2020北京东城初二（下）期末数 学一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．下列二次根
式中，最简二次根式是 A．B．C．D．2．下列各式中，从左向右变形正确的是 A．B．C．D．3．下列四组线段中，可以构成直角三角形
的是 A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．5，12，134．下列函数中，是的正比例函数的是 A．B．C．D．5．在矩形中
，对角线，交于点，且．若，则的长为 A．B．3C．D．66．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点
的坐标为 A．B．C．D．7．一次函数中，若，且随着的增大而增大，则其图象可能是 A．B．C．D．8．如图，等腰中，点是底边上的动
点（不与点，重合），过点分别作、的平行线、，交、于点、，则下列数量关系一定正确的是 A．B．C．D．9．在中，，，点在直线上，且，
则线段的长为 A．B．C．或D．或10．如图，动点在边长为2的等边的边上．它从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点
的运动时间为秒，点与点之间的距离记为，那么与之间的函数关系用图象表示大致是 A．B．C．D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11．使二次根式有意义的的取值范围是 ．12．2020年3月北京市16个区的的浓度（单位：微克立方米）统计情况如表：的浓度3132
33353638区的个数312451下面有三个结论：①的浓度众数是5；②的浓度中位数是35；③的浓度平均数约为34．其中正确的是
（填写序号）．13．如图，菱形中，，，交于点，若是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ．14．如图，三角形花园的边界，互相垂直，若
测得，的长度为，则边界的中点与点的距离是 ．15．图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角
形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于 ；图2中间的小四边形的面积等于 ．16．在平面直角坐标系中，一次函数与
的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是 （填写序号）．①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集
是．三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说
明、演算步骤或证明过程.17．（5分）18．（5分）计算：．19．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形
”的尺规作图过程．已知：矩形．求作：，使．作法：如图，①分别以点，为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点，；②作直线；③以
点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接；④以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接．则四边形即为所求作的平行四边形．根据小
明设计的尺规作图过程，填空：（1）的大小为 ；（2）判定四边形是平行四边形的依据是 ；（3）用等式表示平行四边形的面积和矩形的面积
的数量关系为 ．20．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将函数的图象平移可
得到函数的图象，写出平移的过程．21．（5分）如图，中，，平分，交于点，，．（1）求点到直线的距离；（2）求线段的长．22．（5分
）2017年国务院印发《新一代人工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问
题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况年，中国人工智能专利授权量为 件；（2）图2是2017年前2
0名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在之间的数据分别是：129，154，155，165，
170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是 ；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基
础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的
是 ．（4）下列推断合理的是 （填写序号）．①我国人工智能正快速发展；②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．23．（6分），
，三地都在一条笔直的公路边，在，之间．甲、乙两人相约到地游玩，甲由地出发骑自行车，平均速度是；乙由地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲
骑行的时间为（单位：，甲、乙与地的距离分别为，（单位：．，都是的函数，其中与的对应关系如图所示．回答下列问题：（1），两地之间的距
离为 ；（2） 先到达地；（3）与之间的函数表达式是 ，乙出发后到达地之前，与之间的函数表达式是 ；（4）到达地之前，当 时，甲、
乙两人与地的距离相等；24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点．按要求画四边形，使它的四个
顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一
条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．25．（6分）在平面直
角坐标系中，直线与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点．（1）当点的纵坐标为2时，①写出点的坐标及的值；②求直线，与轴所围成的图
形的面积；（2）当点的横坐标满足时，求实数的取值范围．26．（6分）如图1，矩形中，，．点在边上，．点为对角线上的动点，连接，．设
，两点间的距离为，，．小华根据学习函数的经验，对的形状进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）对于点在上的不同位置，画
图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表：012345675.634.864.193.683.393.383.654.162.
631.921.572.443.284.195.13（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并在图2中
画出函数，的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为 （结果保留两位小数）．27．（7分）如图，将矩形纸片
沿过点的直线翻折，使点恰好与其对角线的中点重合，折痕与边交于点．延长交于点，连接．（1）按要求补全图形；（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，求的长．28．（7分）已知正方形边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形
的内等边三角形．（1）正方形的边长为10，点在边上．①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若是正方形的内等边三角形，连接，，则线段长的最小值是 ，线段长的取值范围是 ；（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，
画出和，点，，按逆时针方向排序，连接，求的长．参考答案一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选
项只有一个.1．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：、原式为最简二次根式，符合题意；、原式，不符合题意；、原式，不符
合题意；、原式，不符合题意．故选：．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2．【分析】根据二次
根式的性质和运算法则逐一判断即可得．【解答】解：．，此选项错误；．，此选项计算正确；．，此选项错误；．，此选项错误；故选：．【点评
】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．3．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和
等于最长边的平方即可．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；、，不能构成直角三角形，故不符合题意；、，不能构成直角三角
形，故不符合题意；、，能构成直角三角形，故符合题意．故选：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个
三角形就是直角三角形．4．【分析】一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．【解答】解
：．属于一次函数，不合题意；．属于正比例函数，符合题意；．属于二次函数，不合题意；．属于反比例函数，不合题意；故选：．【点评】主要
考查正比例函数的定义：一般地，两个变量，之间的关系式可以表示成形如为常数，且的函数，那么就叫做的正比例函数．5．【分析】根据矩形的
性质和等边三角形的判定和性质，可以得到的长，再根据勾股定理，即可得到的长，本题得以解决．【解答】解：，，，四边形是矩形，，，是等边
三角形，，，，，故选：．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．
【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．【解答】解：点的坐标是，，四边形为菱形，，则点的坐标为．
故选：．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．7．【分析】先根据一次函数中，随的增大而增
大且，判断出与的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．【解答】解：一次函数中随的增大而增大，，，，此函数的图象过一、二、
三象限．故选：．【点评】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数图象与系数的关系，用到的知识点：一次函数中），当，时，的图象过一
、二、三象限．8．【分析】证明，得，证明四边形为平行四边形得，进而便可得．【解答】解：，，，，，，，四边形是平行四边形，，，故选：
．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，关键证明，．9．【分析】由勾股定理求出，分两种情况，即可得
出答案．【解答】解：如图所示：，，点在直线上，且，；当点在延长线上时，；当点在延长线上时，；故选：．【点评】本题考查了等腰直角三角
形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．10．【分析】分段求出函数表达式即可求解．【解
答】解：（1）当点在上运动时，，（2）当点在上运动时，，（3）当点在上运动时，过点作于点，是等边三角形，，则，当点在点右侧时，；该
函数为一条曲线，当点在左侧时，同理函数为一条曲线；故选：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论与的函数关
系式．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．【解答】解：由题意得：，解得：，
故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．【分析】中位数是将一组数据从
小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．【解答】
解：①的浓度众数是35，错误；②的浓度中位数是35，正确；③的浓度平均数约为，故答案为：②③．【点评】此题主要考查了众数、中位数的
含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）
，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．13．【分析】根据菱形的性质得出，，，由三角形中位线定理得出，，根据平
行线的判定与性质以及角平分线定义即可求出的度数．【解答】解：四边形是菱形，，，，是边的中点，，是的中位线，，，，，．故答案为：5，
．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行线的判定与性质，角平分线定义，证明出是的中位线是本题的关键．14．【分析】由
勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．【解答】解：连接，在中，，，，是中点，，即边界的中点与点的距离是
；故答案为：40．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．15
．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边
形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．【解答】解：图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，菱形的面积等于，菱形的边长等于，
图2中间的小四边形的面积等于．故答案为：24，1．【点评】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．16．
【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．【解答】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与
轴所夹锐角等于，故①的结论正确；由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论不正确；由图知：当时，函数图象对应的点都在
的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确；故答案为①②．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的
应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小
题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】根据平方差公
式进行计算．【解答】解：原式．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后
合并同类二次根式．18．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算．【解答】解：原式．【点评】本题考
查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用
二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．【分析】（1）连接，由作图知，是线段的垂直平分线，得到，推出是等边三角形
，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形；（3）设与交于，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论
．【解答】解：（1）连接，由作图知，是线段的垂直平分线，，，，是等边三角形，；故答案为：；（2）四边形是矩形，，，，，四边形是平行
四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）设与交于，，，，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性
质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．20．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律
即可求得．【解答】解：（1）一次函数的图象经过，两点．，解得，一次函数为；（2）将函数的图向下平移3个单位可得到函数的图象．【点评
】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换．解决本题的关键是熟练掌握待定系数法．21．【分析】（1）作，根据
角平分线的性质得到，得到答案；（2）证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解
答】解：（1）过点作于，平分，，，，点到直线的距离为1.5；（2）在和中，，，在中，，在中，，即，解得，．【点评】本题考查的是全等
三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．【分析】（1）根据折线统计图可
得答案；（2）根据中位数的计算方法，求出中位数即可；（3）根据图3中数据的离散程度，判断方差的大小．（4）根据题意进行判断．【解答
】解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，故答案为：17477；（2）将20名中国人工智能国
内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为；因此中位数是141.5，故答案为：141.5；（3）根据图3，可以直观得出“垂
直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差最小，故答案为：垂直应用；（4）由统计图可知，我国人工智能正快速发展因此①正确，而“
垂直应用”数量较小，应加强，因此②不正确，故答案为：①．【点评】本题考查折线统计图、频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众
数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．23．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到，两地之间的距离；（2）根据函数图象中
的数据，可以得到乙的速度，再根据题意，即可得到乙先到达地；（3）根据题意和函数图象中的数据，可以得到与之间的函数表达式和乙出发后到
达地之前，与之间的函数表达式；（4）由题意可得存在两种情况，第一种甲走的路程为5千米，第二种是甲的路程等于乙的路程，然后计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，，两地之间的距离为，故答案为：5；（2）由图象可得，乙的速度为：，甲的速度为，，乙先到达地，故答案为
：乙；（3）由已知可得，与之间的函数表达式是，设与之间的函数表达式是，，解得，，即与之间的函数表达式是，故答案为：，；（4）令，解
得，令，解得，即到达地之前，当或时，甲、乙两人与地的距离相等，故答案为：或．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题
意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24．【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质即可得到结论
；（3）根据正方形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，矩形即为所求；（2）如图2，平行四边形即为所求；（3）如图3，正方
形即为所求．【点评】本题考查了作图应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．25．【
分析】（1）①将代入直线，求出，得到点的坐标；把点坐标代入直线，即可求出的值；②根据直线的解析式，求出，根据直线的解析式，求出．利
用三角形面积公式即可求出；（2）将两条直线的解析式联立得到方程组，解方程组求出点的坐标，根据点的横坐标满足，分别计算与时的值，即可
得到实数的取值范围．【解答】解：（1）①直线过点，点的纵坐标为2，，解得，点的坐标为．直线过点，，解得；②，直线的解析式为：，．直
线的解析式为：，．，直线，与轴所围成的图形的面积；（2）解方程组，得，点的坐标为，．点的横坐标满足，当时，，解得，当时，，解得，实
数的取值范围是．【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方
程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．26．【分析】（1）用光滑的曲线连接的函数图象，测得时，（答案不唯一）
；（2）描点画出函数，的图象即可；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）用光滑的曲线连接的函数图象，测得时，（答案
不唯一），012345675.634.864.193.683.393.383.654.162.631.921.571.852.44
3.284.195.13（2）画出函数，的图象如下图：（3），，，当时，即，从图象看，无解；当时，即，从图象看，（答案不唯一）；当
时，即，从图象看，（答案不唯一）；故的长度约为4.65或（答案不唯一），故答案为4.65或5.35（答案不唯一）．【点评】本题考查
的是动点问题的函数图象，准确描绘出函数图象是解题的关键．27．【分析】（1）依照题意补全图形；（2）由“”可证，可得，可证四边形是
平行四边形，由折叠的性质可得，，可得结论；（3）由勾股定理可求，利用勾股定理列出方程可求的长．【解答】解：（1）依照题意补全图形，
如图所示：（2）四边形是矩形，，，，点是中点，，又，，，四边形是平行四边形，将矩形纸片沿过点的直线翻折，，，四边形是菱形；（2），，，，四边形是菱形，，，，．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．28．【分析】（1）①以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即是等边三角形；②由题意可得点在与成的直线上移动，则当时，有最小值，当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，最大值为10，即可求解；（2）如图3，过点作于，作，交于，解直角三角形求出，，再求出，即可解决问题．【解答】解：（1）①如图所示，是等边三角形；②如图2，是等边三角形，，点在与成的直线上移动，当时，有最小值，此时，，，的最小值为5，当时，有最小值，此时，，，，当点与点重合时，有最大值，最大值为10，线段长的取值范围为，故答案为：5，；（2）如图3，过点作于，作，交于，边的长最大，点在上，点在上，四边形是正方形，，，是等边三角形，，，，，，设，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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