2020北京广渠门中学初二（上）期中数 学一、选择题1. 下列标志是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是A.
B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）A. （﹣2，1）B. （2
，1）C. （﹣2，﹣1）D. （2，﹣1）4. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（
）．A. B. C. D. 5. 将边长为1的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则的面积为（ ） A. B. C. D.
6. 如图，将沿翻折，三个顶点均落在点处．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，是外的一点，，分别是两边上的点
，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点恰好落在的延长线上． 若，，，则线段的长为 A. 1 B. 1.5 C. 2D.
2.58. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ).A.
B. C. D. 9. 如图，在中，，面积是，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（
）．A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等
腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题11. 如图，在△ABC中，AB=AC，
BC=6，AD⊥BC于D点，则BD=_________．12. 若，则__________．13. 已知等腰三角形两边长分别为3c
m和5cm，则等腰三角形的周长为_________．14. 如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰直角△CAD，使得∠DAC=90
°，连接BD，作CE⊥BD，若BE=10，则CD=______________．15. 如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一定
点，D是射线OA上的一定点，E是OB上的某一点，满足PE=PD，则∠OEP与∠ODP的数量关系是_____．16. 工人师傅常用角
尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，
N重合．则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。这样做的依据是_______.三、解答题17. 计算：（1）； （2）．18
. 尺规作图： （1）已知：如图，线段a、b、c．求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作图痕迹，不写作法）（2
）如图，AO、OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正在向洞口逃窜．若猫以与老鼠同样的速度去
追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）19. 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点
B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°
，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．21. 如图，点在线段上，，，.求证：. 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线
过点，且平行于轴，如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是．（1）请在图中的直角坐标系中画出； （2）若关于直线对称图形是
，请继续在右边直角的坐标系中画出，并写出三个顶点的坐标．23. 已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC
．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样位置关系？并证明你的结论．24. 从图所示的风筝中可以抽象出几何图
形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．具体定义如下：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等四边形叫做“筝形”．（）结合图，
通过观察、测量、折纸，可以猜想“筝形”具有诸如“平分和”这样的性质，请结合图形，再写出两条“筝形”的性质．①___________
_________________．②____________________________．（）从你写出的两条性质中，任选一条
“筝形”的性质给出证明．25. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点
H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M
是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．26. 如图，在平面直角坐
标系中，等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点． （1）求证：；（2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由
．）（3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由．2020北京广渠门中学初二（上）期中数学参
考答案一、选择题1. 【答案】B【解析】试题分析：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两边的图形能够完全重合，则这个图形就是轴对称
图形，这条直线就是对称轴.根据定义可得：B为轴对称图形.2. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除
法直接进行排除选项．【详解】A、，故错误；B、，故错误；C、，故错误；D、，故正确；故选D．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、积
的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．3. 【答案】A【解析】试题分析：根据“关于
y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）．故选A．考点：关于x轴、
y轴对称的点的坐标．4. 【答案】C【解析】由三角形内角和为，可求边长为的边所对的角为，由全等三角形对应角相等可知，故选C.5.
【答案】C【解析】【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面
积即可．【详解】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴C
E＝DB＝，∴△ABC的面积＝AB?CE＝×1×＝，故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出
BE和CE的长．6. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理求解即可．【详解】根据三角形内角和定理可得∵将沿翻折∴∴∴故答
案为：D．【点睛】本题考查了折叠三角形的角度问题，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．7. 【答案】B【解析】【分析】利用轴对称图
形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MR＝7cm，得出NQ的长．【详解】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点
P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MR＝7cm，∴RN＝3cm，
MQ＝2.5cm，即NQ＝MR?MQ-RN＝7-2.5-3＝1.5（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出
PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．8. 【答案】C【解析】【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等
腰直角三角形，展开得到答案．【详解】易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选C．【点睛】解答此题最好的办法是
动手操作一下，即可以解决问题，又锻炼动手操作能力．9. 【答案】D【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边
的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故
AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△
ABC＝BC?AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为
CM＋MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋BC＝10＋×4＝10＋2＝12．故选：D．【点睛】本题考查
的是轴对称?最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10. 【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形
，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以
点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点； ②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综
上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还
考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．二、填空题11. 【答案】3【解析】【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC
于D，∴BD＝BC＝3故答案为：3．12. 【答案】6【解析】【分析】把等式左边各因数写成与右边相同的底数幂的形式，根据同底数幂乘
法的运算法则可得指数的方程，解方程即可．【详解】∵，则，即，∴，解得．故答案为：6．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，
底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．13. 【答案】11或13．【解析】【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分
情况讨论，从而得到其周长．【详解】当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3cm，3cm，5cm能够组成三角形，此时周长为3＋3＋
5＝11cm；当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，3cm，5cm，5cm能够组成三角形，此时周长为5＋5＋3＝13cm．则这个等腰
三角形的周长是11cm或13cm．故答案为11或13．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系等知识，解题的关键是学
会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14. 【答案】20【解析】【分析】由题意易得AB=AD，∠BAD=150°，则有∠
ABD=∠ADB=15°，进而可得∠DBC=45°，∠EDC=30°，然后可得BE=EC=10，最后根据直角三角形的性质可求解．【
详解】解：∵△ABC等边三角形，△CAD是等腰直角三角形，∠DAC=90°，∴AB=AC，AC=AD，∠BAC=∠ABC=60°，
∠ADC=45°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=15°，∴∠EBC=∠ABC-∠AB
D=45°，∠EDC=∠ADC-∠ADB=30°，∵CE⊥BD，BE=10，∴△BEC为等腰直角三角形，∴BE=EC=10，在Rt
△DEC中，CD=2EC=20；故答案为20．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的
性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15. 【答案】相等或互补【解析】
∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由如下：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，如图所示：∵在
△E2OP和△DOP中， ，∴△E2OP≌△DOP(SAS)，∴E2P=PD，即此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P
为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，则此点E1也符合条件PD=PE1，∵PE2=PE1=PD，∴∠PE2E1
=∠PE1E2，∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，∵∠OE2P=∠ODP，∴∠OE1P+∠ODP=180°，∴∠OEP与∠OD
P所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，故答案为∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°
.点睛：本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的猜想能力、分析能力和解决问题的能力，题目具
有一定的代表性.16. 【答案】SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等【解析】【分析】由三边相等得△COM≌△CON，
再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．【详解】由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故答案：SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．【点睛】本题考查了全
等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．三、解答题17. 【答
案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可；（2）根据积的乘方进行运算即可．【详解】解：（1）=
=；（2）=．【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．18. 【答案】（1）图见解析（2）图见解析【解析】【
分析】（1）首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC
；（2）作AB的垂直平分线，与OB的交点就是C点．【详解】（1）如图所示：△ABC就是所求的三角形．（2）如图，C点为所求．【点睛
】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19. 【答案】详见
解析【解析】【分析】在△ABC中，AD是中线，得BD=CD，根据∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，得△BED≌△
CFD，故BE=CF．【详解】证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90
°，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．【点睛】全等
三角形的判定和性质.20. 【答案】证明见解析．【解析】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等
角对等边，及等量代换即可求解.试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°
)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=
72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB，∴AD=BD=BC.21. 【答案】证明见解析【解析】【分析】若要证明∠A=∠E，只需证
明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠BDE，因此利用SAS
问题得解.【详解】∵DE//BC∴∠ABC=∠BDE在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS)∴∠A=∠E22. 【答
案】（1）图见解析（2）图见解析A2（4，0），B2（5，0），C2（5，4）．【解析】【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质
得出对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置即可．【详解】解：（1）如图所示：，即为所求；（2）如图所示：
，即为所求；顶点坐标 A2（4，0），B2（5，0），C2（5，4）．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关
键．23. 【答案】（1）见解析；（2）AM⊥DM，证明见解析．【解析】【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出M
E=MC=MB，再根据角平分线的判定即可；（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=9
0°，即可求出答案．【详解】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，∴MC=ME，∵M为B
C的中点，∴BM=MC=ME，∵∠B=90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB；（2）AM⊥DM，证明如下：∵∠B=∠C=90°，∴
∠B+∠C=180°，∴AB//DC，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD=∠BAD，
∠MDA=∠ADC，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∴AM⊥DM．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线性质和
判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．24. 【答案】（）①．②，．（）见解析【解析】【分析】（1）①一组
对角相等，∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC;（2）证明∠ABC=∠ADC，由已知条件不难证明△ABC
≌△ADC，即可证明∠ABC=∠ADC．【详解】解：（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD，OB=OD，BD
⊥AC．（2）证明：∠ABC=∠ADC，证：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC．【点睛
】本题考查四边形综合．关键结合全等三角形的判定与性质解题.25. 【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2CE；（3）当点M 在线
段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-
BN.【解析】试题分析：（1）连接ND，先由已知条件证明：DN=DC，再证明BN=DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间
的等量关系为CD=2CE，过点C作CN''⊥AO交AB于N''．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3
）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时．
试题解析：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ， ∴∠1= ∠2 ， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴∠4= ∠5=90
°， ∴∠6= ∠7 ， ∴AN=AC ， ∴NH=CH ， ∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ，∴
∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ， ∴∠B= ∠3 ， ∴BN=DN ， ∴BN=DC
；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE.证明：过点C 作CN'' ⊥AO 交AB 于N''
， 由（1 ）可得BN''=CD ，AN''=AC ，AN=AE ，∴∠4= ∠3 ，NN''=CE ，过点C 作CG ∥AB 交直线l
于G ，∴∠4= ∠2 ，∠B= ∠1 ，∴∠2= ∠3 ，∴CG=CE ，∵M 是BC 中点， ，∴BM=CM ， ∴在△BN
M 和△CGM 中，△BNM ≌△CGM ， ∴BN=CG ，∴BN=CE ， ∴CD=BN''=NN''+BN=2CE ；（3 ）B
N 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN.26. 【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）不变，【解析】【分析】（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证；（2）由（1）可直接进行求解；（3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴AP=OP，∠APO=60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB=PC，∠BPC=60°，∵∠APB是公共角，∴∠OPB=∠APC，∴△OPB≌△APC（SAS），∴OB=AC；（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，∴∠BOP=∠CAP，∵∠BOP=60°，∴∠CAP=60°，故答案为60°；（3）解：不变，AE=8，理由如下：由（2）得：∠CAP=60°，∵∠OAP=60°，∴∠EAO=60°，∴∠AEO=30°，∵，∴OA=4，∴AE=2OA=8．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 1 / 1 |
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