2020北京八十中初二（上）期中数 学一、选择题（本题共24分，每题3分。）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．（3分）下
列运算结果正确的是（ ）A．（a2）3＝a6B．a3?a4＝a12C．a8÷a2＝a4D．（3a）3＝3a32．（3分）用下列长
度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．2cm，3cm，5cmB．3cm，3cm，7cmC．5cm，10cm，4cmD．8cm，1
2cm，5cm3．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）A．AB＝ACB．∠BAE＝
∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE4．（3分）下列分解因式正确的是（ ）A．m3﹣m＝m（m﹣1）（m+1）B．x2﹣x﹣6＝
x（x﹣1）﹣6C．2a2+ab+a＝a（2a+b）D．x2﹣y2＝（x﹣y）25．（3分）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：
3：5，则△ABC是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．（3分）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，
先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△A
BC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（ ）A．边角边B．角边角C．边边边D．边
边角7．（3分）已知a＞0且a﹣＝1，则a2+等于（ ）A．3B．5C．﹣3D．18．（3分）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC
⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）A．50B．62C．65D．68二、填空题（
本题共24分，每小題3分）9．（3分）计算：x5?x2＝ ．10．（3分）一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是
边形，一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是 边形．11．（3分）如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥
OB于D，若QC＝QD，则∠AOQ＝ °．12．（3分）因式分解：4ab﹣ab3＝ ．13．（3分）将一副直角三角板如图所
示叠放在一起，则图中∠1＝ °．14．（3分）如图，AC＝DB，欲使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件 ，若AC＝DB
，∠A＝∠D＝90°，可利用 判定方法证明△ABC≌△DCB．15．（3分）若ax＝6，ay＝4，则a2x﹣3y＝ ．1
6．（3分）如图，△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的
距离为 ，推理出结论所用到的理论依据是 ．三、解答题（本题共52分，17-20每题3分，21-24每题4分，252每题
5分，27题6分，28题8分）17．（3分）计算：（x+4）（4﹣x）．18．（3分）计算：a5?（﹣a）4﹣（﹣a3）3．19．
（3分）计算：﹣（﹣2+x）2．20．（3分）计算：（2a+3b）（2a﹣b）．21．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，
AB＝CD，E，F为BD上两点，且BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．22．（4分）已知：2x﹣y＝10，求[（x2+y2）﹣（
x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值．23．（4分）若一个等腰三角形的周长为36cm，一边长为8cm，求其他两边的长．24．（4
分）如图，∠B＝∠C＝∠FDE＝80°，DF＝DE，BF＝1.5cm，CE＝2cm，求BC的长．25．（5分）在△ABC中，AD⊥
BC．求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，AD＝h．（作出所有满足条件的△ABC）26．（5分）阅读下列材料：某同学在计算时3（
4+1）（42+1），把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）
＝（42﹣1）（42+1）＝162+1．请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：（1+）（1+）（1+）（1+）+．27．（6分）如
图，等边三角形AOB，点C为射线OA上一动点，连接BC，以线段BC为边在射线OA同侧作等边三角形△CBD，连接DA．（1）求证：△
OBC≌△ABD；（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．28．
（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点
F，连接EF．（1）当点E在线段AC时，依题意补全图1，用等式表示线段AE+BF与EF的大小关系，并证明．（2）当点E在线段CA的
延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE+BF与EF的大小关系，并证明.2020北京八十中初二（上）期中数学参考答案一、选择
题（本题共24分，每题3分。）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的
除法，积的乘方性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（a2）3＝a6，此选项正确；B、a3?a4＝a7，此选项错
误；C、a8÷a2＝a6，此选项错误；D、（3a）3＝27a3，此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，
同底数幂的除法，积的乘方性质，理清指数的变化是解题的关键．2．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边”，进行分析．【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意；B、3+3＜7，不能构成三角形，不符合题意；C、5+
4＜10，不能够组成三角形，不符合题意；D、5+8＝13＞12，能构成三角形，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边
关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．3．【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边
相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C
AD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形
的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．4．【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【解答】解：A
、m3﹣m＝m（m2﹣1）＝m（m﹣1）（m+1），故此选项正确；B、x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2），故此选项错误；C、2a2
+ab+a＝a（2a+b+1），故此选项错误；D、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），故此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查提
公因式法与公式法分解因式综合运用，能熟练地运用提公因式法分解因式是解此题的关键．5．【分析】根据∠A：∠B：∠C＝1：3：5，可设
∠A＝x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°，再根据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x＝180，解方程算出x的值，即可判断出△
ABC的形状．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：3：5，∴设∠A＝x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°，∴x+3x+5x＝180，解
得：x＝20，∴∠C＝5×20°＝100°，∴△ABC是钝角三角形，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是利用方
程思想列出三个角的关系式．6．【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根据角边角即可判定△
EDC≌△ABC．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（
ASA）故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条
件是十分重要的．7．【分析】把a﹣进行平方，然后整理即可得到a2+的值．【解答】解：∵a﹣＝1，∴a2﹣4+＝1，∴a2+＝4+1
＝5．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，关键是把a﹣平方后乘积二倍项不含字母，这就要求同学们在学习时要仔细观察，灵活运用．
8．【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EF
A≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+
6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠EAF＝∠ABG，∴AE＝A
B，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，∴△EFA≌△AGB，∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH
，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A．【点评】
本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，是中考常见题型．二、填空题（本题共24分，每小題3分）9．【分析】根据同底数幂的乘法法则计
算即可．【解答】解：x5?x2＝x5+2＝x7．故答案为：x7【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相
加．10．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°计算；根据多边形的外角和等于360°计算．【解答】解：设这个多边形为n
边形，（n﹣2）?180＝900，解得：n＝7；∵一个多边形的每一个内角都等于120°，∴这个多边形的每一个外角都等于60°，∴3
60÷60＝6；故答案为：七，六．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和，掌握多边形的内角和公式（n﹣2）?180°是解题的关键
．11．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线，然后根据角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵
QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC＝QD，∴OQ是∠AOB的平分线，∵∠AOB＝70°，∴∠AOQ＝∠A0B＝×70°＝35°．
故答案为：35．【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平
分线是解题的关键．12．【分析】先提取公因式ab，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：4ab﹣ab3＝ab（4﹣
b2）＝ab（2﹣b）（2+b）．故答案为：ab（2﹣b）（2+b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利
用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．13．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，再根据三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠ABC＝30°，∠BCD＝45°，∴∠1＝∠ABC+∠BCD＝30°+45
°＝75°．故答案为：75．【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记
性质是解题的关键．14．【分析】添加一个条件AB＝DC可以利用SSS定理证明△ABC≌△DCB；可以利用HL定理证明△ABC≌△D
CB．【解答】解：添加一个条件AB＝DC；在△ABC≌△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；在Rt△ABC与Rt△DCB中
，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；故答案为：AB＝DC；HL．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一
般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，
若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法运算性质计算即可．【解答】解：∵ax＝6，a
y＝4，∴a2x﹣3y＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟记法则是解题的关键．16．【分析】过点P
作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，从而得解．【解答
】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P
，∴PF＝PG＝4，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝4．推理出结论所用到的理论依据是角平分线的性质，故答案为：4，角平分线的性质．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．三、解答题（本题共52分，17-20每
题3分，21-24每题4分，252每题5分，27题6分，28题8分）17．【分析】直接利用平方差公式计算即可．【解答】解：（x+4
）（4﹣x）＝（4+x）（4﹣x）＝16﹣x2．【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的熟练应用．18．【分析】原式利用同底数
幂的乘法法则计算，合并即可得到结果．【解答】解：a5?（﹣a）4﹣（﹣a3）3＝a9+a9＝2a9．【点评】本题考查了积的乘方，同
底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键．19．【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，将所求式子展开即可．【解答】
解：﹣（﹣2+x）2＝﹣（4+x2﹣4x）＝﹣4﹣x2+4x．【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．20
．【分析】用多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+6ab﹣3b2＝4a2+4ab﹣3b2．【点评】本题主
要考查了多项式乘多项式的运算，掌握运算法则，合并同类项是解题关键21．【分析】根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，进而利用SA
S证明△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（S
AS）．【点评】本题考查三角形全等的判定求解，熟练掌握性质和判定定理并灵活运用是解题的关键．22．【分析】先算括号内的乘法，再合并
同类项，算除法，最后变形后代入求出即可．【解答】解：∵2x﹣y＝10，∴[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y＝[
x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2]÷4y＝（4xy﹣2y2）÷4y＝x﹣y＝（2x﹣y）＝＝5．【点评】本题考查了整
式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想．23．【分析】题目给出等腰三角形有一条
边长为8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵当腰为8cm时
，底边长是36﹣8﹣8＝20（cm），又∵8+8＜20，不能构成三角形；当底为8cm时，三角形的腰是（36﹣8）÷2＝14（cm）
，∴其他两边长为14cm，14cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种
情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．24．【分析】根据三角形的内角和及平角
的定义推出∠BDF＝∠CED，即可利用AAS证明△BDF≌△CED，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】解：∵∠C＝∠FDE＝8
0°，∴∠CED+∠CDE＝100°，∠CDE+∠BDF＝100°，∴∠BDF＝∠CED，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△
CED（AAS），∴BD＝CE，BF＝CD，∵BF＝1.5cm，CE＝2cm，∴BC＝BD+CD＝2+1.5＝3.5cm．【点评】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．25．【分析】作图步骤如下：（1）作直线EF；（
2）作EF的垂线MN交EF于点D；（3）在DM上截取DA＝h；（4）以点A为圆心，以m长为半径画弧交EF于点B；（5）以点B为圆心
，以n长为半径画弧交EF于C，C''；（6）连接AB，AC，AC''，则△ABC和△ABC''即为所求．【解答】解：（1）作直线EF；（
2）作EF的垂线MN交EF于点D；（3）在DM上截取DA＝h；（4）以点A为圆心，以m长为半径画弧交EF于点B；（5）以点B为圆心
，以n长为半径画弧交EF于C，C''；（6）连接AB，AC，AC''，则△ABC和△ABC''即为所求．【点评】本题考查尺规作图，熟练在
尺规法作三角形，并保留作图痕迹是关键．26．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+
?+＝2×（1﹣）+＝2﹣+＝2．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的熟练应用，读懂材料是解题关键．27．【分析】（
1）根据等边三角形的性质得出OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC＝60°，进而得出∠OBC＝∠ABD，即可利用SAS证明△O
BC≌△ABD；（2）根据等边三角形的性质得到∠BOA＝∠OAB＝60°，根据全等三角形的性质得出∠BAD＝∠BOC＝60°，再根
据平角的定义得出∠CAD＝60°．【解答】（1）证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠D
BC＝60°，∴∠ABO+∠ABC＝∠DBC+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SA
S）；（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数不变，为60°，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，由（
1）知△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°．【点评】此题考查了全等三
角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质是解题的关键．28．【分析】（1）补全图形如图1，
延长FD到H，使DH＝DF，连接AH，EH，利用SAS证明△BDF≌△ADH，得到BF＝AH，∠B＝∠DAH，等量代换得到∠EAH
＝90°，根据等腰三角形三线合一的逆定理得出EH＝EF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连
接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1，AE2+BF2＝EF2，理由如下：延长FD到H，使DH＝DF，连接AH，EH，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，在△BDF和△ADH中，，∴△BDF≌△ADH（SAS），∴BF＝AH，∠B＝∠DAH，∵DF⊥DE，DF＝DH，∴EH＝EF，在△ABC中，∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠DAH+∠BAC＝90°，即∠EAH＝90°，在Rt△EAH中，AE2+AH2＝EH2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）补全图形如图2，AE2+BF2＝EF2，理由如下：证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形． 2 / 2 |
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