2020北京化工大附中初二（上）期中数学（教师版）

2020北京化工大附中初二（上）期中数 学一．选择题（每题2分，共16分）1. △ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a
的取值范围，正确的是（　　）A. B. C. D. 2. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )A. 0.5B. 1
C. 1.5D. 23. 由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数为?（ ）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°4.
下列交通标志中，轴对称图形的个数为（　　）A 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，
OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；
③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②④6. 如图，在△ABC中
，∠B=∠C=60°，点D为AB边中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ） A. 2B. C. 4D. 7. 如图，
已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）A. AE＝ECB.
AE＝BEC. ∠EBC＝∠BACD. ∠EBC＝∠ABE8. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别
是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）A. 140°B. 100°C. 50°D. 4
0°二．填空题（每题2分，共16分）9. 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．10. 如图，已知，添
加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）．11. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可
以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上.若想知道两点A，B的距离，
只需要测量出线段______________即可．12. 如图，在中，D，E分别是BC，AD的中点，，则的值是_______．13
. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则∠EDB＝_____．14
. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为___
__．15. 如图.在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________.16. 已知一张三角形
纸片ABC（如图甲），其中∠ABC=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过
点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为______°．三、解答题，写出文
字说明、演算步骤或证明过程．（17，18，19每题6分，20，21每题5分，22，23，25每题6分，24题10分，26题12分）
17. 读句画图：如图，已知△ABC．（1）画图：①△ABC的BA边上的高线CD；②过点A画BC的平行线交CD于点E；（2）若∠B
=30°，求∠AED的度数．18. 解方程组：19. 解不等式组并在数轴上表示其解集．20. 已知，在如图所示的“风筝”图案中，，
，.求证：.21. 如图，，，，是同一条直线上的点，，，．求证：．22. 如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，
求∠D与∠ACD的度数．23. 在锐角三角形ABC中，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠B
AC的平分线；24. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰等腰三角形
．（1）请在坐标系中画出所有满足条件△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．25. 如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥
CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．26. 在△ABC中，AB ＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），
以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD ＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC
＝ 90°时，那么∠DCE ＝　 　度；（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC ≠ 90°
时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC ≠90°时，请将图3补充完整，写
出此时α与β之间的数量关系并证明．参考答案一．选择题（每题2分，共16分）1. △ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴
中表示的a的取值范围，正确的是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系确定a的取值范围，
然后在数轴上表示即可．【详解】解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，∴1＜a＜5，∴A符合，故选：A．【点睛】本题主要考
查了三角形三边关系的知识点，准确判断出第三边的取值范围，然后在数轴上进行表示，注意在数轴上表示的点为空心即可．2. 如图，是上一点
，交于点，，，若，，则的长是( )A 0.5B. 1C. 1.5D. 2【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质，得出，，根
据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．【详解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故选B．【
点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键．3. 由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数
为?（ ）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°【答案】D【解析】【详解】∵多边形的外角和为360°，且已知三个外角的度
数分别是120°、70°、120°，∴∠α＝（360－120－70－120）°＝50°；故选D．4. 下列交通标志中，轴对称图形的
个数为（　　）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得
出即可．【详解】解：第1个是轴对称图形，符合题意；第2个是轴对称图形，符合题意；第3个不是轴对称图形，不合题意；第4个是轴对称图形
，符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．5. 如图，
在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论
：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）A. ①B. ①②C. ①②③
D. ①②④【答案】D【解析】【分析】由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于
，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，
所以，而，故③错误；即可得出结论．【详解】解：，，即，在和中，，，，，①正确；，由三角形的外角性质得：，，②正确；作于，于，如图2
所示：则，在和中，，，，平分，④正确；，当时，才平分，假设，，平分，，在和中，，，，与矛盾，③错误；综上所述，正确的是①②④；故选
：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．6. 如图，在△
ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E， 若BE=1，则AC的长为（ ） A. 2B. C. 4D. 【
答案】C【解析】【详解】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=
60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．7. 如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画
弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）A. AE＝ECB. AE＝BEC. ∠EBC＝∠BACD. ∠EBC＝∠ABE
【答案】C【解析】【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．C选项符合题意，其他选项均不符合题意，故选C．【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．8. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝
40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）A 140°B. 100°
C. 50°D. 40°【答案】B【解析】【分析】根据轴对称性质证得△OCD是等腰三角形，求得得∠OCD=∠ODC=50°，再利用
SAS证明△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，∠OPM=∠ODM=50°，
再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解．【详解】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点
M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值．∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；∵
∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，∴∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°，∴∠OCD=∠O
DC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，∴△CON≌△PON，∴∠OCN=∠NPO=50
°，同理∠OPM=∠ODM=50°，∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°．故选B．【点睛】本题考查了轴对称的性
质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点．二．填空题（每题2分，共16分）9. 等腰三角形一边等于
5，另一边等于8，则其周长是_________．【答案】18或21【解析】【详解】分两种情况：①当8为腰时，此三角形的周长=8+8
+5=21；②当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．10. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△
的是_____（只填序号）．【答案】②．【解析】【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求
解．【详解】∵已知，且∴若添加①，则可由判定≌；若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌；若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌
．故答案为②．【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．11. 如图，要测量池塘两岸相对
的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上.若想
知道两点A，B的距离，只需要测量出线段______________即可．【答案】DE【解析】【分析】由对顶角相等，两个直角相等及B
D=CD，可以判断两个三角形全等；所以AB=DE.【详解】根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC
≌△EDC∴AB=DE即只需要测量出线段DE即可.故答案为：DE【点睛】解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，
寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．12. 如图，在中，D，E分别是BC，AD的中点，，
则的值是_______．【答案】【解析】【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个
三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的．【详解】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△
ABD面积的，∴△ABE的面积=4××=．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成
面积相等的两个小三角形．13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，
则∠EDB＝_____．【答案】10°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40
°，∵△CDE是△CDA翻折得到，∴∠CED＝∠A＝50°，在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，即50°＝40°+∠EDB，∴
∠EDB＝10°．故答案为：10°【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折的性质，熟记性质是解题
的关键．14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的
距离为_____．【答案】4cm【解析】【详解】∵BC=10cm，BD：DC=3:2，∴BD=6cm，CD=4cm，∵AD是△AB
C的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．15. 如图.在中，，，和的平分线交于点
，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________.【答案】10.【解析】【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角
形判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．【详解】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝
∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO＋NO＝MB＋NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM＋MN＋AN＝AM＋
MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝10，故答案为10【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平
行线的性质是解题的关键．16. 已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边
上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠A
BC的大小为______°．【答案】72°．【解析】【分析】根据题意设∠A为x，再根据翻折性质得到∠C=∠BED=2x，再根据AB
=AC，得出∠ABC=∠C=2x，然后根据三角形内角和列出方程2x+2x+x=180°，解方程即可．【详解】解：设∠A为x，则翻折
点A恰好与点D重合，折痕为EF由对应角相等可得∠EDA=∠A=x，由∠BED是△AED的外角可得∠BED=∠EDA+∠A=2x，则
翻折点C落到AB边上的E点处，折痕为BD由对应角相等可得∠C=∠BED=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，
∠ABC+∠C+∠A=2x+2x+x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2x=72°．故答案为72°．【点睛】本题主要考查折叠性
质，三角形外角性质．三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解一元一次方程，掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质，折叠性质，解一元一
次方程，三角形外角性质是解题关键．三、解答题，写出文字说明、演算步骤或证明过程．（17，18，19每题6分，20，21每题5分，2
2，23，25每题6分，24题10分，26题12分）17. 读句画图：如图，已知△ABC．（1）画图：①△ABC的BA边上的高线C
D；②过点A画BC的平行线交CD于点E；（2）若∠B=30°，求∠AED的度数．【答案】（1）见解析；（2）60【解析】【分析】（
1）根据高线、平行线的定义画出图形即可；（2）利用平行线的性质、三角形内角和定理即可解决问题.【详解】解（1）如下图: （2）∵C
D⊥AB,∴∠EDA＝90o,∵AE//BC,∴∠DAE=， ∵∠DAE+∠EDA+=180，∴60.【点睛】本题考查了作图、平行
线的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18. 解方程组：【答案】【解析】【分析】把方
程组中每个方程变形后再用消元法求解即可得到方程组的解 ．【详解】解：方程组第一个方程经过去括号、合并同类项后可得到：-x+5y=3
①；方程组第一个方程经过去分母、去括号、合并同类项后可得到：5x-11y=-1②联立①②可得方程组，①×5+②可得：14y=14，
∴y=1，把y=1代入①可得x=2，经检验，即为原方程组的解．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握一元一次方程的解法及消
元法是解题关键．19. 解不等式组并在数轴上表示其解集．【答案】－1 组中每一个不等式的解集，在数轴上分别表示出每一个不等式的解集，确定出不等式组的解集即可.试题解析：解不等式①得，x>-1，解不等式
②得，x≤4，在数轴上表示解集如下：所以不等式组的解集为：-1 答案】详见解析.【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，即可得到答案.【详解】∵，∴，∴，且，，∴，∴.【点睛】本题考查全
等三角形判定定理SAS，熟练掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键.21. 如图，，，，是同一条直线上的点，，，．求证：．【答
案】见解析【解析】【分析】根据等式的性质得出，再利用证明．【详解】证明：，，，，，，在和中，，，．【点睛】考查了全等三角形的判定与
性质以及平行线的性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．22. 如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求
∠D与∠ACD的度数．【答案】∠D =25°，∠ACD=95°．【解析】【分析】根据三角形外角的性质即可求出∠D，根据角平分线的定
义可得∠CAE=2∠DAE，再根据邻补角的定义求出∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠DAE是△ABD的外角，∠B=35°，∠DAE=60° ∴∠DAE=∠B+∠D∴∠D=∠DAE-∠B=25°∵
AD平分∠CAE∴∠CAE=2∠DAE=120°∴∠BAC=180°－∠CAE=60°∵∠B=35°∴∠ACD=∠BAC+∠B =
35°+60°=95°【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，熟记性质
与概念是解题的关键．23. 在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BA
C的平分线；【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL
可知RT△BED≌RT△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．【详解】证明：∵D是BC的中
点，∴BD=DC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴△BED与△CFD都是直角三角形，又BE=CF，∴RT△BED≌RT△CFD
（HL），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．【点睛】本题考查直角三角形的全等与角平分线的判定，灵活运用
HL定理及角平分线的判定定理是证题关键．24. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△A
BC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．【答案】(1)见解析
;(2)见解析.【解析】【分析】要使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况，分别根据题意作图解答即可.【详解】解：（1）如图
所示：（2）点C的坐标分别有（﹣1，0），（1﹣，0），（1+，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，解题
的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质.25. 如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于
点B．求∠AEC的度数．【答案】30°【解析】【分析】试题分析：连接DE，由A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥
CE于点B可证明得到△CDE为等边三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可得.【详解】试题解析：连接DE， ∵A，B分别为CD，CE
的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠AEC＝90°－∠C＝
30°． 26. 在△ABC中，AB ＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使
AD ＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC ＝ 90°时，那么∠DCE ＝　 　度
；（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC ≠ 90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证
明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC ≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．【答
案】（1）90°；（2）①α+β=180°；②α=β．【解析】【分析】（1）根据∠DAE=∠BAC，得到∠BAD=∠CAE，推出△
ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABC=45°，由此得到结论；（2）①由∠BAC=∠DAE，得到∠BAD=∠
CAE，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，于是得到∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，证得∠B+∠A
CB=∠DCE=β，即可得到结论；②由∠DAE=∠BAC，得到∠DAB=∠EAC，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，根据三角形内角和定理得到∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°以及∠CED=∠AEC+∠AED，由此得到α=β．【详解】解：（1）∵AB ＝AC，∠BAC ＝ 90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠DCE ＝90°，故答案为：90°；（2）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°﹣α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°﹣α=β，∴α+β=180°；（3）作出图形，∵∠BAD+∠BAE=α，∠BAE+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC=∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α=180°，∠CDE+∠CED+β=180°，∠CED=∠AEC+∠AED，∴α=β．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 1 / 1