2020北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形全等的判定一、单选题1．（2020·北京一七一中八年级期中）下列说法正确的是( )A．两个等
腰直角三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等2．（2020·北京四中八年级期中
）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（
）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长3．（2020·北京四中八年级期中）我们利
用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：（1）作射线；（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；（3）以为圆心，为半径作弧
，交于；（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于D''；（5）连接作射线则就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（ ）A．
B．C．D．4．（2020·北京一七一中八年级期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△
ADF≌△CBE的是A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC二、填空题5．（2020·北京·北师大实验中学八年级期
中）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，
则DE的长为______．6．（2020·北京四中八年级期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是________
______点．7．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，是内过顶点的一条射线，作 ，，垂足分别为，，将和分别沿直线，翻折
得到和，已知，，则的长度是__________．三、解答题8．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知线段AB，如果将线段AB绕
点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点，点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如下：（1）如图，在正
方形ABCD中，点_______为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，0)，且x＞0
，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图形
；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明．③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，用含x的代数
式表示y=________．9．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，
我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）如图，在中，点，分别在，上，设，相交于点，若，．请你写出图中一个与相等
的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在中，如果是不等于的锐角，点，分别在，上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等
对边四边形，并证明你的结论．10．（2020·北京·北师大实验中学八年级期中）（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，A
B=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取到最大值，且最大值为 ；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动
点，且BC=6，AB=3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段 ，
并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为 ．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），
点P为线段AB外一动点，且PA=4，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值为 ，及此时点P的坐标为 ．（提示：
等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c=1：1：）11．（2020·北京一七一中八年级期中）已知：如图，点B、F、C、E在
一条直线上，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，且BF=EC．求证：△ABC≌△DEF．12．（2020·北京四中八年级期中）如图，，
和相交于点，．求证：．13．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD
=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．14．（2020·北京四中八年级期中）如图1，点是等腰三角形外一点，过点作于点．
（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证：两点到直线的距离相等．15．（2
020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长
线于点F，DB=3,CF=7,求AE.16．（2020·北京一七一中八年级期中）已知如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是
、．求证：．参考答案1．C【分析】根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】A．如图：图中的两个等腰直角
三角形不全等，故本选项错误；B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是
两三角形不全等，故本选项错误．C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本
选项错误．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，能够完全重合
的两个三角形全等．2．A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC
，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+
BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC
为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CH
G（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+
FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：
A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和
性质是解题的关键．3．C【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．【详解】解：（4）错误．应该是以C''为圆心，CD为半径作
弧，交前面的弧于D''；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考
题型．4．B【详解】试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△
CBE（ASA），正确，故本选项错误．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项
正确．C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项
可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．故选B．5．【详解】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三
角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ
=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=AC=.故答案为.6．Q【分析】先找到OA、OB上的格点E
、F，连接EQ、FQ，证明，即可进行判断．【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ
平分，∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．7．【分析】由
折叠的性质得出AM=AD，BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，求出AM=3，证明△AM
B≌△CNA（AAS），由全等三角形的性质得出BM=AN=7．【详解】解：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=90°，∠CEA=90
°，∵将△ADB和△AEC分别沿直线AB，AC翻折得到△AMB和△ANC，∴△AMB≌△ADB，△ANC≌△AEC，∴AM=AD，
BM=BD，AN=AE，∠BDA=∠BMA=90°，∠AEC=∠ANC=90°，∵MN=AM+AN=AM+AD+DE，∴2AM=M
N-DE=10-4=6，∴AM=3，∴AN=MN-AM=10-3=7，∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠CAN=90°，∵∠AMB
=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠CAN，在△AMB和△CNA中，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴BM=AN
=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．8．（1）A；（2）①如
下图；②GF⊥x轴，证明见解析；③【分析】（1）将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA，即可求解；（2）①按题干定义补图即可
；②首先根据SAS证明△GEF≌△PEO，根据全等三角形的性质得到∠GFE＝∠EOP＝90°，进而得到四边形EFHO是矩形，然后即
可得结论；③分两种情形：如图4中，当0＜x＜5时，如图5中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由题意，将
线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA∴点A为线段BC关于点B的逆转点；故答案为A；（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴
．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴
∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵
∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4，当0＜x＜5时，∵E（0
，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴；如图5中，当x＞5时，；综
上所述，．【点睛】此题主要考查旋转，结合题干中新定义，按照旋转法则解题，涉及到求三角形面积问题．9．（1）与∠A相等的角是∠BOD
、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形；（2）存在等对边四边形DBCE，证明见解析；【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BO
D＝60°，根据对顶角的性质可得∠COE＝60°；作CG⊥BE于G点，作BF⊥C，D交CD延长线于F点通过证明△BCF≌△CBG，
可得BF＝CG，,再证明△BDF≌△CEG，即可证明四边形DBCE是等对边四边形；（2）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长
线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形DBCE是等对边四边形．【详解】（1）∵∠
A=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋30°＝60°，∴与∠A相等的角是∠BO
D、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∴∠BFC=∠CG
B=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG， ∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，
∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD∴∠BDF＝∠BEC，又∵∠BFD=∠CGE=90°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴
BD＝CE，∴四边形DBCE是等对边四边形．（2）存在等对边四边形DBCE，理由如下：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD
延长线于F点．∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，
∵∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝ ，∴∠A=∠BOD，∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠
BEC，又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等对边四边形．【点睛】解
决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．10．（1）CB的延长线上，a+b；（2）
①CD，理由见解析；②9；（3）46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．【分析】（1）当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得
最大值，此时最大值为BC+AB可得；（2）①根据已知条件可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，易知∠CAD=∠E
AB．由SAS可判断△CAD≌△EAB可证得结论；②线段BE长的最大值即为线段CD的最大值，由（1）可知，当线段CD的长取得最大值
时，点D在CB的延长线上，故可得BE的最大值；（3）如图1，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，可得△APN
是等腰直角三角形，故PN=PA=2，BN=AM.由条件可知OA=4，OB=10，故AB=6，由线段AM长的最大值为线段BN长的最大
值，故当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，由等腰直角三角形三边关系可求得最大值；如图2，过P作PE⊥
x轴于E．由△APN是等腰直角三角形，可得PE=AE=2，结合已知条件可计算OE=BO﹣AB﹣AE，可得P点坐标； 如图3，根据对
称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．【详解】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点
A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE
，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠
BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE．故答案是：CD；②∵线段BE
长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=9．
故答案为：CD=BE=9．（3）如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴
PN=PA=2，BN=AM．∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），∴OA=4，OB=10，∴AB=6，∴线段AM长的最
大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN．∵ANAP=4，∴最大值为46．如图
2，过P作PE⊥x轴于E．∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=2，∴OE=BO﹣AB﹣AE=10﹣6﹣24﹣2，∴P（4﹣2
，2）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．综上所述：满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或
（4﹣2，﹣2），AM的最大值为46．故答案为：46，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三
角形的判定和性质，以及平面直角坐标系中几何图形的动点问题，较为综合，根据已知条件确定图形作出正确的辅助线是解题的关键.11．证明见
解析．【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，再根据ASA定理证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：∵AC∥DF，∴
∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．12．证明见解析.【分析】由平行线的性质先得到， ，
继而利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可证得结论.【详解】，， ，在和中， ，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟
练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.13．见解析【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证
明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，∴∠DAC=∠BCE=120
°，在△ACD和△CBE中，∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解
题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过
点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌
Rt△AHD，可得结论；（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN
＝GN，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2）如图4，过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，
AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠
ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH
．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB
＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△AED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△
AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证明：（3）如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长
线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝
∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．【点睛】本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．5【分析】先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE=AC，即可求出AE.【详解】解：∵E是边AC的中点∴AE=EC=AC∵CF∥AB∴∠A=∠FCE在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴AD=CF=7∴AB=AD+DB=10∵∠B=∠ACB∴AC=AB=10∴AE=AC=5【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.16．见解析【分析】首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB＝FC．【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB＝FC．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大． 1 / 1 |
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