2020北京重点校初二（上）期中数学汇编等腰三角形一、单选题1．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）平面直角坐标系中，已知A（2，0
），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）A．4B．6C．7D．82．（2020·
北京四中八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周
长，则只需知道（ ）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长3．（2020·北京·北
师大实验中学八年级期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（
）A．45°B．55°C．60°D．65°4．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，∠AOB=120°，OP平分∠A
OB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）A．1个B．2个C．3个D
．3个以上5．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，
以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是（ ）A．B．C．D．6．（2
020·北京师大附中八年级期中）如图，，，则等于（ ）A．B．C．D．7．（2020·北京师大附中八年级期中）若一个等腰三角形的两
边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ）A．B．C．D．或二、填空题8．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，过边长为1
的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为____
__．9．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______
．10．（2020·北京一七一中八年级期中）等腰三角形有一个角是，则它的底角的度数为______.11．（2020·北京·汇文中学
八年级期中）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为__
________．12．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，中，，平分，，点、分别为、上的动点，则的最小值是____
______．13．（2020·北京师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点， 使得是等腰三角形，则这样
的点共有__________个 14．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角为_
_____15．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运
动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度
数是___________.16．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边
上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.17．（2020·北京四
中八年级期中）已知等腰三角形一个外角的度数为，则顶角度数为____________.18．（2020·北京一七一中八年级期中）如图
，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是 高，∠A =30°，AB =4．则BD = _____． 19．（2020·北京师
大附中八年级期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作 于点 ，过点 作 于点 ，则的长为 __________．20．（2020
·北京·汇文中学八年级期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是_________cm．三、解答题21．（2020
·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（
2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．22．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于
点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°，求∠CAE的度数.23．（2020·北京师大附中八年级期
中）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．24．（2
020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于
点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．25．（2020·北京一七一中八年级期中）已知：如图，△ABC是等边三
角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．AB=8（1）求BE的长（2）求证：DB=DE．26．（2020·北京·汇文中学八年
级期中）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°．点D是射线BA上一点，点E是线段AB上一点．且点D与点E关于直线AC对称，
连接CD，过点E作直EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．（1）根据题意补全图形；（2）写出∠CDA与∠G之间的数量关系，并进行证
明；（3）已知在等腰直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的倍，写出线GB，AD之间的数量关系，并进行证明．参考答案1．C
【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△A
BC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③
作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C2．A【分析】由等边三角形的性质和三
角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝C
H，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形
，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60
°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个
全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF
+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判
定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．D【分析】先根据线段垂直平分线的
尺规作图和性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】由题意得：是
AC的垂直平分线，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点
，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质是解题关键．4．D【详解】试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°
．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=
∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中， ，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠M
PN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D．5．C【分析
】根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA=∠CAB=40°，∵以
点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA=AC=AD，,故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧
，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB=CD，∴∠CAB=∠DAC=40°，∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；∵∠E
CA=40°，∠DAC=40°，∴CE=AE，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定，
关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．6．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵AB
＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝12
0°，∴∠A＋∠D＝∠A＋2∠A＝180°?120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形
外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．C【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行
判断，再计算其周长即可．【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为
4＋2＋4＝10（cm）；当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，
所以此三角形不存在．故选： C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键．8
．【详解】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠Q
CF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF
，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以
DE=AC=.故答案为.9．10．【详解】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10
，答：它的周长是10，故答案为10．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．10．或【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角
还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【详解】解：当20°的角为等腰三角形的顶角时，底角＝＝80°；当20°的角为等
腰三角形的底角时，其底角为20°，故它的底角的度数是80°或20°．故答案为：20°或80°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形
的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．11．或【分析】作CD⊥B
E,根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当CE∥AB时; 当CE与AB不平行时.【详解】因为点A（4，3），点C（5，3）
，所以AC∥OB如图，当CE∥AB时，由平移性质可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE当CE与AB不平行时，作CD⊥BE,
则四边形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根据等腰三角形性质得DE’=DE=1,BE’=3；所以E’（6,0）故E的坐标是或故答案
为：或【点睛】考核知识点：矩形性质，等腰三角形性质，平移性质.根据题意画出相关情况是关键.12．7【分析】根据题意可以画出相应的图
形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案.【详解】如图：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D
点. ∵在△ABC中，AB=14，BC=10, AM平分∠BAC,∠BAM=15°，∠BFA=90°,∴∠BAC=2∠BAM=30
°,∴AB=2BF,∴BF=7,∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，∴BD+DE的最小值是BF,∴BD+DE最小值
为：7,故答案为:7.【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、30°直角三角形的性质，掌握最短路线问题、30°直角三角形的性质是解
题的关键.13．【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得
到答案．【详解】解：如图所示，一共有5个这样的点，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不
漏．14．30°【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【详解】∵120°为三角形的顶角，∴
底角为：（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求
出解．15．60°或105°【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内
角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠D
EC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC
=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°?∠CED?∠CDE=180°?30°?30°=120°∵∠ACB=
180°?∠A?∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意.综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或10
5°.故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.16．20【分析】由
AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形
内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C
B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查
等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.17．或【分析】等腰三角形的一个外角等于，
则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵一个外角为，∴三角形的一
个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为、，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为或．故答案为：
或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不
明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．18．1【分析】在直角三
角形中，根据性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此解题即可．【详解】在中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =4，
CD 是 高，故答案为：1．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，其中涉及余角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．19．【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．【详解】∵△AB
C为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠
CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC?CE＝2?＝，故
答案为：．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．2
0．15【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成
三角形．【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为时，，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题的关键是题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长
，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21．（1）证明见解析；（2）∠BOC
=100°【详解】试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得
证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△A
BC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴
∠BOC=180°﹣80°=100°．考点：等腰三角形的性质．22．∠EAC=71°【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACE=71
°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.【详解】∵AC的垂直平分线交AC于点D∴EA=EC
∴∠EAC=∠ECA∵∠B=50°，∠BAC=21°∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°∴∠EAC=71°【点睛】本题考查了线段垂直
平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．23．见解析【分析】根据等
边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC
=BC，∠CAB=∠ACB=60°，∴∠DAC=∠BCE=120°，在△ACD和△CBE中，∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（S
AS）．【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．24．（1）见解析；（2）见
解析；（3）见解析．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△
ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交B
C延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2
）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180
°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝
2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．
在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．
在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证
明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵
F是AD的中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（A
AS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．【点睛】本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角
形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．25．（1）12；（2）见解析．【分析】（1）根据等边
三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意CE=CD，解得CE的长，最后由线段和BE=BC+CE，据此解题即可；（2）由等边三
角形三个内角都是60°，及三线合一的性质，可得，结合已知CE=CD，再根据三角形一个外角等于其不相邻两个内角和定理，解得，最后根据等角对等边解题．【详解】（1）△ABC是等边三角形，BD是中线，CE=CD；（2）△ABC是等边三角形，BD是中线，，CE=CDBD=DE．【点睛】本题考查等边三角形的性质，其中涉及三线合一性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角和、等腰三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．（1）见解析；（2）；（3），证明见解析【分析】（1）根据题意画图即可；（2）由直角三角形中，两个锐角互余，结合三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和解题即可；（3）连接CE，过点G作GH，垂足为H，先证明CD=CE，由三线合一性质可知，并设，计算出，，继而证明EG=CE=CD，可证明，再由全等三角形的对应边相等，解得，最后结合勾股定理解题即可．【详解】（1）如图：（2）由图可知，（3）连接CE，过点G作GH，垂足为H，关于直线AC对称，设在中，在中，，EG=CE=CD在与中在中，【点睛】本题考查几何变换综合题，其中涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一性质等知识，是重要考点，难度较易，作出适合的辅助线构造全等三角形，掌握相关知识是解题关键． 1 / 1 |
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