2020北京人大附中初二（下）期末数 学一、选择题（共20个题，1-10题每题3分，11-20题每题2分，共50分）1．下列式子中，是二次
根式的是 A．B．C．D．2．在中，，则的大小为 A．B．C．D．3．若点，都在直线上，则与的大小关系是 A．B．C．D．无法比较
大小4．某校在“中国梦．我的梦”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前
6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的 A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．下列各式计算正确的是 A．B．C．
D．6．下列说法中正确的是 A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形B．四个角都相等的四边形是矩形C．菱形是轴对称图形不
是中心对称图形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形7．若有意义，则能取的最小整数值是 A．0B．1C．2D．38．在平面直角坐标系
中，一次函数的图象与直线平行，且经过点，则一次函数的解析式为 A．B．C．D．9．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则的值为
A．B．C．D．10．如图，、是四边形两边、的中点，、是两条对角线、的中点，若，则以下说法不正确的是 A．B．C．D．11．已知直
角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为 A．4B．5C．4或5D．5或12．如图，直线与的图象相交于点，那么关于，的二元一次方程
组的解是 A．B．C．D．13．计算的结果是 A．B．3C．6D．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点
的坐标为，则点的坐标是 A．B．C．D．15．已知，，的方差为1，数据，，的方差是 A．1B．2C．4D．816．如图，在矩形纸片
中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为．则的长为 )A．4B．5C．D．3.517．如图，平行四边形的周长是，对角线与交于点，，是
中点，的周长比的周长多，则的长度为 A．B．C．D．18．在矩形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，下面
四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形，其中
正确的结论的个数为 A．1个B．2个C．3个D．4个19．已知直线过点，且与轴相交夹角为，为直线上的动点，，、，为轴上两点，当时取
到最小值时点坐标为 A．，B．C．，D．20．等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分
为4个区域．下面四个结论中，①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域Ⅳ中；③若三角
形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长．所有正确结论的序号是 A．①③
B．①③④C．②④D．①②③二、解答题（共3个小题，每小题15分，卷面分5分，共50分）21．（15分）某超市计划在9月份按月订购
西瓜，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．为了确定今后九月份的西瓜订购计划，对前三年此地九
月份的最高气温及西瓜需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．．西瓜每天需求量与当天最高气温关系如表：最高气温（单位：
西瓜需求量（单位：个天）300400500600年9月最高气温数据的频数分布统计表如表：分组频数频率30.30110.23合计30
1.00年9月最高气温数据的频数分布直方图如图：年9月最高气温数据如下（未按日期顺序）25 26 28 29 29 30
31 31 31 32 32 32 32 32 3333 33 33 33 33 34 34 34
35 35 35 35 36 36 36根据以上信息，回答下列问题：（1）的值为 ，的值为 （保留两位小数）；（2）
2018年9月最高气温数据的平均数可能是 ；（3）2019年9月最高气温数据的众数为 ，中位数为 ；（4）已知该西瓜进货成本每个1
0元，售价每个16元，未售出的西瓜降价处理，以每个6元的价格当天全部处理完．假设每年九月每天的最高温度，均在之间．按照需求量，超市
每天的西瓜进货量在之间．①不考虑其他可能的成本，超市西瓜销售是否存在亏损可能？ ；（填“存在”或“不存在” ②2019年9月该西瓜
每天的进货量为500个，则此月该西瓜的利润为 元；③已知超市2019年9月西瓜的日进货量为552个．考虑到现实因素，超市决定今年少
进一些西瓜．假设2020年9月的最高气温数据与2019年9月完全相同，今年9月西瓜的利润可能和去年保持一样吗？如果可能，直接写出今
年的日进货量；如果不可能，说明理由．22．（15分）尺规作图之旅下面是一幅纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中
，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．作图
原理在两年的数学学习中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题．请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可
以实现的画，不能实现的画．（1）过一点作一条直线． （2）过两点作一条直线． （3）画一条长为的线段． （4）以一点为圆心，给定线
段长为半径作圆． 回顾思考还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”．接着，我们学习了使用尺规作图作
线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角
的方法及说理，请补全过程．已知：．求作：，使．作法：（1）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点
为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心， ；（4）过点画射线，则．说理：由作法得已知：，，求证：．证明：在和△中，△ 小
试牛刀请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线与直线外一点．求作：过点的直线，使得．创新应
用现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假如你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书
店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．23．（15分）在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线和点，给出如下定
义：过点作轴，轴的垂线，分别交直线于点，，若，则称为直线的平安点．已知点，，，．（1）当直线的表达式为时，①在点，，中，直线的平安
点是 ；②若以为边的矩形上存在直线的平安点，则点的横坐标的取值范围 ；③若直线被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线的平安点，则，
应满足的条件为 ；（2）当直线的表达式为时，若点是直线的平安点，求的取值范围．参考答案一、选择题（共20个题，1-10题每题3分，
11-20题每题2分，共50分）1．【分析】一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，据此可得结论．【解答】解：、是二次根式，符合题意
；、是三次根式，不合题意；、当时，无意义，不合题意；、属于整式，不合题意；故选：．【点评】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根
式的定义理解被开方数是非负数．2．【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【解答】解：平行四边形，，，，
，．故选：．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．3．【分析】利用一次函数图象上点的
坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．【解答】解：当时，；当时，．，．故选：．【点评】本题考
查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．4．【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩
．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有11个人，且他们
的分数互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．故选：．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要
包括平均数、中位数、众数、方差的意义．5．【分析】根据二次根式的加减法法则逐一判断即可．【解答】解：和不是同类二次根式，所以不能合
并，故本选项不合题意；与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；，故本选项不合题意；，故本选项符合题意．故选：．【点评】
本题主要考查了二次根式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．6．【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及正方形的判
定，即可得出结论．【解答】解：．一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；．四个角都相等的四边形是矩形，
故本选项正确；．菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；．对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，故本选项错误；故选：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及正方形的判定，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．7．【分
析】直接利用二次根式的定义进而分析得出答案．【解答】解：若有意义，则，解得：，故能取的最小整数值是：3．故选：．【点评】此题主要考
查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．8．【分析】根据函数的图象与直线平行，且经过点，即可得出和的值，即得出
了函数解析式．【解答】解：函数的图象与直线平行，，又函数的图象经过点，，一次函数的解析式为，故选：．【点评】本题考查待定系数法求一
次函数解析式，关键是正确得出函数解析式的系数．9．【分析】用代入法即可求得的值，然后再把该点代入中可得的值．【解答】解：把代入得：
，，把代入得，解得，故选：．【点评】本题两直线相交问题，首先会利用代入法求点的坐标，然后再根据待定系数法求．10．【分析】由三角形
中位线定理可得，，，，可得，，，利用排除法可求解．【解答】解：、是、的中点，、是、的中点，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了
三角形中位线定理，掌握三角形的中位线定理是本题的关键．11．【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边
长和直角边长两种情况讨论．【解答】解：直角三角形的两边长分别为3和4，①4是此直角三角形的斜边长；②当4是此直角三角形的直角边长时
，斜边长为．综上所述，斜边长为4或5．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方是解答此题的关键．12．【分析】关于，的二元一次方程组的解即为直线与的图象的交点的坐标．【解答】解：直线与的图象相
交于点，关于，的二元一次方程组的解是，故选：．【点评】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图
形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．13．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式．故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中
，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．【分析】在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】解：，，，四边形是菱形，，在中，，．．故选：．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．15．【分析】已知，，的方差是1，根据方差的计算公式即可求得数据，，的方差．【解答】解：设，，的平均数是，
，，的方差是1，则数据，，的平均数是，根据方差的计算公式可以得到：，则数据，，的方差．故选：．【点评】本题考查方差的计算公式及其运
用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的
平方倍．16．【分析】首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：四边形是矩形，，，，由翻折的性质可知，，，，，
设，在中，，，解得，，故选：．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考常考题型．17．【分析】由的周长为，对角线、相交于点，若的周长比的周长多，可得，，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的
中线性质即可求得答案．【解答】解：的周长为，，，的周长比的周长多，，，．．，是中点，；故选：．【点评】此题考查了平行四边形的性质、
直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．18．【分析】根据矩形的判
定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，四边形是矩形，连接，交于，过点直线和，分
别交，，，于，，，，则四边形是平行四边形，故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；②如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是
矩形；故正确；③如图，当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；④当四边形是正方形时，，则，，，，，四边形是正方形，当四边形为正方形时
，四边形是正方形，故错误；故选：．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是
解题的关键．19．【分析】通过解直角三角形证得是点关于直线的对称点，连接，交直线于，此时，根据两点之间线段最短，则此时取到最小值，
求得直线和直线的解析式，然后两解析式联立，解方程组即可求得此时的坐标．【解答】解：如图，直线过点，且与轴相交夹角为，，，，直线为，
，，过点作直线的垂线，交轴于，则，，，，直线，直线平分，是点关于直线的对称点，连接，交直线于，此时，时取到最小值，，，设直线的解析
式为，把，，代入得，解得，直线的解析式为由解得，点的坐标为，，故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质
，轴对称最短路线问题，解直角三角形等，求得出关于直线的对称点是解题的关键．20．【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判
断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可
判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．【解答】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为，设，则，，．①，，对于
任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；②三角形任意两边之和大于第三边，，即，，对于任意等腰三角形
，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；③若三角形是等腰直角三角形，则，，，，，即，若三角形是等腰直角三角形，其
坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；④由图可知，点位于区域Ⅲ中，此时，，；点位于区域Ⅱ中，此时，，；点所对应等腰三角形的周长比点所对应
等腰三角形的周长短，图中无法得到点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．故选：．【点评】本题是一次函数
综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标
的意义，利用数形结合思想是解题的关键．二、解答题（共3个小题，每小题15分，卷面分5分，共50分）21．【分析】（1）根据统计表中
频数、频率、总数之间的关系进行计算即可；（2）根据加权平均数的计算方法进行计算；（3）根据中位数、众数的计算方法求解即可；（4）①
利用“极端值”即：销售量最少300个，进货最多为600个，计算利润即可；②统计出2019年9月气温的分布情况，然后按照气温与销售量
的关系进行计算，得出答案；③计算出2019年9月的利润，再根据2020年9月的气温、销售量的关系进行计算，得出答案．【解答】解：（
1），，故答案为：9，0.10；（2），故选：；（3）将2019年9月30天的气温从小到大排列，处在中间位置的两个数都是33，优秀
中位数是33，气温出现次数最多的是，共出现6次，因此众数是33，故答案为：33，33；（4）①，因此不存在亏本的情况，故答案为：不
存在；②2019年9月气温、日销售量、相应的天数如下表：这个月的总利润为：，故答案为：85000；③2019年9月份的利润为：，设
2020年9月每天购进西瓜个，由题意得：，解得，，答：可能，今年9月份的日进货量为480个．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分
布表的意义和制作方法，中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解数量之间的关系是正确解答的前提．22．【分析】作图原理根据五种基本
作图判断即可．回顾思考利用全等三角形的判定解决问题即可．小试牛刀利用同位角相等两直线平行解决问题即可．创新应用答案不唯一，画出图形
，说明设计意图即可．【解答】解：作图原理（1）过一点作一条直线．可以求作．（2）过两点作一条直线．可以求作（3）画一条长为的线段．
不可以求作（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作，故答案为：，，，．回顾思考：作法：（1）如图，以为圆心，任意长为半径
画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，以为圆心，长为半径画弧与第二步中所画的
弧交于点；（4）过点画射线，则．说理：由作法得已知：，，求证：．证明：在和△中，△（全等三角形的对应角相等）故答案为：以为圆心，长
为半径画弧与第二步中所画的弧交于点，，全等三角形的对应角相等．小试牛刀：如图，直线即为所求（方法不唯一）．创新应用：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏．【点评】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．【分析】（1）①根据为直线的平安点的定义即可判断；②当时，根据平安点的定义可知点的横坐标的取值范围；③根据平安点的定义可得，应满足的条件；（2）分三种情况：当时；当时；当时；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）①如图，根据直线的平安点可知，在点，，中，直线的平安点是，；②若以为边的矩形上存在直线的平安点，则点的横坐标的取值范围或；③若直线被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线的平安点，则，应满足的条件为且；（2）由题意知，，，，，当时，，则定为直线的平安点；当时，，解得，则当时，为直线的平安点；当时，，解得或，则当时，为直线的平安点．综上所述，若点是直线的平安点，的取值范围为或或．故答案为：，；或；且．【点评】本题考查一次函数综合题、为直线的平安点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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