2017-2021北京初二（上）期中数学汇编提公因式法分解因式一、单选题1．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）下列各式分解因式正确
的是（ ）A．（a2+b2）﹣（a+b）=（a+b）（a+b﹣1）B．3x2﹣6xy﹣x=x（3x﹣6y）C．a2b2ab3a
b2（4a﹣b）D．x2﹣5x+6=（x﹣1）（x﹣6）2．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）下列说法正确的是（?
）.A．不论x取何值，（x-1）0=1B．的值比大C．多项式x2x1是完全平方式D．43100-399是11的倍数3．（2018·
北京市第四十四中学八年级期中）把因式分解时，应提的公因式是（?）．A．B．C．D．4．（2018·北京市西城外国语学校八年级期中）
在多项式中应提取的公因式是（?）．A．B．C．D．二、填空题5．（2021·北京·清华附中八年级期中）若实数x满足，则______
．6．（2021·北京·人大附中八年级期中）若x+y＝5，xy＝6，则x2y﹣xy2的值为 ___．7．（2020·北京八十中八年
级期中）因式分解： _______________________．8．（2021·北京市第十二中学八年级期中）边长为a、b的长方
形，它的周长为14，面积为10，则的值为__．9．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）因式分解：____________．1
0．（2021·北京四中八年级期中）分解因式：_____________________．11．（2019·北京·临川学校八年级期
中）因式分解：__________________.12．（2018·北京市第十三中学八年级期中）中的公因式是__________
_____．13．（2018·北京市第七中学八年级期中）因式分解：ax﹣ay=_____．14．（2020·北京·101中学八年级
期中）分解因式：_______.15．（2018·北京市月坛中学八年级期中）当a=3，a－b=－1时，a2－ab的值是___三、解
答题16．（2021·北京市第五十七中学八年级期中）在平面直角坐标系中，对任意的点P(x，y)，定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|
y|．任取点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记(x1，y2)，(x2，y1)，若此时|A|2+|B|2≤||2+||2成立，则
称点A，B相关．（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ；①A(﹣2，1)，B(3，2)；②C(4，﹣3)，D(2，4)．（2）
①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有 个；②求所有满足①条件的所有点中与
点E(3，3)相关的点的个数；③对于满足①条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大
值．17．（2021·北京市第十二中学八年级期中）分解因式：18．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）把下列各式因式分解：（
1）；?（2）．19．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）因式分解；．20．（2019·北京市三帆中学八年级期中）21．（
2018·北京市第一五九中学八年级期中）分解因式: (1) ；(2)；（3） ；(4) .22．（2018·北京市第五十六中学八年
级期中）参考答案1．C【分析】直接利用提取公因式法及十字相乘法分解因式进而判断得出答案．【详解】解：A．原式不能分解，不符合题意；
B．原式=x（3x﹣6y﹣1），不符合题意；C．原式ab2（4a﹣b），符合题意；D．原式=（x﹣2）（x﹣3），不符合题意．故选
：C．【点睛】本题考查了提公因式法，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．2．D【分析】根据一个数的0次幂
有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律逐一判断即可.【详解】A. 因为0的0次幂无意义，所以x－1≠0，故A错误
；?B. 因为，，所以，故B错误；C. 多项式x2x1中，一次项系数不符合首尾没平方之前的两倍，不是完全平方式?，故C错误；D.
43100-399=399×（4×3－1）=399×11∵399×11÷11=399∴43100-399是11的倍数，故D正确.故
选D.【点睛】此题考查的是一个数的0次幂有意义的条件、有理数的比较大小、完全平方公式和乘法分配律，掌握任何非0数的0次幂都等于1，
完全平方公式的特征和乘法分配律是解决此题的关键.3．D【详解】由题意得应该提取的公因式是.故选D.点睛：因式分解的方法：（1）提取
公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体
换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.4．D【详解】解：原式=﹣4ab（3c2+2a2），则在
多项式﹣12ab3c﹣8a3b中应提取的公因式是﹣4ab，故选D．点睛：此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及公因式，熟练掌握提取公
因式的方法是解本题的关键．5．2022【分析】将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．【详解】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴
x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x
﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+2020＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．故答案为：2022【点睛
】本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．6．6或-6##-6或6【分析】先利用完全平方公式并根据已
知条件求出x-y的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后整体代入数据计算．【详解】解：∵x+y=5，xy=6，∴（x-y）
2=（x+y）2-4xy=1，∴x-y=±1，∴x2y-xy2=xy（x-y）=6（x-y），当x-y=1时，原式=6×1=6；当
x-y=-1时，原式=6×（-1）=-6．故答案为：6或-6．【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，根据完全平方式的两个公式之
间的关系求出（x-y）的值是解本题的关键，也是难点．7．【分析】根据提取公因式和平方差公式进行分解即可；【详解】原式；故答案是：．
【点睛】本题主要考查了利用提取公因式和平方差公式因式分解，准确求解是解题的关键．8．70【分析】直接利用长方形的周长和面积公式结合
提取公因式法分解因式计算即可．【详解】解：依题意：2a+2b=14，ab=10则a+b=7∴a2b+ab2=ab（a+b）=70故
答案为：70【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b和ab的值是解题关键．9．【分析】用提公因式法即可完成．【详
解】．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法，关键是先找出公因式．10．【分析】原式提取公因式即可．【详解】解：原式，故答案为：
．【点睛】此题考查了提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．11．【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【详解】解：x2－xy= x(x－y).故答案：【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.12．
4a2b2【详解】8a3b2－12a2b3c=4a2b2（2a－3bc）.故答案为4a2b2.13．a（x-y）.【详解】试题分析
：直接提公因式分解因式即可.ax-ay= a（x-y）.考点：分解因式.14．．【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各
项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取
公因式后继续应用平方差公式分解即可【详解】解：，故答案为：．15．-3【详解】试题分析：直接提取公因式，然后将已知代入求出即可．即
a2－ab=a（a-b）=3×（-1）=-3．考点：因式分解-提公因式法．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式
是解题关键．16．（1）②；（2）①169；②108；③n的最大值是108．【分析】（1）①根据相关点定义由A(﹣2，1)，B(3
，2)，得出A′（-2，2），B′（3，1），求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；②根据相关点定义由C(4，﹣3)
，D(2，4)，得出，求四点绝对值的和，再求绝对值和的平方，比较大小即可；（2）①根据﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6， 可得x共13个
整数，y共13个整数，利用有理数的乘法可得所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个即可；②根据相关点定义设点E(3，3)
的相关点Q（m，n）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．根据点E，Q是相关点，得出，因式分解得：，解绝对值不等式得出
不等式组的解集，7×4=28个.，7×4=28个；,，4×7=28个.，4×7=28个；四个区域点数求和即可；③设点A（x,y）其
中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．根据A、B是相关点，
可得，因式分解得：，得出不等式组的解集或或或，由②发现由y=x与y=-x，分成四个部分，满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区
域内都满足任意两点都是相关点，每个区域中都有两个点在y=x与y=-x上，根据x=y讨论即可得解．【详解】解：（1）①A(﹣2，1)
，B(3，2)；A′（-2，2），B′（3，1），∴，∴；，∵＞，∴①不是相关点，②C(4，﹣3)，D(2，4)，，，∴；，∵＜，
∴②是相关点；故答案为：②；（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．∴x=-6，-5，-4，
-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，共13个整数，∴y=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，
共13个整数，所有满足条件的P（x,y）共有13×13=169个，故答案为169；②点E(3，3)，设点Q（m，n）其中﹣6≤m≤
6，﹣6≤n≤6，其中m，n是整数．∵点E，Q是相关点，∴，整理得：，因式分解得：，∴或，由得出两组解，当时，m=-3，-2，-1
，0，1，2，3；n=-3，-4，-5，-6，7×4=28个；当时，m=-3，-2，-1，0，1，2，3；n=3，4，5，6，7×
4=28个；由，得出两组解，当时，m=-3，-4，-5，-6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；当时，m=3，
4，5，6，n=-3，-2，-1，0，1，2，3；4×7=28个；（3，3）（3，-3）（-3，-3）（-3，3）各用两次，所有与
点E(3，3)相关的点的个数有4×28-4=108个，故答案为108；③设点A（x,y）其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y
是整数,B（m，k）其中﹣6≤m≤6，﹣6≤k≤6，其中m，k是整数．∵A、B是相关点，∴，整理得：，因式分解得：，或，∴或，∴或
或或，∴当x=y时，四点,组成正方形，由对角线y=x与y=-x，分成四个部分，每个部分中满足条件或或或是在每部分中长方形区域，在区
域内都满足任意两点都是相关点，每个区域中都有两个点在与上，当点P（x，y），当x=y=0时，为坐标轴上点，4个区域中，每个区域有7
个点，4各区域有（7-1）×4+1=25个，当x=y=1时，正方形四个顶点为（1，1），（-1，1），（-1，-1），（1，-1）
，对角线分成4个区域中，正方形每边有3点，每个区域有三行，每行有6个点，每个区域有6×3=18个点，4个区域有（18-1）×4=6
8个，当x=y=2时，正方形四个顶点为（2，2），（-2，2），（-2，-2），（2，-2），对角线分成4个区域中，正方形每边有5
点，每个区域有五行，每行有5个点，4个区域中，每个区域有5×5=25个点，4个区域有（25-1）×4=96个，当x=y=3时，正方
形四个顶点为（3，3），（-3，3），（-3，-3），（3，-3），对角线分成4个区域中，正方形每边有7点，每个区域有七行，每行有
4个点，4个区域中，每个区域有4×7=28个点，4个区域有（28-1）×4=108个，当x=y=4时，正方形四个顶点为（4，4），
（-4，4），（-4，-4），（4，-4），对角线分成4个区域中，正方形每边有9点，每个区域有九行，每行有3个点，4个区域中，每个
区域有3×9=27个点，4个区域有（27-1）×4=104个，当x=y=5时，正方形四个顶点为（5，5），（-5，5），（-5，-
5），（5，-5），对角线分成4个区域中，正方形每边有11点，每个区域有十一行，每行有2个点，4个区域中，每个区域有2×11=22
个点，4个区域有（22-1）×4=84个，当x=y=6时，正方形四个顶点为（6，6），（-6，6），（-6，-6），（6，-6），
对角线分成4个区域中，正方形每边有13点，每个区域有十三行，每行有1个点，4个区域中，每个区域有1×13=13个点，4个区域有（1
3-1）×4=48个，∴n的最大值是108．【点睛】本题考查新定义概念，点的坐标，绝对值，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式
组的解集，区域中整点，掌握新定义概念，点的坐标，绝对值，绝对值不等式，完全平方公式，因式分解，一次函数，不等式组的解集，区域中整点
是解题关键17．【分析】先把原式化为：，再提取公因式分解因式即可.【详解】解： 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公
因式的确定，特别是互为相反数的两个因式的互相转换”是解题的关键.18．（1）；（2）【分析】（1）先提出系数，再根据平方差公式分解
因式，可得答案；（2）先提公因式，然后套用完全平方公式分解因式，可得答案．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了因式分解，一提
，二套，三检查，分解要彻底．19．【解析】【分析】提出公因式(a-b)即可【详解】解:原式=【点睛】本题考查了用提公因式法,把(a
-b)看成整体是解题的关键.20．（a-3）（m-2）【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：m（a-3）+2（3-a）=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．21．（1）； (2)；(3)(x-y)(a+b)(a-b)；(4)(x-2y)(x+3y)【详解】试题分析：（1）原式提取公因式分解即可（2）原式先分组，再利用平方差公式分解即可；（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（4）原式先变形，再提公因式法分解因式即可．试题解析：（1）原式= =；（2）原式==1-(a+b)2=；（3）原式=a2(x?y)?b2(x?y)=(x?y)(a+b)(a?b)；（4）原式= ==x(x+3y)-2y(x+3y)= (x-2y)(x+3y).22．【详解】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析：原式. 1 / 1 |
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