CFA中∵∴Rt△CEA≌Rt△CFA（
HL），∴AE=AF，∵，AE+AF=AF－FD+AE+BE，∴FD=BE，在△CEB和△CFD中∵∴△CEB≌△CFD（SAS）
，∴∠2=∠CDF，∵∠CDF+∠1=180°，∴∠1+∠2=180°.【点睛】考查角平分线性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌
握全等三角形的判定定理是解题的关键.附加题一、填空题（6分）27.【答案】(1)③；(2)2，；(3)a＋1＋ .【解析】试题分析
：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；（2）根据题意的化简方法进行化简即可；（3）根据题意的化简方法进行化简即可.
试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.（2）=，故
答案为：2，；（3）==，故答案为：a+1+.二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）28.【答案】（1）见解析（2）见
解析【解析】【分析】根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m
的范围即可．(2) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．【详解】小聪的说
法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0,故，从而.故答案为：小聪；分式的分母不为0,故，从而.(1)去分母得：m+x=2x?6，
解得：x=m+6，由分式方程的解为非负数，得到，且m+6≠3，解得：且(2) 分式方程去分母得：3?2x+nx?2=?x+3,即(
n?1)x=2，由分式方程无解，得到x?3=0，即x=3，代入整式方程得： 当n?1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上n=1或
【点睛】考查知识点是解一元一次不等式以及分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.29.【答案】（1）证明见解析；（2）8；（
3）GH=FH+OG，证明见解析.【解析】试题分析: （1）由题意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠A
CB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；（2）过D作DN⊥AC于N点，可证
明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，
即可得BC+EC的长；（3）在x轴的负半轴上取OM=FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可证明所得结论．试题解析:（1）证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，∴∠CAO=∠CBD. 又∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，∴△ACD≌△BCD（AAS）. ∴AC=BC. （2）解：过D作DN⊥AC于N点，如图所示：∵∠ACD=∠BCD，∠DOC=∠DNC=90°，CD=CD∴△DOC≌△DNC（AAS），∴DO=DN，OC=NC. 又∵∠DEA=∠DBO，∠DOB=∠DNC=90°∴△BDO≌△EDN（AAS），∴BO=EN ∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8. （3）GH=FH+OG. 证明：由（1）知：DF=DO，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中∴△DFH≌△DOM（SAS）. ∴DH=DM，∠l=∠ODM. ∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM. 在△HDG和△MDG中∴△HDG≌△MDG（SAS）. ∴MG=GH，∴GH=OM+OG=FH+OG. 点睛: 本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键． 1 / 1 |
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