2017-2019北京初二数学上学期期中汇编：图形的性质解答题1．（2019秋?海淀区校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线
，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；
（2）求证：BP＝PQ．2．（2019秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接
BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请
你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．3．（2019秋?海淀区校级期中）如图
，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．
4．（2019秋?海淀区校级期中）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的
数量关系，并证明．5．（2019秋?海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点
A（p，q）、B（m，n）（m≤n）满足关于x的多项式x2+px+q能够因式分解为（x+m）（x+n），则称点B是A的分解点．例如
A（3，2）、B（1，2）满足x2+3x+2＝（x+1）（x+2），所以B是A的分解点．（1）在点A1（5，6）、A2（0，3）、
A3（﹣2，0）中，请找出不存在分解点的点： ；（2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方），点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解
点，若△PQR面积为6，请直接写出满足条件的△PQR的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探
究△OCD是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由．6．（2019秋?海淀区校级期中）下面
是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如
图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线
PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PA＝
，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l（ ）（填推理的依据）7．（2019秋?海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平
分∠ABC，∠A＝120°，∠C＝60°，AB＝17，AD＝12．（1）求证：AD＝DC；（2）求四边形ABCD的周长．8．（20
19秋?西城区校级期中）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形
进行探究：（1）例如，当∠B是锐角时，如图1，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，用尺规画出符合条件
的点D，则△ABC和△DEF的关系是 ；A．全等 B．不全等 C．不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“
SSA”是成立的．（2）例如，已知：如图2，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△
DEF．9．（2019秋?西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边
形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC
＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D
，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．10．（2019
秋?西城区校级期中）（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取到最大值，
且最大值为 ；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作
等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段 ，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为
．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝4，PM＝
PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为 ，及此时点P的坐标为 ．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满
足a：b：c＝1：1：）11．（2019秋?西城区校级期中）已知：如图，直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB＝∠AB
C＝45°．过点B做射线BD⊥AB于B，点P为BC边上任一点，在射线BD上取一点Q，使得PQ＝AP．（1）请依题意补全图形；（2）
试判断AP和PQ的位置关系并加以证明．12．（2019秋?西城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第
一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2
）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的
度数．13．（2019秋?西城区校级期中）几何作图时，我们往往依据以下三个步骤①画草图分析思路②设计画图步骤③回答结论并验证请你按
照以上所述，完成下面的尺规作图：已知三条线段h，m，c，求作△ABC，使其BC边上的高AH＝h，中线AD＝m，AB＝c．（1）请先
画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现的大致作图步骤）；步骤如下：（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足条件
的三角形即可）14．（2019秋?西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AC＝BD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证
：△ACE≌△DBF．证明： 15．（2019秋?丰台区校级期中）已知：如图，点E是△ABC外角∠CAF平分线上的一点．（1）
比大小：BE+EC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）证明（1）中的结论．16．（2019秋?海淀区校级期中）已知，
如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．17．（2019秋?西城区校级期中）一块含45°
的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，
在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为
，位置关系为 ；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请
证明；如果不成立，请说明理由．18．（2019秋?西城区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△
ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②
求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如
图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．19．（2019秋?海淀区期中）已知：如图∠B＝4
0°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．20．（2019秋?海淀区期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠
BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当
直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出B
N、CE、CD之间的等量关系．21．（2019秋?通州区期中）已知，如图，射线BD平分锐角∠ABC，且平分钝角∠ADC，求证：CD
＝AD．22．（2019秋?西城区校级期中）如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB＝AD，BC＝DC，两根木条的连接处
是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工具的用途．（1）小明发现用这个工具可以快速作出角平分线在下面的几种用法中，能作出∠MON的平
分线的有 ．（写出所有正确的序号）①OC是∠MON的平分线；②OB是∠MON的平分线；③OA是∠MON的平分线（2）对于这个工
具的其它用途，小兰发现可以用它作线段的垂直平分线．请结合图2补全结论并给出证明．已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC．求证：
垂直平分 ．（3）对于这个工具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线．你同意吗？如果同意，请画示意图说明如何操作；如
果不同意，请说明理由．23．（2019秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D
、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．24．（2019秋?朝阳区
校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD于M，请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段
AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想∠B，∠ACM，∠BCM有怎样的数量关系，并证明你的结论．25．（2019秋?海淀区校级
期中）我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三
角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝AB，那么∠B
＝30°．请你根据上述命题，解决下面的问题：（1）如图1，A，B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C，则∠CAB＝
°；（2）如图2，D、F为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt△DEF，使点E在直线l上，并且∠DEF＝90°，∠
EDF＝15°；（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝
AC①求∠BAD的度数；②求证：BD＝CD．26．（2019秋?海淀区校级期中）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C
关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70°，直接写出∠BDC的度数；（2）如图2，若0＜α＜60°，过
点D作DE⊥BD交直线AP于点E，①依题意补全图形；②直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）；③求证：AE＝BD．27．（2
019秋?海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD⊥AB于D，PE⊥AC于E
，对于△ABC所在平面内一点M，KM＝，我们把KM称为点M的“特征值”．（1）若BP＝CP，则点P的特征值kp＝ ；（2）若B
P＝3CP，则点A的特征值kA＝ ；（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值kQ为定值，直接写出这个定值，并
证明．28．（2019秋?海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧
作△ADE，AE＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝
2，直按写出CD的长度．29．（2019秋?海淀区校级期中）如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，∠ACD＝∠B，求证：△ACD≌
△CBE．30．（2019秋?海淀区校级期中）作图题：国庆节期间小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样，还有两个花坛M．N，
请帮小红找一处最佳观赏位置P，满足观赏点P到“7”字样的两边距离都相等，并且到两个花坛M，N的距离也都相等（尺规作图，保留作图痕迹
并写出结论）．结论为： ．31．（2019秋?海淀区校级期中）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠
D．求证：△ABE≌△DCF32．（2019秋?海淀区校级期中）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，
且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．33．（2019秋?海淀区校级期中）已知两个新建的居民小区A，B与两条公路
l1，l2位置如图所示．在S区域内建一个超市M，要求超市到两个新建的居民小区A，B的距离必须相等，超市到两条公路的距离也必须相等．
那么点M应当选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点M（不写已知、求证、作法，只保留作图痕迹），并测量MA的长（精确到0.1
cm）．34．（2019秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
AE＝CF．（1）求证：AE⊥CF；（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的度数．35．（2019秋?海淀区校级期中）阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两
个等腰三角形．他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点 D．将∠BAC分成两个角，使∠DAC＝2
0°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形．喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以
被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．他的做法是：如图3，先画△ADC，使DA＝DC，延长AD到点B，使△DBC也是等腰三角形．
如果DC＝BC，那么∠CDB＝∠ABC，因为∠CDB＝2∠A，所以∠ABC＝2∠A．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最
小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法，继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎
样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请写出你的探究结论，并证明．36．（2019秋?海淀区校级
期中）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为
“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．（1）特例感知：在图2，图3中，△
ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ D
E；②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 ．（2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之
间的数量关系，并给予证明．（3）拓展应用如图4，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝，在
四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的
位置为 ；②直接写出△PBC的“顶心距”的长为 ．37．（2019秋?海淀区校级期中）已知：如图，点A、E、F、C在同一条
直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF．38．（2019秋?海淀区校级期中）如图，点E，F在BC上，BE＝C
F，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．39．（2019秋?朝阳区校级期中）阅读下列材
料：如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求证：CD＝AB．小刚是这样思考的：
由已知可得，∠DCA＝60°，∠DAC＝75°，∠CAB＝30°，∠ACB+∠DAC＝180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊
三角形．即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB＝AE，∠E＝∠D．∵在△ADC与△CEA中，∴△ADC≌△CEA，得CD
＝AE＝AB．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD＝180°，∠B＝∠D
，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．40．（2019秋?西城区校级期中）如图①，OA＝2，OB
＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（1）点C的坐标为 ；（2）如图②，P是y轴负半轴上一个动点，当P点
向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过点D作DE⊥x轴于点E，则OP﹣DE的值为 ；（3）如
图③，已知点F坐标为（﹣4，﹣4），当G在y轴运动时，作等腰直角△FGH，并始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴交于点G（0，m）
，FH与x轴交于点H（n，0），则m与n的关系为 ．41．（2019秋?北京期中）△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，
AC＝BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长
线于点G．（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF＝∠CDE；（3）当
点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．42．（2019秋?朝阳区期中）已知：如图在Rt
△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作出图形：①延长BC到点D，使CD＝BC；②延长CA到点E，使AE＝2CA；③连接AD，
BE．（2）猜想（1）中线段 AD与BE的大小关系，并写出证明思路．43．（2019秋?东城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝
AB，点D在AB上，BC＝BD，∠ACD＝15°，求∠B的度数．44．（2019秋?西城区校级期中）如图，点A，E，F，C在同一条
直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，求证：BD平分EF．45．（2019秋?海淀区校级期中）
已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE＝AB，AF⊥AC，AF＝AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．4
6．（2018秋?海淀区校级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．（1）如图①，若A（﹣2，0
），B（0，1），直接写出C点的坐标；（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索C
D与AM的数量关系，并证明；（3）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二
象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出
PB的值；若变化，求PB的取值范围．47．（2018秋?东城区校级期中）尺规作图：作已知线段的垂直平分线．（要求：不写做法，但要保
留作图痕迹）已知：线段AB，求作：直线CD是线段AB的垂直平分线．你的作图依据是 ．48．（2018秋?西城区校级期中）已知：
如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．求证：（1）求证：△B
DM≌△ADN；（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．49．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，C是AE的中点，∠B＝∠D
，BC∥DE，求证：AB＝CD．50．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，
交BC延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．51．（2018秋?丰台区校级期中）探索归纳：（1）如图1，
已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ ．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪
去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．（4
）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．52．（2018秋?丰台区校级期中）如图，
在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，则∠
CDE的度数是 ．（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时，设∠CDE＝α，请用α表示∠BAD，并说明理由．53．（201
8秋?丰台区校级期中）阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5
，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为
a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分
别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为 ．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为 ．（
3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长
OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是 ．54．（2018秋?西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A
＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明
．55．（2018秋?海淀区校级期中）在l上求作一点M，使得AM+BM最小，并简要说明理由．56．（2018秋?海淀区校级期中）如
图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．D为BC边上任一点，连接AD，过D作DE⊥AD，且DE＝AD．连接BE，探究BE与
AB的位置关系，并说明理由．57．（2018秋?海淀区校级期中）如图1，在等边△ABC中，D为AC边上任一点，连接BD，延长BD到
E，使BE＝AB．设∠ABD＝α．（1）则∠CAE的大小为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，点F在∠CBE的平分线上，连
接EF，CF，若∠ECF＝60°，判断△EFC的形状并加以证明．58．（2018秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝10
0°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝
；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．59．（2018秋?海淀区校级期中）如图，点D，E分别是三角形△
ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD，求证：AD＝AE．60．（2018秋?西城区校级期中）如图，在等边△ABC中，点P、
Q在边BC上，并且满足BP＝CQ，作点Q关于直线AC的对称点M，连接AP、AQ、AM、CM、PM，线段PM、AC交于点N，（1）当
∠BAP＝15°时，∠QAM＝ ；（2）求证：AP＝PM；（3）若AB＝4，当点P在边BC上运动时，则线段CN的最大值为
．61．（2018秋?西城区校级期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上
的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把
AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是 ．感悟：解题时，条件中若出现
“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请写出图1中AC
与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究
线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．62．（2018秋?海淀区校级期中）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC
＝DB．求证：AB＝ED．63．（2018秋?海淀区校级期中）阅读理解在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，给出如下定义：若
在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．根据阅读材料，解决下列问题．已知点A（2，0），
以OA为边作等边△OAB，点B在第一象限．（1）在点C（0，﹣1），D（2，2），E（3.5，0）中，△OAB的关联点是 ；（
2）直线1⊥AB于A，点F在直线1上．若F为△OAB的关联点．①设点F的纵坐标为n，则n的取值范围是 ；②设△FAB的面积为S
，则S的最大值为 ．64．（2018秋?西城区校级期中）如图1，直线l是直角△ABC的斜边BC的垂直平分线，点A′与A关于直线
l对称，连接A''B、A′C，由轴对称的性质不难得到A''B与AC的交点M在直线l上，点P是直线A''B上一点，过点P作PD∥A''C交B
C于点D，过点D作DQ⊥AC于点Q，（1）若∠ABC＝65°，则∠ACA′＝ ；（2）如图2，当点P与点M重合时，求证：DP+
DQ＝AB；（3）①如图3，当点P在线段A′B上（不含端点）时，线段DP、DQ、AB的数量关系是 ；②当点P在线段A′B的延长
线上时，线段DP、DQ、AB的数量关系是 ．65．（2018秋?海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为
a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2①在射线OA上截取线段OB＝a；②分别以点O
，点B为圈心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；③连接CD，交OB于点E；④在直线CE上截取线段EF＝b；⑤接OF，BF．
△OBF即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OC＝
，OD＝ ，∴CD是线段OB的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）66．（2018秋?海淀区校级期中）阅读下面材料：在
数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：线段a，b．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．小涛的作图步
骤如下：如图（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC
．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．老师说：“小涛的作图步骤正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：① ；②
．67．（2018秋?西城区校级期中）“学农”期间，我们住在北京农学院，a，b分别代表两条道路，点M、N分别代表宿舍楼和教学楼．为
了便于杨枫老师快速便捷地协调指挥，现要建立联络站O点，使O点到两条道路的距离相等，且到宿舍楼和教学楼的距离也相等．请用直尺和圆规画
出所有满足条件的O点位置，不写作法，保留作图痕迹．并指出杨枫老师应选择的联络站位置．68．（2018秋?海淀区校级期中）如图，∠A
OB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，求OC的长．69．（2018秋?海淀区校级
期中）线段AB和CD交于点E，连接AD，BC，满足AD∥BC，∠A＝∠AED，（1）如图1，若∠D＝50°，请直接写出∠B的度数．
（2）如图2，作△ADE的高DH，延长DH交BC的延长线于点F，连接AF，求证：EF＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接A
C，若AB＝AF，请找出图中所有与AC相等的线段．并证明你的结论．70．（2018秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC
，AD是BC边上的中线，延长BA到E，过E作EF⊥BC于F交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AE＝AG．71．（20
18秋?海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，连接CD，（1）作图：延长CD，在射线CD上取点E使得A
E＝AC，连接AE，作∠EAB的平分线AF交CE于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接BF，求证：
∠BFC＝∠BAC．72．（2018秋?西城区校级期中）如图所示，直线l1、l2、l3为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在
区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）．73
．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：
△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．74．（2
018秋?延庆区期中）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，且∠B＝∠C．求证：△ABE≌△ACD75
．（2018秋?延庆区期中）已知△ABC请你按下列步骤画图（用圆规、三角板、量角器等工具作图，不写画法）①在BC的延长线上取一点D
．②连接AD．③过C作射线CM∥BA交AD于N．④分析∠ANM与∠ACN的数量关系（填“＞”，“＜”或“＝”）∠ANM ∠AC
N，依据是 ．76．（2018秋?延庆区期中）在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于
点F．如图，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他
发现先在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD即可．（1）下面是小东证明该猜想的部分思
路，请补充完整：①在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF与 全等，判定它们全等的依据是 ；②由∠A＝
60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB＝ °；（2）请直接利用①、②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD
＝BC的过程．77．（2018秋?西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝．请你猜想∠
1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．解：猜想： ．证明： 78．（2018秋?西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是
∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．79．（2018秋
?西城区校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作出图形：①延长BC到点D，使CD＝BC；②延长CA到
点E，使AE＝2CA；③连接AD，BE．（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．解：（1）完成作图（2）AD与
BE的大小关系是 ．80．（2017秋?西城区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点
，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．（1）若CD＝3，则求CE的长；（2）求证：BF⊥AE．81．（2
017秋?西城区校级期中）作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等．
82．（2017秋?海淀区校级期中）如图，有一Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P点在
AC上，Q点在过A点且垂直于AC的射线AM上运动．当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离为 ．83．（2017秋?西城区
校级期中）已知：∠α，m，n（m＜n），求作：△ABC，使得∠ABC＝∠α，AB＝m，BC＝n．84．（2017秋?西城区校级期中
）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB＝CF．求证：（1）CE⊥A
B；（2）AE＝BE．85．（2017秋?海淀区期中）如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作
点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．（1）如图（1）当α＝15°时
，①按要求画出图形，②求出∠ACD的度数，③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a
＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 ．86．（2017秋?西城区校级期中）尺规画图 （不用写
作法，要保留作图痕迹）如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B
点400米，如果你是红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置点P．87．（2017秋?海淀区期中）如图，已知△A
BC和△ADE均为等边三角形，连接CD、BE，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，求证：△AFG为等边三角形．88．（2017秋
?东城区校级期中）已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．89．（2017秋?西城区校级期中）如图，已知∠
AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以点D，E为圆心，
以大于长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．上述做法合理的顺序是 ．（写序号）这样做出的射线OC就是∠O的角平分线，其依据
是 ．90．（2017秋?西城区校级期中）如图，AD∥BE，点C在AB上，AC＝BE，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE交D
E于点F．求证：（1）△ADC≌△BCE；（2）CF是DE的垂直平分线．91．（2017秋?东城区校级期中）如图，△ABC中，AB
＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE．（1）求证：△AEF≌△CEB．（2）直接写出∠B的度数 ．（3）AF与CD具有什
么数量关系？并说明理由．92．（2017秋?西城区校级期中）已知：在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上，且
∠EAC＝2∠EBC．求证：AE+AC＝BC．93．（2017秋?西城区校级期中）如图：已知∠D＝∠C，OD＝OC，求证：AD＝B
C．94．（2017秋?西城区校级期中）三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC
所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．（1）如图1，
当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，
请问上述结论还成立吗？请说明理由．95．（2017秋?西城区校级期中）已知：B﹣O﹣A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB
．（1）如果要从P处以最短路径到达公路上一点N，且点N与点M不重合，求作路径PN．两条路径PM与PN的关系是 ，理由是 ．
（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，标明点C的位置．（3）若D点在
公路OB上，到桥O点的距离与C点到O点的距离相等．作出△CDP，求证△CDP为等腰三角形．96．（2017秋?西城区校级期中）在△
ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时
，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置
时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．小芸第（1）问的证明步骤是这样的：由∠DAC+∠ACD＝90°
，∠ACD+∠BCE＝90°得出∠DAC＝∠BCE；从而证出△ACD≌△CBE，得到：DE＝AD+BE．请你仿照小芸的证题步骤完成
第（2）问的证明．97．（2017秋?西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的
角平分线，且相交于点F．问：BC，BE，CD有怎样的等量关系？并说明理由．98．（2017秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中，
AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE＝CF．99．（2017秋?西
城区校级期中）如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．（1）BD和
AE的大小关系是 ，位置关系是 ；请给出证明；（2）求证：CF平分∠BFE．100．（2017秋?西城区校级期中）如图，△
ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D．（1）请你利用尺规作图作出点D；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F，若AB＝6，AC＝3，则BE＝ ．101．（2017秋?海淀区期中）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离
相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）102．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是△BAC的角
平分线，AC＝AB+BD，∠C＝31°，求∠B的度数．103．（2017秋?西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（
6，0），B（0，8），C（﹣2，0）．（1）点M在AC的垂直平分线上，且△BCM的周长最小，在图中画出点M的位置；（2）P，Q是
两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB按照A﹣O﹣B的路线运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BOA按照B﹣O
﹣A的路线运动，运动过程中，点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒．①当t＝4时，△OPQ的面积为
；②直线l经过原点O，且l∥AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F．当△OPE与△OQF全等时，求t的值．104．（20
17秋?海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D和E分别是边BC和AB上的动点，并满足∠EDB＝∠ACB． 过
点B作BF⊥DE，垂足为F．（1）如图1，若α＝90°，猜想线段BF与DE的数量关系： ；（2）若点D运动到点C的位置，点F在
DE的延长线上，连接AF，①请在图2中补全图形；②是否存在α使得△ABF为等腰三角形？若存在，求出α的值； 若不存在，请说明理由．
105．（2017秋?西城区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．106．（2
017秋?昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边△ABC的面积
．107．（2017秋?昌平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B．在y轴上是否
存在点P，使得△ABC和△ABP的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．108．（2017秋?房山区期中）阅读下
列材料，并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且32+42＝52．
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a
2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个
直角三角形斜边长为 ．（2）满足勾股定理方程a2+b2＝c2的整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如，则（1，2，）就是一组勾股
数组．请你写出勾股数：（1， ，）．（3）如图2，在数轴上方画一个直角三角形，使得两条直角边分别是2和1，以O为圆心，斜边OB
长为半径画圆，交数轴于点A，则OB＝ ，点A在数轴上表示的数是 ，请用类似的方法在图2数轴上画出表示的C点（保留作图痕迹）
．2019北京初二数学上学期期中汇编：图形的性质解答题（一）参考答案1．（2019秋?海淀区校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝
AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含
α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．【解答】解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，∴∠ABP+∠AQP
＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠CQP＝∠ABP，∵∠ABP＝α，∴∠CQP＝α；（2）连接PC，∵AB＝AC，A
D为中线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵点P是AD上一点，∴PB＝PC，∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，∴△ABP≌△
ACP（SSS），∴∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，∴∠ACP＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PQ．2．（20
19秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B
关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠E
FD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．【解答】（1）解：图形如图1中所示：（2）解：如图2中，连接DE．∵B，
D关于AC对称，∴EB＝ED，∠BEC＝∠DEC＝50°，∵EB＝EF，∠BEF＝40°，∴∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF＝50°﹣
40°＝10°，DE＝EF，∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝60°．（3）证明：如图2
中，连接BD．∵B，D关于AC对称，∴CB＝CD，∠BCA＝∠ACD，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠BCA＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝60°，∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠BDC，∴∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，
∵B，D关于AC对称，∴∠EDC＝∠EBC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＝40°，∵EB＝E
D，∠BED＝100°，∴∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠FCD＝∠EBD＝40°，∴∠FDC＝∠FCD＝40°，∴FD＝FC．3
．（2019秋?海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线
于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．【解答】解：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F
，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴CF＝AD＝7，∴AB＝AD+BD＝10，又∵∠B＝∠ACB，∴AB
＝AC＝10，∵E是边AC的中点，∴AE＝AC＝5．4．（2019秋?海淀区校级期中）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，
若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．【解答】解：结论：∠ABC＝3∠C．理由：设∠C＝x．∵点D
在BC的垂直平分线上，∴DB＝DC，∴∠C＝∠CBD＝x，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝2x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2
x，∴∠ABC＝∠ABD+∠C＝3x，∴∠ABC＝3∠C．5．（2019秋?海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐
标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点A（p，q）、B（m，n）（m≤n）满足关于x的多项式x2+px+q能够因式分解为（x+m
）（x+n），则称点B是A的分解点．例如A（3，2）、B（1，2）满足x2+3x+2＝（x+1）（x+2），所以B是A的分解点．（
1）在点A1（5，6）、A2（0，3）、A3（﹣2，0）中，请找出不存在分解点的点： A2 ；（2）点P、Q在纵轴上（P在Q的上方
），点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若△PQR面积为6，请直接写出满足条件的△PQR的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）
已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究△OCD是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理
由．【解答】解：（1）对于A1（3，2），x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故B1（1，2）是A1的分解点．对于A3（﹣2，0
），x2﹣2x＝x（x﹣2），故B3（0，﹣2）是A3的分解点．点A2不存在分解点．故答案为A2．（2）∵P，Q在纵轴上，P，Q都
存在分解点，∴P，Q的纵坐标只能是0，﹣1，﹣4，﹣16，当R1（1，0）时，∵△PQR的面积为6，∴PQ＝12，∵P在Q的上方，
∴P1（0，﹣4），Q1（0，﹣16），同法当R2（﹣1，0）时，可得P2（0，﹣4），Q2（0，﹣16），当R3（3，0）时，可
得P3（0，0），Q3（0，﹣4），当R4（﹣3，0）时，可得P4（0，0），Q4（0，﹣4），当R5（4，0）时，可得P5（0，
﹣1），Q5（0，﹣4），当R6（﹣4，0）时，可得P6（0，﹣1），Q6（0，﹣4），当R7（12，0）时，可得P7（0，0），
Q7（0，﹣1），当R8（﹣12，0）时，可得P8（0，﹣4），Q8（0，﹣1），综上所述，△PQR的个数为8．（3）如图，设D（
m，n），则m，n是正整数，∵（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn且D为C的分解点，∴C（m+n，mn）．当m＝1时，D
（1，n），C（n+1，n），此时OC＞OD＞CD，不可能构成等腰三角形．当m≠1时，则m+n＞m，mn＞m，则点C必在直线x＝m
，y＝n相交直线的右上角区域，此时OC＞OD，OC＞CD，若△OCD为等腰三角形，只可能OD＝CD，如图，过C作CN⊥直线y＝n，
过点D作DM⊥x轴于M．在Rt△ODM和Rt△CDN中，DM＝DN＝n，若OD＝CD，则Rt△ODM≌Rt△CDN（HL），∴DM
＝CN，即m＝mn﹣n，此式子可以化为（m﹣1）（n﹣1）＝1，∵m，n为正整数，∴m＝2，n＝2，即D（2，2），C（4，4），
此时O，C，D共线，△OCD不存在，综上所述，△OCD不可能为等腰三角形．6．（2019秋?海淀区校级期中）下面是小康设计的“过直
线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知直线l及直线l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．做法：如图，①以P为圆心，
以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作∠APB的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据
小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵PA＝ PB ，PQ平分∠A
PB，∴PQ⊥l（ 等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合 ）（填推理的依据）【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求．（
2）证明：∵PA＝PB，PQ平分∠APB，∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）．故答案为：PB，等腰三角形底边
上的高线与顶角平分线互相重合．7．（2019秋?海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A＝120°，
∠C＝60°，AB＝17，AD＝12．（1）求证：AD＝DC；（2）求四边形ABCD的周长．【解答】证明：（1）在BC上取一点E，
使BE＝AB，连结DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（SAS）；∴DE＝
AD＝12，∠BED＝∠A，AB＝BE＝17，∵∠A＝120°，∴∠DEC＝60°．∵∠C＝60°，∴∠DEC＝∠C．∴DE＝DC
，∴AD＝DC．（2）∵∠C＝60°，DE＝DC，∴△DEC为等边三角形∴EC＝CD＝AD．∵AD＝12，∴EC＝CD＝12，∴四
边形ABCD的周长＝17+17+12+12+12＝70．8．（2019秋?西城区校级期中）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角
对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：（1）例如，当∠B是锐角时，如图1，BC＝EF，∠B＝
∠E＝90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是 A ；A．全等 B．不全等
C．不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的．（2）例如，已知：如图2，在锐角△ABC和锐角
△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．【解答】解：（1）如图1，点D即为所求作的点．因为BC＝
EF，∠B＝∠E＝90°，DF＝AC，所以Rt△ABC和Rt△DEF的关系是：全等，故选A；（2）如图2，作CG⊥AB于点G，FH
⊥DE于点H，∴∠CGB＝∠FHE＝90°，在△CGB和△FHE中，∴△CGB≌△FHE（AAS）．∴CG＝FH．在Rt△AGC和
Rt△DHF中，∴Rt△AGC≌Rt△DHF（HL）∠A＝∠D．∴∠ACB＝∠DFE在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（
SAS）．9．（2019秋?西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四
边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A＝60°，∠DCB＝∠EB
C＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点
D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解答】解：（
1）∵∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC+∠OCB＝60°，∴与
∠A相等的角是∠BOD，∠EOC．如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于F．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC
，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠BDG＝∠BOD+∠ABE＝∠A+
∠ABE＝∠CEF，∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四
边形BCED是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．∵∠D
CB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠
A+∠DOE＝180°，∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠CEF＝180°，∠ADO＝∠BDG，∴∠BDG＝∠CEF，∵
∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四边形BCED是等对边四
边形．10．（2019秋?西城区校级期中）（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于 CB的延长
线上时 时，线段AC的长取到最大值，且最大值为 a+b ；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC
＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段 CD＝BE
，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为 9 ．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，
0），点P为线段AB外一动点，且PA＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为 4+6 ，及此时点P的坐标
为 （4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2） ．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c＝1：1：）【解答】解：（1）∵点A
为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答
案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠C
AE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SA
S），∴CD＝BE．②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大
值为BD+BC＝AB+BC＝9；故答案为CD＝BE，9．（3）如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），∴OA＝4，OB＝10
，∴AB＝6，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN
＝AP＝4，∴最大值为4+6．如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE
＝10﹣6﹣2＝4﹣2，∴P（4﹣2，2）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．综上所述
，满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2），AM的最大值为4+6．故答案为4+6，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．11
．（2019秋?西城区校级期中）已知：如图，直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°．过点B做射线BD
⊥AB于B，点P为BC边上任一点，在射线BD上取一点Q，使得PQ＝AP．（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP和PQ的位置关系并
加以证明．【解答】解：（1）点P、Q即为所求作的点；（2）AP和PQ的位置关系是垂直．过点Q作QM⊥CB，交CB延长线于点M，则∠
C＝∠QMP＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，又∵∠ABD＝90°，∴∠QBM＝45°，∴BM＝QM，设CP＝a，PB＝
b，BM＝QM＝m，则AC＝BC＝a+b，∵AP＝PQ，∴（a+b）2+a2＝（b+m）2+m2，整理，得：a2﹣m2＝mb﹣ab
因式分解可得（a﹣m）（a+b+m）＝0，∵a+b+m≠0，∴a﹣m＝0，即a＝m，∴CP＝QM，∴Rt△ACP≌Rt△PMQ（H
L），∴∠QPM＝∠PAC，∵∠PAC+∠APC＝90°，∴∠APC+∠QPM＝90°，∴∠APQ＝90°，即AP⊥PQ．12．（
2019秋?西城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是
线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系
，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．【解答】解：（1）如图1所示，（2）OA
+AC＝OD，如图1，过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，∴BE＝AO，∠ABE＝90°，∵AB＝AO，∴AB＝BE，∵
BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△EBD（ASA），∴AC＝DE，∵O
E＝AB＝OA，∴AO+AC＝OD；（3）如图2，由（1）知：△ABC≌△EBD，∴BC＝BD，∵BD⊥BC，∴△BCD是等腰直角
三角形，∴∠BCD＝45°，∵BH平分∠CBD，∴∠BHC＝90°，∵∠BAO＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，∴四边形AN
MH是矩形，∴∠NHM＝90°，∴∠NHC＝∠MHB，∴△CNH≌△BHM（AAS），∴HN＝HM，∴AH平分∠CAB，∴∠BAH
＝45°．13．（2019秋?西城区校级期中）几何作图时，我们往往依据以下三个步骤①画草图分析思路②设计画图步骤③回答结论并验证请
你按照以上所述，完成下面的尺规作图：已知三条线段h，m，c，求作△ABC，使其BC边上的高AH＝h，中线AD＝m，AB＝c．（1）
请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现的大致作图步骤）；步骤如下：（2）完成尺规作图（不要求写作法，作出一个满足
条件的三角形即可）【解答】解：（1）画草图进行分析先画一条直线，在直线上任意取两点，作线段的垂直平分线，在垂直平分线上截取AD＝h
，再以点A为圆心，m、c长为半径画弧，交直线于点D、B，以点D为圆心，BD长为半径画弧交直线于点C，即可画出图形；（2）如图所示：
△ABC即为所求作的图形．14．（2019秋?西城区校级期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AC＝BD，若∠1＝∠2，EC
＝FB．求证：△ACE≌△DBF．证明： ∵∠1＝∠2，∴∠FBD＝∠ECA，∵FB＝CE，BD＝AC，∴△DBF≌△ACE（SA
S）． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠FBD＝∠ECA，∵FB＝CE，BD＝AC，∴△DBF≌△ACE（SAS）．故答案为：∵∠
1＝∠2，∴∠FBD＝∠ECA，∵FB＝CE，BD＝AC，∴△DBF≌△ACE（SAS）．15．（2019秋?丰台区校级期中）已知
：如图，点E是△ABC外角∠CAF平分线上的一点．（1）比大小：BE+EC ＞ AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）证明（
1）中的结论．【解答】解：（1）结论：BE+EC＞AB+AC．故答案为＞．（2）理由：在AF上截取AH，使得AH＝AC．∵AC＝A
H，∠CAF＝∠HAE，AE＝AE，∴△EAC≌△EAH（SAS），∴EC＝EH，∵EB+EH＞BH，∴EB+EC＞AB+AC．1
6．（2019秋?海淀区校级期中）已知，如图，DN＝EM，且DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，BM＝CN，求证：∠B＝∠C．【解答】
证明：∵BM＝CN，∴BN＝CM，∵DN⊥AB于D，EM⊥AC于E，∴∠BDN＝∠CEM＝90°，∵DN＝EM，∴Rt△BND≌R
t△CME（HL），∴∠B＝∠C．17．（2019秋?西城区校级期中）一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°
，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD
的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为 CE＝BD ，位置关系为 CE⊥BD ；（2）
当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【
解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAD＝∠
EAC，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴B
D⊥CE，故答案为：CE＝BD，CE⊥BD；（2）①如图2所示：②仍成立．证明：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90
°＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∵
∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°，∴CE⊥BD．18．（2019
秋?西城区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠
ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1
中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写
出此时对应的α的大小（不用证明）．【解答】证明：（1）①∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE＝BD，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠AFB＝180°﹣∠EAC﹣∠DBC
＝180°﹣（∠EAC+∠AEC），且∠AEC+∠EAC＝∠BCE＝α，∴∠AFB＝180°﹣α；（2）∵∠ACD＝∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠AEC＝∠DBC，∵CB＝CE，∠ECB＝α，∴
∠CEB+∠CBE＝180°﹣α；∵∠AFB＝∠AEB+∠FBE＝∠AEC+∠CEB+∠FBE＝∠DBC+∠FBE+∠CEB＝∠C
BE+∠CEB，∴∠AFB＝180°﹣α，且∠AFB＝150°，∴α＝30°19．（2019秋?海淀区期中）已知：如图∠B＝40°
，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠
C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．20．（2019秋?海淀区期中）如图1，在△ABC中，∠ACB
＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、
M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）
请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直
线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝
DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴
BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN''⊥AO交AB于N''，过点C
作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN''＝CD，AN''＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN''＝CE，∴
∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴
△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN''＝NN''+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等
量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN''⊥AO交AB于N''，如图3所示：由（2）得：NN''＝CE，
CD＝BN''＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN''⊥AO交AB于N''，如图4所示：同（
2）得：NN''＝CE，CD＝BN''＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN''⊥AO交AB于
N''，如图5所示：同（2）得：NN''＝CE，CD＝BN''＝CE﹣BN．21．（2019秋?通州区期中）已知，如图，射线BD平分锐角
∠ABC，且平分钝角∠ADC，求证：CD＝AD．【解答】证明：∵射线BD平分锐角∠ABC，且平分钝角∠ADC，∴∠1＝∠2，∠3＝
∠4，∴∠ADB＝∠CDB，在△CBD和△ABD中，，∴△CBD≌△ADB（ASA），∴CD＝AD．22．（2019秋?西城区校级
期中）如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB＝AD，BC＝DC，两根木条的连接处是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工
具的用途．（1）小明发现用这个工具可以快速作出角平分线在下面的几种用法中，能作出∠MON的平分线的有 ①③ ．（写出所有正确的序号
）①OC是∠MON的平分线；②OB是∠MON的平分线；③OA是∠MON的平分线（2）对于这个工具的其它用途，小兰发现可以用它作线段
的垂直平分线．请结合图2补全结论并给出证明．已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC．求证： AC 垂直平分 BD ．（3）对于这个工
具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线．你同意吗？如果同意，请画示意图说明如何操作；如果不同意，请说明理由．【解答】解
：（1）由第一个图和第三个图中，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∠AC
D＝∠ACB，∴①③正确，故答案：①③，（2）已知：如图2，AB＝AD，BC＝DC，求证：AC垂直平分BD，证明：∵AB＝AD，∴
点A在BD的垂直平分线上，∵BC＝DC，∴点C在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为：AC，BD；（3）可以，如图3，
由（2）可知：BD垂直平分AC，BD垂直平分EF，∴AC⊥BD，EF⊥BD，∴AC∥EF．23．（2019秋?西城区校级期中）已知
：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠
DAB，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE＝5；（2）如图，过D作DG⊥AC于G，又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，∴DG＝DF＝
4，∵CE＝6，∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．24．（2019秋?朝阳区校级
期中）已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD于M，请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM
有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想∠B，∠ACM，∠BCM有怎样的数量关系，并证明你的结论．【解答】猜想：AB+AC＝2AM，
证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E，则∠ECD＝∠B，∠E＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，∴AC＝EC，又CM⊥AD于M，∴AM＝ME，即AE＝2AM，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，又∠EDC＝∠AD
B，∴∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，∴AB+AC＝AB+CE＝AD+ED＝AE，∴AB+AC＝2AM．∵∠B＝∠ADB＝∠ED
C＝∠ECD，∠ACM＝∠MCE，∴∠B﹣∠ACM＝∠BCM．25．（2019秋?海淀区校级期中）我们曾学过定理“在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那
么该直角边所对的角为30°”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝AB，那么∠B＝30°．请你根据上述命题，解决下面的
问题：（1）如图1，A，B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C，则∠CAB＝ 30 °；（2）如图2，D、F为格点，
按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt△DEF，使点E在直线l上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°；（3）如图3，在△A
BC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝AC①求∠BAD的度数；②求证：BD
＝CD．【解答】解：（1）如图1中，作CF⊥AB于F．由作图可知：AC＝AB＝2CF，∴∠CAB＝30°，故答案为30．（2）如图
△DEF即为所求．（3）①∵CE⊥AD于E，且CE＝AC∴∠CAD＝30°②作DH⊥BC于H．∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°
∴∠ACE＝60°，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DCF＝∠DCH＝15°，∵∠CED＝∠CHD＝90°，CD＝
CD，∴△CDE≌△CDH（AAS），∴CE＝CH＝AC＝BC，∴BH＝CH，∵DH⊥BC，∴DB＝DC．26．（2019秋?海淀
区校级期中）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70
°，直接写出∠BDC的度数；（2）如图2，若0＜α＜60°，过点D作DE⊥BD交直线AP于点E，①依题意补全图形；②直接写出∠AD
B的度数（用含α的代数式表示）；③求证：AE＝BD．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝
70°，∴∠ACD＝∠ADC＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，∴∠ADB＝10°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．答：∠BDC的
度数为30°．（2）①如图即为补全的图形．②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝60°+2α，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．答：∠ADB的度数为60°﹣α．③∵AD＝
AC＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∴∠CBD＝∠DAE＝α，∵DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE
＝90°，∵点C关于AP对称点为D，∴CD⊥AP，∴∠CDE+∠AED＝90°，∴∠BDC＝∠AED，∴△BDC≌△AED（AAS
）∴BD＝AE．27．（2019秋?海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD
⊥AB于D，PE⊥AC于E，对于△ABC所在平面内一点M，KM＝，我们把KM称为点M的“特征值”．（1）若BP＝CP，则点P的特征
值kp＝ 1 ；（2）若BP＝3CP，则点A的特征值kA＝ ；（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值kQ为定
值，直接写出这个定值，并证明．【解答】解：（1）如图1中，连接PA．∵AB＝AC，BP＝PC，∴∠PAB＝∠PAC，∵PD⊥AB，
PE⊥AC，∴PD＝PE，∴KP＝＝1，故答案为1．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．∵PE⊥AC
，PD⊥AB，∴∠PEC＝∠PDB＝90°，∵∠B＝∠C＝60°，∴∠DPB＝∠CPE＝30°，∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc
＝0.5a，∴AD＝2.5a，A＝3.5a∴KA＝＝＝．故答案为．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接PA，DQ，QE，取PA的
中点Q，连接OD，OQ，OE．∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，∴A，D，P，Q
，E五点共圆，∵AB＝AC，AQ⊥BC，∴∠QAB＝∠QAC，∴＝，∴DQ＝QE，∴KQ＝＝1＝定值，∴点Q即为所求，KQ＝1．2
8．（2019秋?海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△AD
E，AE＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝2，直按
写出CD的长度．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△A
CE（SAS），∴∠B＝∠ACE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．29．（201
9秋?海淀区校级期中）如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，∠ACD＝∠B，求证：△ACD≌△CBE．【解答】解：∵C是AB的中点
，∴AC＝CB．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．30．（2019秋?海淀区校级期中）作图题：国庆节期间小
红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样，还有两个花坛M．N，请帮小红找一处最佳观赏位置P，满足观赏点P到“7”字样的两边距离都
相等，并且到两个花坛M，N的距离也都相等（尺规作图，保留作图痕迹并写出结论）．结论为： 点P即为所求 ．【解答】解：如图，点P即为
所求．故答案为：点P即为所求．31．（2019秋?海淀区校级期中）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠
D．求证：△ABE≌△DCF【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF＝CE（已知），∴BF
+EF＝CE+EF，即BE＝CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．32．（2019秋?海淀区校级期中）如
图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．【解答】证
明：∵BC∥FE，∴∠BCA＝∠DFE．∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+CF．∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△
DEF（ASA）．∴AB＝DE．33．（2019秋?海淀区校级期中）已知两个新建的居民小区A，B与两条公路l1，l2位置如图所示．
在S区域内建一个超市M，要求超市到两个新建的居民小区A，B的距离必须相等，超市到两条公路的距离也必须相等．那么点M应当选在何处？请
在图中，用尺规作图找出符合条件的点M（不写已知、求证、作法，只保留作图痕迹），并测量MA的长（精确到0.1cm）．【解答】解：如图
所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．经测量得，MA＝1cm．34．（2019秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，
∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：AE⊥CF；（2）若∠BAE＝25°，求∠ACF的
度数．【解答】（1）证明：延长AE交CF于点H，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF，∵∠F+∠BCF＝90°，∴∠BAE+∠F＝90°，∴∠AHF＝90
°，∴AE⊥CF；（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，由（1）得：△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝
∠BCF＝25°，∴∠ACF＝45°+25°＝70°．35．（2019秋?海淀区校级期中）阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，
在△ABC中，∠BAC＝120°，∠ABC＝40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形．他的做法是：
如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点 D．将∠BAC分成两个角，使∠DAC＝20°，△ABC即可被分割成
两个等腰三角形．喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两
个等腰三角形．他的做法是：如图3，先画△ADC，使DA＝DC，延长AD到点B，使△DBC也是等腰三角形．如果DC＝BC，那么∠CD
B＝∠ABC，因为∠CDB＝2∠A，所以∠ABC＝2∠A．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一
定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法，继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一
定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请写出你的探究结论，并证明．【解答】解：探究结论①：当三角形中有一个角是最小角的3倍
时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．探究结论②：当三角形中有两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的
一条直线分割成两个等腰三角形．证明：①如图1，∵∠BAC＝3∠C，过三角形顶点A作AD交BC于点 D，使AD＝DC，∴∠CAD＝∠
C，∴△ADC是等腰三角形∵∠BAC＝3∠C，∴∠BAD＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C＝2∠C，∴∠BAD＝∠ADB∴△ABD
是等腰三角形；∴△ABC可被分割成两个等腰三角形．答：当三角形中有一个角是最小角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割
成两个等腰三角形．②如图2，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，作CD交AB于点D，使DC＝DA，∴∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝90
°﹣∠ACD＝90°﹣∠A，∵∠A+∠B＝90°∴∠B＝90°﹣∠A，∴∠BCD＝∠B，∴△BDC是等腰三角形，∴△ADC和△BD
C都是等腰三角形．答：当三角形中有两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．36．（2019秋?海
淀区校级期中）定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△D
AE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．（1）特例感知：在图2，图
3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝
DE；②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 2 ．（2）猜想论证：在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与
DE之间的数量关系，并给予证明．（3）拓展应用如图4，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD
＝，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．①请在图中标出点P的位置，并描述出
该点的位置为 点P是线段BC的垂直平分线与AC的交点， ；②直接写出△PBC的“顶心距”的长为 ．【解答】解：（1）①∵∠BAC
＝90°，∠BAC+∠DAE＝180°∴∠DAE＝∠BAC＝90°∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC∴AM＝BM＝CM＝B
C∵AB＝AC＝AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC＝90°∴△DAE≌△CAB（SAS）∴BC＝DE，∴AM＝DE故答案为：②∵∠B
AC＝120°，∠BAC+∠DAE＝180°∴∠DAE＝60°，∵AB＝AC＝AD＝AE，∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴
∠ABM＝30°，△ADE是等边三角形∴AB＝2AM，DE＝AD＝AE＝6＝AB，∴AM＝3故答案为：3（2）猜想：结论AM＝DE
．理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N∵AE＝AD，AN⊥ED∴∠DAN＝∠DAE，ND＝DE同理可得：∠CAM＝∠CAB，∵∠
DAE+∠CAB＝180°，∴∠DAN+∠CAM＝90°，∵∠CAM+∠C＝90°∴∠DAN＝∠C，∵AM⊥BC∴∠AMC＝∠AN
D＝90°在△AND与△AMC中，∴△AND≌△AMC（AAS），∴ND＝AM∴AM＝DE（3）①如图，线段BC的垂直平分线交AC
于点P，连接DP，BP，理由如下：∵AD＝AB，CD＝BC，且AC＝AC∴△ADC≌△ABC（SSS）∴∠ABC＝∠ADC＝90°
，∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°∴∠ACB＝60°，AC＝2BC∵PN垂直平分BC∴PC＝PB，且∠ACB＝60°∴△PBC
是等边三角形，∴AC＝PC，∠BPC＝60°∴AP＝PC，且∠ADC＝90°∴AP＝DP∴△ADP是等腰三角形，∠ADP＝∠DAP
＝30°，∴∠APD＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°∴△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．故答案为：线段BC的垂直
平分线交AC于点P，②如图，过点P作PH⊥AD于点H，∵∠DAC＝30°，PH⊥AD，∠ADC＝90°∴HP＝AP，AC＝2CD＝
2∵AP＝PC∴AP＝∴PH＝∴△PBC的“顶心距”的长为故答案为：37．（2019秋?海淀区校级期中）已知：如图，点A、E、F、
C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，D
F＝BE，∴△ADF≌△CBE（AAS）∴AF＝CE∴AF﹣EF＝CE﹣EF∴AE＝CF38．（2019秋?海淀区校级期中）如图，
点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．【解答】解：△OEF
的形状为等腰三角形．理由如下：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF与△DCE中，．∴△ABF≌△DCE
（SAS）．∴∠AFB＝∠DEC．∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．39．（2019秋?朝阳区校级期中）阅读下列材料：如
图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．求证：CD＝AB．小刚是这样思考的：由已知
可得，∠DCA＝60°，∠DAC＝75°，∠CAB＝30°，∠ACB+∠DAC＝180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形
．即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB＝AE，∠E＝∠D．∵在△ADC与△CEA中，∴△ADC≌△CEA，得CD＝AE
＝AB．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD＝180°，∠B＝∠D，请问
：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．【解答】解：结论：CD＝AB．证明：延长BC至E使AE＝AB，则
∠B＝∠E．∵∠B＝∠D∴∠D＝∠E∵∠ACB+∠CAD＝180°，∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠CAD＝∠ACE在△CAD与
△ACE中，∴△CAD≌△ACE∴CD＝AE，∵AE＝AB，∴CD＝AB．40．（2019秋?西城区校级期中）如图①，OA＝2，O
B＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（1）点C的坐标为 （﹣6，﹣2） ；（2）如图②，P是y轴负半轴上一
个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过点D作DE⊥x轴于点E，则OP﹣DE的值为
2 ；（3）如图③，已知点F坐标为（﹣4，﹣4），当G在y轴运动时，作等腰直角△FGH，并始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴交于
点G（0，m），FH与x轴交于点H（n，0），则m与n的关系为 m+n＝﹣8 ．【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，
，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2
）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝
90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝
PQ＝OA＝2，故答案为：2；（3）m+n＝﹣8．理由：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GT
F＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△
FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝
4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．当点H在点S的左侧，点G在点T的上方时，同理
可得△FSH≌△FTG，∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝m﹣（﹣
4）＝m+4，HS＝n﹣（﹣4）＝﹣4﹣n，∴﹣4﹣n＝m+4，∴m与n的关系为m+n＝﹣8．故答案为：m+n＝﹣8．41．（20
19秋?北京期中）△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，
CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；（2）当点D
为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF＝∠CDE；（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之
间的数量关系．【解答】解：（1）BG＝DC，理由是：如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠GCA＝90°，∵CF⊥AD，∴∠C
EA＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∴∠BCG＝∠CAD，∵∠ACB＝∠CBG＝90°，AC＝BC，∴△CBG≌△ACD（
ASA），∴BG＝DC；（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，∴∠CDE＝∠G，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵BG＝D
C，∴BG＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝45°，∵∠CBG＝90°，∴∠GBA＝45°，∴∠GBA＝∠CBA
＝45°，∵BF＝BF，∴△BDF≌△BGF（SAS），∴∠BDF＝∠G，∴∠BDF＝∠CDE；（3）AD＝2DE+2CE，理由是
：如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BCM＝∠ACM＝45°，∵点C和点F关于直线AD
成轴对称，∴AD是CF的中垂线，∴CE＝EF，CD＝DF，AC＝AF，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴∠DFA＝∠ACB＝9
0°，∵∠CBA＝45°，∴△DBF是等腰直角三角形，∴BF＝DF，∴BF＝DF＝CD，∵AC＝AF，∠BAC＝45°，∴∠ACF
＝∠CFA＝67.5°，∠CAE＝∠FAE＝22.5°，∴∠BCG＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ECN＝45°﹣22.5°
＝22.5°，∴∠ECN＝∠BCG，∴△DCE≌△NCE，∴DC＝CN，DE＝EN，∴CN＝BF，∵∠CAD＝∠BCG＝22.5°
，∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBF，∴CF＝AN＝2CE，∴AD＝DE+EN+AN＝2DE+CF＝2DE+2CE．42．（201
9秋?朝阳区期中）已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作出图形：①延长BC到点D，使CD＝BC；②延长CA到
点E，使AE＝2CA；③连接AD，BE．（2）猜想（1）中线段 AD与BE的大小关系，并写出证明思路．【解答】解：（1）完成作图，
如图1所示：（2）如图2，在AE上截取AF＝AC，连结BF，在△ABF和△ABC中，，∴△ABF≌△ABC（SAS），∴BF＝BC
，∠AFB＝∠ACB，∴BF＝CD，∠EFB＝∠ACD，在△ACD和△EFB中，，∴△ACD≌△EFB（SAS），∴AD＝EB．4
3．（2019秋?东城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在AB上，BC＝BD，∠ACD＝15°，求∠B的度数．【解答
】解：设∠BCD＝x，∵AC＝AB，∴∠B＝∠ACB＝x+15°．∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝x，在△BCD中，∵∠B+∠
BCD+∠BDC＝180°，即x+15°+x+x＝180°，解得x＝55°，∴∠B＝55°+15°＝70°．44．（2019秋?西
城区校级期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，求证：BD平
分EF．【解答】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt∠CDE（HL）．∴BF＝DE，在△BFG和△DEG中，，∴△BFG≌△DE
G（AAS），∴EG＝FG，即BD平分EF．45．（2019秋?海淀区校级期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE
＝AB，AF⊥AC，AF＝AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．【解答】猜想：EF＝2AD，EF⊥AD．证明：延长A
D到M，使得AD＝DM，连接MC，延长DA交EF于N，∴AD＝DM，AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△AB
D和△MCD中，，∴△ABD≌△MCD，（SAS）∴AB＝MC，∠BAD＝∠M，∵AB＝AE，∴AE＝MC，∵AE⊥AB，AF⊥A
C，∴∠EAB＝∠FAC＝90°，∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF＝360°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∵∠CAD+
∠M+∠MCA＝180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA＝180°，即∠BAC+∠MCA＝180°，∴∠EAF＝∠MCA．∵在△A
EF和△CMA中，，∴△AEF≌△CMA，（SAS）∴EF＝AM，∠CAM＝∠F，∴EF＝2AD；∵∠CAF＝90°，∴∠CAM+
∠FAN＝90°，∵∠CAM＝∠F，∴∠F+∠FAN＝90°，∴∠ANF＝90°，∴EF⊥AD．46．（2018秋?海淀区校级期中
）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．（1）如图①，若A（﹣2，0），B（0，1），直接写出C点的
坐标；（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，请你探索CD与AM的数量关系，并证明；（3
）如图③，若点A的坐标为（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt
△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴的正半轴上运动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范
围．【解答】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在
△ABO和△BCD中，∠BOA＝∠BDC＝90°，∠CBD＝∠BAO，AB＝BC，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝BO＝1
，BD＝OA＝2，则OD＝BD﹣OB＝2﹣1＝1，∴C点坐标（1，﹣1）；（2）如图2，延AB，CD交于点E．∵CD⊥AD，∴∠A
DE＝∠ADC＝90°，∵∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴CD＝DE，∵∠EAD+∠E＝90°，
∠E+∠BCE＝90°，∴∠BAM＝∠BCE，∵∠ABM＝∠CBE＝90°，AB＝BC，∴△ABM≌△CBE（ASA），∴AM＝E
C＝2CD，即AM＝2CD；（3）PB长度不变化，PB＝3，理由：如图3，作EG⊥y轴于G，∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA
+∠EBG＝90°，∴∠BAO＝∠EBG，在△BAO和△EBG中，∠AOB＝∠BGE＝90°，∠BAO＝∠EBG，AB＝BE，∴△
BAO≌△EBG（AAS），∴BG＝AO，EG＝OB，∵OB＝BF，∴BF＝EG，在△EGP和△FBP中，∠EPG＝∠FPB，∠E
GP＝∠FBP＝90°，BF＝EG，∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB＝PG，∴PB＝BG＝AO＝3．47．（2018秋?东城
区校级期中）尺规作图：作已知线段的垂直平分线．（要求：不写做法，但要保留作图痕迹）已知：线段AB，求作：直线CD是线段AB的垂直平
分线．你的作图依据是 作图依据是两点确定一条直线或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 ．【解答】解：如图，直线CD即为所求
．作图依据是两点确定一条直线或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．48．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，点B、C
、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．求证：（1）求证：△BDM≌△ADN
；（2）若AC＝2，BC＝1，求CM的长．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，∴DN＝DM，∵∠DBM＝
∠DAN，∠AND＝∠BMD，ND＝DM，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）；（2）∵DC＝DC，DN＝DM，∴Rt△DCN≌
Rt△DCM（HL）∴CM＝CN，∵Rt△ADN≌Rt△BDM，∴BM＝AN，∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝2
，∴，1+2CM＝2，∴CM＝．49．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，C是AE的中点，∠B＝∠D，BC∥DE，求证：AB
＝CD．【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E，∵C是AE的中点，∴AC＝CE，在△ACB和△CED中，，∴△ACB≌△CE
D（AAS），∴AB＝CD．50．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点H，交B
C延长线于点G，已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，求∠G的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG⊥A
D，∴∠AHF＝∠ANE＝90°，∵∠AEF+∠BAD＝90°，∠AFH+∠CAD＝90°，∴∠AEF＝∠AFH，∵∠ACB＝∠G
+∠CFG，∠AEF＝∠B+∠G，∠CFG＝∠AFE，∴∠ACB﹣∠G＝∠B+∠G，∴∠G＝（∠ACB﹣∠B），∵∠B＝40°，∠
ACB＝70°，∴∠G＝15°．51．（2018秋?丰台区校级期中）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°
，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝ 270° ．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝
220° ．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 180°+∠A ．（4）如图3，若没
有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角
形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：27
0°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A
；故答案为：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠
AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+
∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．52．（2018秋?丰台区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在B
C边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，则∠CDE的度数是 30° ．（2）当点D在B
C（点B，C除外）边上运动时，设∠CDE＝α，请用α表示∠BAD，并说明理由．【解答】解：（1）∵∠BAD＝60°，∠B＝∠C，∴
∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°+∠B，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠B﹣60°＝120°﹣2∠B，∴∠ADE＝∠A
ED＝（180°﹣120°+2∠B）＝30°+∠B，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝（60°+∠B）﹣（30°+∠B）＝30°；故
答案为：30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴
∠ADE＝∠AED＝∠C+x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，∴∠BAD＝2∠CDE＝2α．53．（2018秋?丰台区校级
期中）阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+
42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c
，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么
这个直角三角形的斜边长为 ．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为 或 ．（3）如图，在数轴上
画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数
轴于点A，则线段AC的长度是 ﹣2 ．【解答】解：（1）这个直角三角形的斜边长为＝，故答案为：；（2）当3为直角边时，这个直角三角
形的斜边为＝，当3为斜边时，这个直角三角形的另一边长为＝，故这个直角三角形的另一边长为或，故答案为：或；（3）∵OB＝＝，∴OA＝
，∴AC＝﹣2，故答案为：﹣2．54．（2018秋?西城区校级期中）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE
上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．【解答】解：AP＝A
Q，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝
AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，，∴△APB≌△QAC（SAS）．∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，∵∠CQA+∠QAF
＝90°，∴∠BAP+∠QAF＝90°．即AP⊥AQ55．（2018秋?海淀区校级期中）在l上求作一点M，使得AM+BM最小，并简
要说明理由．【解答】解：如图，点M即为所求．步骤：作点A根据直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于M，连接AM，此时AM+BM的
值最小．56．（2018秋?海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．D为BC边上任一点，连接AD，过D作
DE⊥AD，且DE＝AD．连接BE，探究BE与AB的位置关系，并说明理由．【解答】解：AB⊥BE理由如下：如图，过点E作EM⊥BD
，交DB延长线于点M，∵∠ACB＝90°，DE⊥AD，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∠ADC+∠DAC＝90°∴∠DAC＝∠EDM
，且DE＝AD，∠C＝∠M＝90°∴△EMD≌△DCA（AAS）∴EM＝CD，MD＝BC∴MD﹣BD＝BC﹣BD∴BM＝CD＝EM
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°∴∠ABE＝180°﹣∠MBE﹣∠ABC＝90°∴
AB⊥BE57．（2018秋?海淀区校级期中）如图1，在等边△ABC中，D为AC边上任一点，连接BD，延长BD到E，使BE＝AB．
设∠ABD＝α．（1）则∠CAE的大小为 30°﹣α （用含α的代数式表示）；（2）如图2，点F在∠CBE的平分线上，连接EF，C
F，若∠ECF＝60°，判断△EFC的形状并加以证明．【解答】解：（1）∵BE＝AB，∴∠BAE＝（180°﹣α）＝90°﹣α．∴
∠CAE＝∠BAE﹣60°＝30°﹣α．（2）△EFC是等边三角形，理由如下：∵∠EBC＝60°﹣α，BF平分∠EBC，∴∠FBC
＝∠EBC＝30°﹣α．∴∠FBC＝∠EAC．∵∠FCB＝60°﹣∠ACF，∠ECA＝60°﹣∠ACF，∴∠FCB＝∠ECA，又C
A＝CB，∴△BFC≌△AEC（ASA）．∴CF＝CE．又∠ECF＝60°，∴△EFC是等边三角形．故答案为：30°﹣α．58．（
2018秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝
AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ 60° ；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 BC＝AB+CE ，
并给出证明．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝20°∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°
＝∠CDE，故答案为：60°（2）BC＝AB+CE理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD
，且BD＝BD，AB＝BF，∴△ABD≌△FBD（SAS）∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣
∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD∴△CDF≌△CDE（SAS）∴CE＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CE故答
案为：BC＝AB+CE59．（2018秋?海淀区校级期中）如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB＝AC，BE＝CD
，求证：AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝A
E．60．（2018秋?西城区校级期中）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足BP＝CQ，作点Q关于直线AC的对称点
M，连接AP、AQ、AM、CM、PM，线段PM、AC交于点N，（1）当∠BAP＝15°时，∠QAM＝ 30° ；（2）求证：AP＝
PM；（3）若AB＝4，当点P在边BC上运动时，则线段CN的最大值为 1 ．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC
，∠B＝∠ACB＝60°，∵BP＝CQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠CAQ＝∠BAP＝15°，∵点Q关于直线AC的对称点M
，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∵AC＝AC，∴△AQC≌△AMC（SSS），∴∠CAM＝∠CAQ＝15°，∴∠QAM＝30°；故答案
为：30°；（2）由（1）知：△ABP≌△ACQ≌△ACM，∴AP＝AQ＝AM，∠CAM＝∠BAP，∵∠BAC＝60°，∴∠PAM
＝60°，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM；（3）∵∠APM＝∠B＝60°，∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APM+∠CPN＝∠
B+∠BAP，∴∠CPN＝∠BAP，∵∠PCN＝∠ABP＝60°，∴△CPN∽△BAP，∴，∴CN＝＝＝﹣（BP﹣2）2+1，∵﹣
＜0，∴当BP＝2时，CN有最大值是1，故答案为：1．61．（2018秋?西城区校级期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了
如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图
1）：①延长AD到Q使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，
则AD的取值范围是 2＜AD＜7 ．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已
知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中
线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．【解答】解：（1）延长A
D到Q使得DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴
BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥
BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长
AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ
＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180
°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△E
AF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP
＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥E
F．62．（2018秋?海淀区校级期中）如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝DB．求证：AB＝ED．【解答】解：∵
AC∥BE，∴∠C＝∠EBD，在△ABC与△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴AB＝ED．63．（2018秋?海淀区校
级期中）阅读理解在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于
1，则称P为图形M的关联点．根据阅读材料，解决下列问题．已知点A（2，0），以OA为边作等边△OAB，点B在第一象限．（1）在点C
（0，﹣1），D（2，2），E（3.5，0）中，△OAB的关联点是 C，D ；（2）直线1⊥AB于A，点F在直线1上．若F为△OA
B的关联点．①设点F的纵坐标为n，则n的取值范围是 ﹣1≤n≤ ；②设△FAB的面积为S，则S的最大值为 2 ．【解答】解：（1）
如图1中，观察图象可知△OAB的关联点在图中的虚线（包括虚线上）区域内（虚线上的点到△OAB的顶点或边的距离为1）．故△OAB的关
联点是点C，D．故答案为C，D．（2）①如图2中，设直线l交图中虚线于C′，F．作C′G⊥OA于G，FN⊥x轴于N．在Rt△AFN
中，∵∠FAN＝30°，AF＝1，∴FN＝，AN＝，∴N（2+，），在Rt△AC′G中，∵∠C′AG＝30°，C′G＝1，∴AG＝
，AC′＝2，∴OG＝2﹣，∴C′（2﹣，﹣1）∴满足条件的点F的纵坐标：﹣1≤n≤．故答案为﹣1≤n≤．②当点F与C′重合时，△
FAB的面积最大，面积的最大值S＝×2×2＝2．故答案为2．64．（2018秋?西城区校级期中）如图1，直线l是直角△ABC的斜边
BC的垂直平分线，点A′与A关于直线l对称，连接A''B、A′C，由轴对称的性质不难得到A''B与AC的交点M在直线l上，点P是直线A
''B上一点，过点P作PD∥A''C交BC于点D，过点D作DQ⊥AC于点Q，（1）若∠ABC＝65°，则∠ACA′＝ 40° ；（2）
如图2，当点P与点M重合时，求证：DP+DQ＝AB；（3）①如图3，当点P在线段A′B上（不含端点）时，线段DP、DQ、AB的数量
关系是 AB＝DQ+PD ；②当点P在线段A′B的延长线上时，线段DP、DQ、AB的数量关系是 AB＝DQ﹣DP ．【解答】（1）
解：如图1中，∵∠ABC＝65°，∠A＝90°，∴∠ACB＝25°，∵∠A′CB＝∠ABC＝65°∴∠ACA′＝65°﹣25°＝4
0°．故答案为40°．（2）证明：如图2中，∵PD∥CA′，∴∠DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝
S△BDM+S△CMD，∴?CM?BA＝?BM?DP+?CM?DQ，∵BM＝CM，∴AB＝DP+DQ．（3）①结论：AB＝DP+D
Q．理由：连接DM．∵PD∥CA′，∴∠DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝S△BDM+S△CMD，
∴?CM?BA＝?BM?DP+?CM?DQ，∵BM＝CM，∴AB＝DP+DQ．故答案为AB＝DQ+DP．②结论：AB＝DQ﹣DP．
理由：如图4中，连接DM．∵PD∥CA′，∴∠DPB＝∠A′＝90°，∴DP⊥A′B，∵DQ⊥AC，S△BCM＝S△CMD﹣S△B
DM，∴?CM?BA＝?CM?DQ﹣?BM?DP∵BM＝CM，∴AB＝DQ﹣DP．故答案为：AB＝DQ﹣DP．65．（2018秋?
海淀区校级期中）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图
过程．作法：如图2①在射线OA上截取线段OB＝a；②分别以点O，点B为圈心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点；③连接CD，
交OB于点E；④在直线CE上截取线段EF＝b；⑤接OF，BF．△OBF即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，
补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OC＝ BC ，OD＝ BD ，∴CD是线段OB的垂直平分线．（ 到线段两
端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）【解答】解：（1）如图，△OBF即为所求；（2）完成下面的证明．证明：∵
OC＝BC，OD＝BD，∴CD是线段OB的垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）．故答案为BC，BD；到线段
两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．66．（2018秋?海淀区校级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图
：已知：线段a，b．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．小涛的作图步骤如下：如图（1）作线段BC＝a；（
2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形
．老师说：“小涛的作图步骤正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：① 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ；②
有两条边相等的三角形是等腰三角形 ．【解答】解：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②
有两条边相等的三角形是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．67．（2
018秋?西城区校级期中）“学农”期间，我们住在北京农学院，a，b分别代表两条道路，点M、N分别代表宿舍楼和教学楼．为了便于杨枫老
师快速便捷地协调指挥，现要建立联络站O点，使O点到两条道路的距离相等，且到宿舍楼和教学楼的距离也相等．请用直尺和圆规画出所有满足条
件的O点位置，不写作法，保留作图痕迹．并指出杨枫老师应选择的联络站位置．【解答】解：如图所示：点O即为所求．68．（2018秋?海
淀区校级期中）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，求OC的长．【解答
】解：作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝3，∵∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，∴∠
AOP＝∠BOP＝75°，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠BOP＝75°，∴∠AOP＝∠CPO＝75°，∴CP＝CO，∠PCO＝30°
，∴PC＝2PE＝6，∴OC＝6．69．（2018秋?海淀区校级期中）线段AB和CD交于点E，连接AD，BC，满足AD∥BC，∠A
＝∠AED，（1）如图1，若∠D＝50°，请直接写出∠B的度数．（2）如图2，作△ADE的高DH，延长DH交BC的延长线于点F，连
接AF，求证：EF＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若AB＝AF，请找出图中所有与AC相等的线段．并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵∠D＝50°，∠A＝∠AED，∴∠A＝65°，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝65°，（2）∵∠A＝∠AED，∴A
D＝DE，且DH⊥AE∴DH是AE的垂直平分线，∴EF＝AF（3）AC＝CF＝DC，理由如下：如图，连接EF，∵∠DAB＝∠B，∠
AED＝∠BEC，∠DAB＝∠DEA∴∠B＝∠BEC∴BC＝EC，∵AF＝EF，AB＝AF∴AB＝EF，∵AD＝DE，DH⊥AE∴
∠CDF＝∠ADF，设∠CDF＝∠ADF＝x°，∠DAB＝∠B＝y°，∴∠ADC＝2x°∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB＝y°，∵A
D∥BF∴∠ADF＝∠DFB＝∠CDF＝x°，∠ADC＝∠DCB＝2x°∴CF＝CD，∵∠AFD＝∠AFB﹣∠DFB∴∠AFD＝（
y﹣x）°，∵AF＝EF，FH⊥AE∴∠AFE＝2∠DFA＝2∠DFE＝2（y﹣x）°，∴∠EFC＝∠AFB﹣∠AFE＝（2x﹣y
）°∵∠DCB＝∠CEF+∠CFE∴2x°＝（2x﹣y）°+∠CEF∴∠CEF＝y°∴∠CEF＝∠B，且BC＝EC，AB＝EF，∴
△ABC≌△FEC（SAS）∴CF＝AC∴AC＝CF＝DC70．（2018秋?海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是
BC边上的中线，延长BA到E，过E作EF⊥BC于F交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AE＝AG．【解答】解：（1）如
图所示；（2）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，∴∠BAD＝∠E，
∠DAG＝∠AGE，∴∠E＝∠AGE，∴AE＝AG．71．（2018秋?海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB
上一点，连接CD，（1）作图：延长CD，在射线CD上取点E使得AE＝AC，连接AE，作∠EAB的平分线AF交CE于点F（尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接BF，求证：∠BFC＝∠BAC．【解答】解：（1）如图所示，AE和AF即为所求
．（2）∵AB＝AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∵AF平分∠BAE，∴∠EAF＝∠BAF，在△EAF和△BAF中，∵，∴△EAF≌
△BAF（SAS），∴∠AEF＝∠ABF，∵AE＝AC，∴∠AEF＝∠ACF，∴∠ABF＝∠ACF，∵∠BDF＝∠CDA，∴∠BF
C＝∠BAC．72．（2018秋?西城区校级期中）如图所示，直线l1、l2、l3为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A
内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】解
：作∠ECD的角平分线CM，作∠CDH的角平分线DN交CM于点P，点P即为所求；73．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，在
△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求
∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点
D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（
180°﹣36°）÷2＝72°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，A
E＝8，∴AB＝2AE＝16，∵△CBD的周长为24，∴AC+BC＝24，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+24＝40．7
4．（2018秋?延庆区期中）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，且∠B＝∠C．求证：△ABE≌△A
CD【解答】证明：在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）75．（2018秋?延庆区期中）已知△ABC请你按下列步骤
画图（用圆规、三角板、量角器等工具作图，不写画法）①在BC的延长线上取一点D．②连接AD．③过C作射线CM∥BA交AD于N．④分析
∠ANM与∠ACN的数量关系（填“＞”，“＜”或“＝”）∠ANM ＞ ∠ACN，依据是 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内
角 ．【解答】解：如图，∵∠ANM＝∠CND，且∠CND＝∠ACN+∠CAN，∴∠ANM＞∠ACN （三角形的一个外角大于与它不相
邻的任意一个内角），故答案为：＞，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．76．（2018秋?延庆区期中）在△ABC中，∠A
＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．如图，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证
明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判
定和性质证明CM＝CD即可．（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：①在BC上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证
明△BEF与 △BMF 全等，判定它们全等的依据是 SAS ；②由∠A＝60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EF
B＝ 60 °；（2）请直接利用①、②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．【解答】解：（1）①如图1，在BC上取一点
M，使BM＝BE，∵BD是△ABC的两条角平分线，∴∠FBE＝∠FBC＝∠ABC，在△BEF和△BMF中，∵，∴△BEF≌△BMF
（SAS），②在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴
∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠BFE＝60°；故答案为：△BMF，S
AS，60；（2）由（1）知，∠BFE＝60°，∴∠CFD＝∠BFE＝60°∵△BEF≌△BMF，∴∠BFE＝∠BFM＝60°，∴
∠CFM＝∠BFC﹣∠BFM＝60°，∴∠CFM＝∠CFD＝60°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠FCM＝∠FCD，在△FCM和△
FCD中，∵∴△FCM≌△FCD（ASA），∴CM＝CD，∴BC＝CM+BM＝CD+BE．77．（2018秋?西城区校级期中）如图
，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE＝．请你猜想∠1和∠2有什么数量关系？并证明你的猜想．解：猜想： ∠
1与∠2互补 ．证明： 作CF⊥AD延长线于F（如图），∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，Rt△
ACF≌Rt△ACE，∴AF＝AE．∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），∴BE﹣DF＝0，∴
BE＝DF，∴△DFC≌△BEC（SAS），∴∠5＝∠2，∵∠1+∠5＝180°，∴∠1+∠2＝180°，即∠1与∠2互补． 【解
答】解：猜想∠1与∠2互补．理由如下：作CF⊥AD延长线于F（如图），∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝
90°，Rt△ACF≌Rt△ACE，∴AF＝AE．∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），∴BE
﹣DF＝0，∴BE＝DF，∴△DFC≌△BEC（SAS），∴∠5＝∠2，∵∠1+∠5＝180°，∴∠1+∠2＝180°．故答案是：
∠1与∠2互补；作CF⊥AD延长线于F（如图），∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°，Rt△ACF≌
Rt△ACE，∴AF＝AE．∵AE＝（AD+AB）＝（AF﹣DF+AE+EB）＝AE+（BE﹣DF），∴BE﹣DF＝0，∴BE＝D
F，∴△DFC≌△BEC（SAS），∴∠5＝∠2，∵∠1+∠5＝180°，∴∠1+∠2＝180°，即∠1与∠2互补．78．（201
8秋?西城区校级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝
180°．求证：DE＝DF．【解答】证明：在AB上截取AG＝AF，连接DG，如图所示：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，在△
ADG与△ADF中，，∴△AGD≌△AFD（SAS）∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF又∵∠AED+∠EDF+∠DFA+∠FAE＝3
60°，∠EDF+∠BAC＝180°．∴∠AED+∠AFD＝180°，又∠4+∠AGD＝180°，∴∠4＝∠3，∴DE＝DG，∴D
E＝DF．79．（2018秋?西城区校级期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）按要求作出图形：①延长BC到点D
，使CD＝BC；②延长CA到点E，使AE＝2CA；③连接AD，BE．（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．解
：（1）完成作图（2）AD与BE的大小关系是 AD＝BE ．【解答】解：（1）如图：；（2）AD＝BE，理由是：在AE上截取AF＝
AC，连结BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAC＝∠BAF，在△ABF与△ABC中∴△ABF≌
△ABC（SAS），∴BF＝BC，AF＝AC，∠BCA＝∠BFA，∵∠BFE+∠BFA＝180°，∠BCA+∠DCA＝180°，∴
∠BFE＝∠DCA，∵BC＝DC，BC＝BF，∴BF＝DC，∵AC＝AF，AE＝2AC＝AF+EF，∴EF＝AC＝AF，在△BFE
和△DCA中∴△BFE≌△DCA，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE．80．（2017秋?西城区校级期中）如图，已知Rt△ABC中
，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．（1）若CD＝3，则
求CE的长；（2）求证：BF⊥AE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC与Rt△AE
C中，，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；（2）证明：由（1）知，Rt△BDC≌Rt△AEC，∴∠CBD＝∠
CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．81．（2017秋?西城区校级期中
）作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等．【解答】解：如图所示，画
法如下：（1）作∠AOB的角平分线OC；（2）连结MN，画线段MN的垂直平分线，与OC交于点P，则点P为符合题意的点．82．（20
17秋?海淀区校级期中）如图，有一Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P点在AC上，Q点
在过A点且垂直于AC的射线AM上运动．当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离为 10cm或5cm ．【解答】解：根据三角形全
等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△
QPA（HL），即AQ＝AC＝10cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌R
t△BCA（HL），即AQ＝BC＝5cm，综上所述，当△ABC和△APQ全等时，点Q到点A的距离为10cm或5cm．故答案为10c
m或5cm．83．（2017秋?西城区校级期中）已知：∠α，m，n（m＜n），求作：△ABC，使得∠ABC＝∠α，AB＝m，BC＝
n．【解答】解：如图，①作∠EBC＝∠α，②在射线BE上截取BA＝m，在射线BF上截取BC＝n，连接AC．△ABC即为所求．84．
（2017秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB
＝CF．求证：（1）CE⊥AB；（2）AE＝BE．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠CDF＝90°，在Rt△AD
B和Rt△CDF中，，∴Rt△ADB≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD＝∠DCF，在△AEF和△CDF中，∠EAF＝∠DCF，∠A
FE＝∠CFD，∴∠AEC＝∠CDF＝90°∴CE⊥AB，（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE，又∵CE⊥AB，∴∠AEC
＝∠BEC＝90°，，∴△ACE≌△BCE（ASA），∴AE＝BE．85．（2017秋?海淀区期中）如图，已知等腰三角形ABC中，
∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E
，交AB于点F．（1）如图（1）当α＝15°时，①按要求画出图形，②求出∠ACD的度数，③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；（2
）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为 30°或52.
5° ．【解答】解：（1）①如图1：②∵B、D关于AP对称，∴AP垂直平分BD，a＝15°，∴AD＝AB，∠1＝∠2＝15°，∵∠
BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠2+∠BAC＝60°，∵AC＝AB，∴AC＝AD，∴△ACD为等边三角形∴∠ACD＝60°．③
DE＝2BF，证明：连接EB，∵AP垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠3＝∠4，∵AB＝AD，∠DAB＝30°，∴∠ADB＝75°，
又∠ADC＝60°，∴∠3＝∠4＝15°，∴∠5＝30°，又AD＝AC，AB平分∠DAC，∴AB⊥DC，∴EB＝2BF，∴ED＝2
BF．（2）如图2，∵AD＝AC，∴△DAC是等腰三角形∴∠ADC＝（180°﹣2a﹣30°）÷2＝75°﹣a，∴∠AEF＝∠AD
C+∠DAE＝75°﹣a+a＝75°，当AE＝AF时，∠EAF＝a＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°；当AE＝EF
时，∠EAF＝a＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°；当EF＝AF时，∠AEF＝∠EAF＝a＝75°（舍去）．故答案为：30°或
52.5°．86．（2017秋?西城区校级期中）尺规画图 （不用写作法，要保留作图痕迹）如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝
方指挥部在A区内，到铁路与到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点400米，如果你是红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝
方指挥部的位置点P．【解答】解：如图所示：P点即为所求．87．（2017秋?海淀区期中）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形
，连接CD、BE，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，求证：△AFG为等边三角形．【解答】证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角
形，∴AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB＝60°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，即∠DAC＝∠EAB，在△DA
C和△EAB中，∴△DAC≌△EAB，∴∠AEB＝∠ADC，∵AF⊥DC，AG⊥BE，∴∠AFD＝∠EGA＝90°，在△ADF和△
AEG中∴△AFD≌△AGE，∴AF＝AG，∠DAF＝∠EAG，∴∠DAF+∠FAE＝∠EAG+∠FAE，即∠FAG＝∠DAE＝6
0°，∴△AFG为等边三角形．88．（2017秋?东城区校级期中）已知：如图，AB＝AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．
【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠C＝∠DEB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠B＝∠DEB．∴△DBE是等腰三角形．89．（201
7秋?西城区校级期中）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使O
D＝OE；③分别以点D，E为圆心，以大于长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．上述做法合理的顺序是 ②③① ．（写序号）这样做
出的射线OC就是∠O的角平分线，其依据是 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 ．【解答】解：已知∠AOB，求作射
线OC，使OC平分∠AOB．步骤为：第一步：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；第二步：分别以D，E为圆心，大于DE的
长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；第三步：作射线OC．故作法合理的顺序为②③①．如图所示，连接CD，CE，由题可得，OD＝O
E，CD＝CE，在△OCD和△OCE中，∵OD＝OE，CD＝CE，OC＝OC，∴△OCD≌△OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE
（全等三角形的对应角相等），∴OC是∠AOB的平分线（角平分线定义）．故答案为②③①，三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对
应角相等．90．（2017秋?西城区校级期中）如图，AD∥BE，点C在AB上，AC＝BE，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE交D
E于点F．求证：（1）△ADC≌△BCE；（2）CF是DE的垂直平分线．【解答】证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC
和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（AAS）；（2）∵△ADC≌△BCE，∴CD＝CE，∵CF平分∠DCE，∴CF是DE的垂直平
分线．91．（2017秋?东城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE．（1）求证：△AEF≌
△CEB．（2）直接写出∠B的度数 67.5° ．（3）AF与CD具有什么数量关系？并说明理由．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEF，∴∠B+∠BCE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠B+∠EAF＝90°，∴∠BCE＝∠EAF，在△AEF和△CEB
中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）解：由（1）知△AEF≌△CEB，∴EA＝EC，EA⊥EC，∴△AEC为等腰直角三角形
，∴∠EAC＝45°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝＝67.5°，故答案为：67.5°；（3）AF＝2CD，理由如下：由（1）△
AEF≌△CEB，∴AF＝CB，而AB＝AC，AD⊥CB，∴CD＝BD＝CB，∴AF＝2CD．92．（2017秋?西城区校级期中）
已知：在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上，且∠EAC＝2∠EBC．求证：AE+AC＝BC．【解答】证明：
如图，在CB上截取CF＝CA，连接EF，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE（
SAS），∴AE＝FE，∠CAE＝∠EFC，∵∠EAC＝2∠EBC，∠EFC＝∠EBC+∠BEF，∠CAE＝∠CFE，∴∠EBF＝
∠BEF，∴BF＝EF，∴BF＝AE，∴AE+AC＝BF+FC＝BC．93．（2017秋?西城区校级期中）如图：已知∠D＝∠C，O
D＝OC，求证：AD＝BC．【解答】证明：在△OAC和△OBD中，，∴△OAD≌△OBC（ASA），∴AD＝BC．94．（2017
秋?西城区校级期中）三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接
AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．（1）如图1，当点D在线段BC上时
，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗
？请说明理由．【解答】解：（1）结论：AD＝AE．理由：如图，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD．∵△ABC是等边三角形，∴
∠B＝60°，BA＝BC．∴△BMD是等边三角形，∠BMD＝60°．∠AMD＝120°．∵CE是外角∠ACF的平分线，∴∠ECA＝
60°，∠DCE＝120°．∴∠AMD＝∠DCE．∵∠ADE＝∠B＝60°，∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠1+∠B∴∠1＝∠2．又∵
BA﹣BM＝BC﹣BD，即MA＝CD．在△AMD和△DCE中，，∴△AMD≌△DCE（ASA）．∴AD＝DE．（2）正确．证明：延
长BA到M，使AM＝CD，与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，∵∠CDE＝∠ADB+∠ADE＝∠ADB+60°，∠MAD＝∠B
+∠ADB＝∠ADB+60°，∴∠CDE＝∠MAD，同理可证，△AMD≌△DCE，∴AD＝DE．95．（2017秋?西城区校级期中
）已知：B﹣O﹣A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．（1）如果要从P处以最短路径到达公路上一点N，且点N与点M不重合，
求作路径PN．两条路径PM与PN的关系是 PM＝PN ，理由是 角平分线上的点到角两边的距离相等 ．（2）河流下游处有一点Q，如果
要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，标明点C的位置．（3）若D点在公路OB上，到桥O点的距离与C
点到O点的距离相等．作出△CDP，求证△CDP为等腰三角形．【解答】解：（1）如图所示，线段PN即为所求，∵OQ平分∠AOB，且P
N⊥OA，PM⊥OB，∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等），故答案为：PM＝PN，角平分线上的点到角两边的距离相等；（
2）如图所示，点C即为所求；（3）作CD⊥OQ，交OB于点D，∵C，D与点O的距离相等，∴OC＝OD，又∵OQ平分∠AOB，∴OQ
垂直平分CD，∵点P在OQ上，∴PC＝PD，∴△PCD为等腰三角形．96．（2017秋?西城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝9
0°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD+B
E；（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、B
E具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．小芸第（1）问的证明步骤是这样的：由∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCE＝
90°得出∠DAC＝∠BCE；从而证出△ACD≌△CBE，得到：DE＝AD+BE．请你仿照小芸的证题步骤完成第（2）问的证明．【解
答】解：（1）如图1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴AD＝CE，CD＝
BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+
∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌
△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）如图3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠B
CE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD
和△CBE中，∵，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．97．（2017秋?西
城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点F．问：BC，BE，
CD有怎样的等量关系？并说明理由．【解答】解：在BC上取点G使得CG＝CD，∵∠BFC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°
﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠BFE＝∠CFD＝60°，∵在△CFD和△CFG中，，∴△CFD≌△CFG（SAS），∴∠CFG＝∠CFD＝60°，∴∠BFG＝120°﹣60°＝60°＝∠BFE，∵在△BFE和△BFG中，，∴△BFE≌△BFG（ASA），∴BE＝BG，∴BE+CD＝BG+CG＝BC．98．（2017秋?西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE＝CF．【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE＝CF．99．（2017秋?西城区校级期中）如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．（1）BD和AE的大小关系是 BD＝AE ，位置关系是 BD⊥AE ；请给出证明；（2）求证：CF平分∠BFE．【解答】解：（1）BD＝AE，BD⊥AE，证明如下：∵BC⊥CA，DC⊥CE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△ACE≌△BCD；∴∠CBD＝∠CAE，∵∠BGC＝∠AGE，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴BF⊥AE；故答案为：BD＝AE；BD⊥AE，（2）过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，∵△BCD≌△ACE，∴AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，∴CH＝CI，∴CF平分∠BFH．100．（2017秋?西城区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D．（1）请你利用尺规作图作出点D；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6，AC＝3，则BE＝ ．【解答】解：（1）如图，点D为所作；（2）连接DC、DB，如图，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DF＝DE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，∴Rt△ADF≌Rt△ADE，∴AF＝AE，即AC+CF＝AB﹣BE，∴CF+BE＝AB﹣AC＝6﹣3＝3，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DC＝DB，同理可得Rt△DFC≌Rt△DEB，∴CF＝BE，∴BE＝．故答案为．101．（2017秋?海淀区期中）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）【解答】解：如图所示：作∠A的平分线AE和线段AB的垂直平分线MN，交点即为所要求作的点P．102．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是△BAC的角平分线，AC＝AB+BD，∠C＝31°，求∠B的度数．【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD是△BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAE，∵在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵AC＝AB+BD，∴EC＝DE，∴∠EDC＝∠C＝31°，∵∠AED＝∠EDC+∠C＝62°，∴∠B＝∠AED＝62°．103．（2017秋?西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，8），C（﹣2，0）．（1）点M在AC的垂直平分线上，且△BCM的周长最小，在图中画出点M的位置；（2）P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB按照A﹣O﹣B的路线运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BOA按照B﹣O﹣A的路线运动，运动过程中，点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒．①当t＝4时，△OPQ的面积为 4 ；②直线l经过原点O，且l∥AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F．当△OPE与△OQF全等时，求t的值．【解答】解：（1）如图1所示，点M就是所求作的点；（2）如图2，①当t＝4时，由运动知，点P运动了2×4＝8个单位，∴点P在y轴上，且P（0，2），∴OP＝2，由运动知，点Q运动了3×4＝12个单位，∴点Q在x轴上，且Q（4，0），∴OQ＝4，∴S△POQ＝OP×OQ＝4，故答案为：4；②由题意，OP和OQ是两直角三角形的斜边，当△OPE与△OQF全等时，OP＝OQ，Ⅰ、当点P在OA上，点Q在OB上时，OP＝6﹣2t，OQ＝8﹣3t，∴6﹣2t＝8﹣3t，∴t＝2，Ⅱ、当点P，Q都在OA上时，点P，Q重合时，两三角形重合时，OP＝6﹣2t，OQ＝3t﹣8，∴6﹣2t＝3t﹣8，∴t＝，Ⅲ、当点P在OB上，点Q在OA上且点Q与点A重合时，OP＝2t﹣6，OQ＝6，∴2t﹣6＝6，∴t＝6，即：满足题意的t的值为2或或6．104．（2017秋?海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D和E分别是边BC和AB上的动点，并满足∠EDB＝∠ACB． 过点B作BF⊥DE，垂足为F．（1）如图1，若α＝90°，猜想线段BF与DE的数量关系： DE＝2BF ；（2）若点D运动到点C的位置，点F在DE的延长线上，连接AF，①请在图2中补全图形；②是否存在α使得△ABF为等腰三角形？若存在，求出α的值； 若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）DE＝2BF；理由是：如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠EDB＝∠ACB＝×45°＝22.5°，∴∠FEB＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠FBE＝90°﹣67.5°＝22.5°，在DF上取一点G，使BF＝FG，连接BG，∴∠FBG＝∠FGB＝45°，设BF＝x，则BG＝x，∵∠FGB＝45°，∠EDB＝22.5°，∴∠GBD＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴BG＝GD＝x，∴tan∠FBE＝tan∠EDB＝，∴＝，∴EF＝（﹣1）x，∴ED＝DF﹣EF＝（+1）x﹣（﹣1）x＝2x，∴ED＝2BF；（2）①如图2所示；②存在，如图3，延长BF与CA交于点H，∵∠EDB＝∠ACB，即∠ECB＝∠ACB，BF⊥FC，∴△BFC≌△HFC，∴BF＝FH，∵AF＝BF，∴AF＝BF＝FH，∴∠FBA＝∠BAF，∠H＝∠FAH，∴∠FBA+∠H＝∠BAF+∠FAH＝＝90°，即∠BAH＝90°，∴∠BAC＝90°，∴α＝90°．105．（2017秋?西城区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°，∴∠BCE＝90°；（2）α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．106．（2017秋?昌平区校级期中）对于边长为6的等边三角形ABC，（1）建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．（2）等边△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则B、C点的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），在Rt△ABO中，AB＝6，BO＝3，则AO＝＝3，∴A（ 0，），B（﹣3，0），C（3，0）；（2）等边△ABC的面积＝BC?OA＝×6×3＝9．107．（2017秋?昌平区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），C（2，2），过C作CB⊥x轴于B．在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ABP的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在．P（0，4）或（0，﹣4）；理由如下：∵OA＝OB，OQ∥BC，∴OQ＝BC＝1，∴Q点坐标为（0，1），设P点坐标为（0，t），∵三角形ABC和三角形ACP的面积相等，∴S△PAQ+S△PCQ＝4，即?2?|t﹣1|+?2?|t﹣1|＝4，解得t＝3或t＝﹣1，∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．108．（2017秋?房山区期中）阅读下列材料，并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且32+42＝52．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 10 ．（2）满足勾股定理方程a2+b2＝c2的整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如，则（1，2，）就是一组勾股数组．请你写出勾股数：（1， 3 ，）．（3）如图2，在数轴上方画一个直角三角形，使得两条直角边分别是2和1，以O为圆心，斜边OB长为半径画圆，交数轴于点A，则OB＝ ，点A在数轴上表示的数是 ﹣ ，请用类似的方法在图2数轴上画出表示的C点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．故答案为10．（2）满足勾股定理方程a2+b2＝c2的整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如，则（1，2，）就是一组勾股数组．请你写出勾股数：（1，3，）．故答案为3．（3）如图2，在数轴上方画一个直角三角形，使得两条直角边分别是2和1，以O为圆心，斜边OB长为半径画圆，交数轴于点A，则OB＝，点A在数轴上表示的数是﹣，故答案为，﹣．表示的C点如图所示，（在Rt△OEF中，OE＝＝，OC＝OE＝） 1 / 1 |
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