2020北京初二（上）期中数学汇编勾股定理一、单选题1．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）如图，数轴上点A所表示的数是（ ）A．
B．﹣+1C．+1D．﹣12．（2020·北京·临川学校八年级期中）下列各组数中不是勾股数的是（?）A．B．C．D．3．（2020
·北京四中八年级期中）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为
MN，则线段BN的长为（ ）A．8B．6C．4D．104．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）如图，在Rt△ABC中
，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC''的面积是（ ）A
．3B．4C．5D．65．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面
积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（ ）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米6．（2
020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）如图，已知点的坐标为，则线段的长为( )A．B．C．D．37．（2020·北京市文汇
中学八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（?）A．
B．C．D．8．（2020·北京铁路二中八年级期中）直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为（?）A．10B．5C．9
.6D．4.89．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，数轴上的点表示的数是-1，点表示的数是1，于点，且，以点
为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（?）A．B．C．2.8D．10．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）若一
个三角形的三边长为，则使得此三角形是直角三角形的的值是（?）A．B．C．D．或二、填空题11．（2020·北京市第五中学朝阳双合分
校八年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AC＝6，那么BD＝___．12．（20
20·北京市师达中学八年级期中）如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，
则折痕DE的长________；13．（2020·北京铁路二中八年级期中）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是___
____．14．（2020·北京四中八年级期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对
全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形O
DCE的边长为2，则BD等于_____．15．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠
A＝45°，则c边长为_____．16．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）下列四组数：①0.6，0.8，1：②5，12，1
3； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组为_____．17．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，
△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝____
_．18．（2020·北京八中八年级期中）如图，在中，，，，则______°，的长是________.19．（2020·北京市第四
十四中学八年级期中）等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为_____________．20．（2020·北京铁路二中八年
级期中）如图所示，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，，则_____．21．（2020·北京·清华附中八年级期中）
如图四边形中，，，，，则的长为_______．22．（2020·北京·北外附中八年级期中）写出一组全是偶数的勾股数是_____．2
3．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角
尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则____．三、解答题24．（2020·汇文中学八年级期中）在Rt△AB
C中，AB＝AC，∠CAB＝90°．点D是射线BA上一点，点E是线段AB上一点．且点D与点E关于直线AC对称，连接CD，过点E作直
EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．（1）根据题意补全图形；（2）写出∠CDA与∠G之间的数量关系，并进行证明；（3）已知在等腰
直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的倍，写出线GB，AD之间的数量关系，并进行证明．25．（2020·北京四中八年级期
中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2
”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表
中写出m、n、p合适的数值：abcabc345435512m681072425p15179n4110242611606112353
7………………平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线
，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格
点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣
．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．26．（2020·北京四中八年级期中）
已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．27．（2020·北京市
第一六一中学八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求（1）AB的长；（2）S△ABC．28．
（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC
的面积．29．（2020·北京市文汇中学八年级期中）作图题：在数轴上表示出﹣的点．30．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图
1，在中，，，，于，点是线段上一动点，点与点在直线两侧，，，点在边上，，连接，，．（1）依题意，补全图形；（2）求证：；（3）请在
图2中画出图形，确定点的位置，使得有最小值，并直接写出的最小值为________．参考答案1．D【分析】先根据勾股定理计算出BC＝
，则BA＝BC＝，然后计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1-(-1)＝2，CD＝1，OB=1，∴BC
＝＝＝，∴BA＝BC＝，∴OA＝BA –OB=-1，∴点A表示的数为-1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系
，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．2．D【分析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．【详解
】A、42＋32＝52，此选项是勾股数；B、52＋122＝132，此选项是勾股数；C、152＋82＝172，此选项是勾股数；D、6
2＋72≠92，此选项不是勾股数．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义．3．A【分析】设BN＝x，则由折
叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详
解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝6，在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）
2，解得x＝8．即BN＝8．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟悉相
关性质是解题的关键．4．D【分析】先根据勾股定理得到AB＝10，再根据折叠的性质得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6，则AC′＝4，
在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】∵∠C＝90°，B
C＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，∴△BCD≌△BC′D，∴∠C＝∠BC′D＝90
°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6，∴AC′＝AB﹣BC′＝4，设DC＝x，则AD＝（8﹣x），在Rt△ADC′中，AD2＝AC′
2+C′D2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∵∠AC′D＝90°，∴△ADC′的面积═×AC′×C′D＝×4×3＝6，故
选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定
理．5．A【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．【详解】根据勾股定理可得直角三
角形的另一边长为：＝4（厘米），可得这个直角三角形的面积为：××4＝6（平方厘米）．故选：A【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形
面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．6．B【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】解：OA= ，
故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7．A【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆
柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度圆柱底面的周长为，圆柱高为，这圈金属丝的周长最小为故选：A【点睛】本题考查了
平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化
曲面为平面”，用勾股定理解决．8．D【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再运用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：设斜边长为c，
斜边上的高为h.由勾股定理可得：c2=62+82，解得c=10，直角三角形面积S=×6×8=×10h，解得h=4.8.故选D．【点
睛】本题考查了利用勾股定理的应用和利用面积法求直角三角形的高，掌握等面积法是解答本题的关键．9．A【分析】根据勾股定理求出AC，再
根据实数与数轴的概念即可求出点D表示的数．【详解】解：由题意得，AB＝2，由勾股定理得，AC＝，∴AC=AD＝，则OD＝?1，即点
D表示的数为?1，故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2
＋b2＝c2．10．D【分析】根据勾股定理即可求解.【详解】当4为斜边时，x=当x为斜边是，x=故选D.【点睛】此题主要考查勾股定
理的应用，解题的关键是根据题意分情况讨论.11．9【分析】根据勾股定理以及直角三角形的性质求解即可．【详解】解：在中，，，∴，由勾
股定理得∵∴又∵∴由勾股定理得故答案为9．【点睛】此题考查了勾股定理以及30°直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
12．2【分析】首先根据直角三角形的性质求出斜边AB的长度，进而求出AD的长度；再次利用直角三角形的边角关系即可求出DE的长度．【
详解】∠ADE=∠BDE=90°，AD=BD；∵AC=6，∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC设BC为x，Rt△ABC中，由
勾股定理得：（2x）2=x2+62，解得：x=2，∴AD=BD=2，∵AE=2DE，AE2=DE2+AD2∴DE=2，故答案为2．
【点睛】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还渗透了对直角三角形的边角关系等几何知识点的考查．13．13或【分析】本题已知直
角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类
讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定
理得：52+122=x2∴x=13（负值舍去）（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122∴x=（负值
舍去）∴第三边的长为13或．故答案为：13或．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明
确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．4【分析】设BD＝x，正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2
，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：设正方形的边长为2，则，设，，，，，，，，
，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．2．【分
析】根据题意画出图形，由∠A＝45°可知Rt△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求c的值．【详解】解：Rt△ABC中，∵∠C
＝90°，a＝，∠A＝45°，∴a＝b＝，∴c＝＝2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记公式即可．16．②③【分析】
根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可．【详解】解：①0.6，0.8不是整数，故不是勾股数
；②52+122＝132，故是勾股数；③82+152＝172，故是勾股数；④42+52≠62，故不是勾股数；其中是勾股数的组为②③
．故答案为：②③．【点睛】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．17．14．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵
∠ACB＝90°，S1＝6，S2＝8，∴AC2＝6，BC2＝8，∴AB2＝14，∴S3＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查了勾
股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．18． 45【分析】首先根据三角形内角和定理即可求出的度数，然后过点D作交BC于
点D，利用勾股定理分别求出BD,DC的长度，最后利用即可求出BC的长度．【详解】过点D作交BC于点D，，， ．， ． ， ， ．
， ， ．故答案为：45，．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，含30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握三角形内角和定理，含3
0°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．19．2【分析】设等腰直角三角形的腰长为x，根据勾股定理可得x2+x2=（2）2，解
方程即可得出结论．【详解】解：设等腰直角三角形的腰长为x，∵等腰直角三角形的斜边长为，∴x2+x2=（2）2，解得x=2，即腰长为
2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理，解题的关键是对于等腰直角三角形，只要已知其中任意一边的长，就可以
求出其它两边的长．20．169【分析】利用正方形的基本性质和勾股定理的定义进行解答即可．【详解】解：S 1=9，S2=16，S3=
144，∴所对应各边为：3，4，12.∴中间未命名的正方形边长为5.∴最大的直角三角形的面积52+122=169．故答案为169．
【点睛】本题考查了勾股定理的定义和正方形的基本性质，分析图形得到正方形和勾股定理的联系是解答本题的关键．21．【分析】延长AD、B
C相交于点E，构造特殊直角△ABE，求出∠E＝30°，在Rt△CDE中，可得DE＝2CD＝10，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理
求出AB2，再在Rt△ABD中，利用勾股定理求斜边BD的长．【详解】解：延长AD、BC相交于点E，∵∠A＝90°，∠ABC＝60°
，∴∠E＝90°?60°＝30°，∴AB＝BE，在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝5，∴DE＝2CD＝10，∴AE＝AD＋DE
＝2＋10＝12，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴AB2＋122＝4AB2，∴AB2＝48，在Rt△ABD中，BD＝，
故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表
性，难度适中．22．6，8，10（答案不唯一）【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数可得答案．【详解
】解：∵62+82＝102，∴全是偶数的勾股数可以是6，8，10，故答案为：6，8，10（答案不唯一）．【点睛】本题考查了勾股数，
正确把握勾股数的定义是解题关键23．．【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论．
【详解】如图，过点作于，在中，，，，两个同样大小的含角的三角尺，，在中，根据勾股定理得，，，故答案为．【点睛】此题主要考查了勾股定
理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键．24．（1）见解析；（2）；（3），证明见解析【分析】（1）根据题意画图
即可；（2）由直角三角形中，两个锐角互余，结合三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和解题即可；（3）连接CE，过点G作GH，
垂足为H，先证明CD=CE，由三线合一性质可知，并设，计算出，，继而证明EG=CE=CD，可证明，再由全等三角形的对应边相等，解得
，最后结合勾股定理解题即可．【详解】（1）如图：（2）由图可知，（3）连接CE，过点G作GH，垂足为H，关于直线AC对称，设在中，
在中，，EG=CE=CD在与中在中，【点睛】本题考查几何变换综合题，其中涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
、等腰三角形三线合一性质等知识，是重要考点，难度较易，作出适合的辅助线构造全等三角形，掌握相关知识是解题关键．25．（1）m＝13
，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据
三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152
＝172，∴p＝8．（2）如图所示：在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．【点睛】本
题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．26．AB＝cm．【分析】根据勾股定理的逆定
理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．【详解】解：设
，，，，，，即，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根
据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键．27．（1）4；（2）2+2．【分析】(1)过点A作AD⊥BC于D，根据锐角三角函数的定义求
出AD的长，再根据锐角三角函数的定义求出AB的长．(2)利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，如下
图所示：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，AC＝，∴AD＝DC＝2，在Rt△ABD中，∵∠B＝3
0°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4．（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，∴AB＝2AD＝4．BD＝，∴S△ABC＝×
BC×AD＝×2×(2+2)＝2+2．【点睛】本题考查了解直角三角形等知识点，熟练记牢30°，60°，90°的直角三角形中其三边之
比为及45°，45°，90°的直角三角形中三边之比为.28．2+2【分析】作AD⊥BC于D，利用30°的直角三角形的性质即可求得B
D、再根据勾股定理可求得AD长，利用∠C＝45°可求得AD=CD，进而求得CD的长度，即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式即
可求解．【详解】解：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B＝30°，∠ADB=90°，∴AD＝AB＝4；BD＝＝2
∵∠C＝45°，∠ADC=90°，∴∠DAC＝∠C＝45°，∴DC＝AD＝2，∴BC＝BD+CD＝2+2∴S△ABC＝AD?BC＝
2+2【点睛】本题考查了30°的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正确作出辅助线把三角形转化成两个直角三角形是关键．2
9．见解析．【分析】因为10＝1+9，所以只需作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 √10 ，然后以原点为圆心，以为
半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可．【详解】过表示﹣3的点B作数轴的垂线AB，取AB＝1，连接OA，以O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的负半轴交于点C，则C点表示的数为﹣．【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．30．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，的最小值为10．【分析】（1）根据题目要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和垂直的定义求出∠MAD＝∠C，利用SAS证明△AMD≌△CEB即可得出结论；（3）根据，判断出当B、M、D三点共线时，的值最小，BD的长即为的最小值，作出图形，然后根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：（2）∵AD⊥AB，∴∠MAD＋∠BAN＝90°，∵AB＝AC，AN⊥BC，∴∠BAN＝∠CAN，∠CAN＋∠C＝90°，∴∠MAD＝∠C，又∵AD＝BC，AM＝CE，∴△AMD≌△CEB（SAS），∴；（3）点M位置如图2所示；由（2）可知：△AMD≌△CEB，∴MD＝BE，AD＝BC＝6，∴，∵，∴当B、M、D三点共线时，的值最小，BD的长即为的最小值，∵∠BAD＝90°，∴，即的最小值为10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系的应用以及勾股定理的应用等知识，能够根据题意作出图形是解题的关键． 1 / 1 |
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