2019北京十五中初二（下）期中数 学（B卷） 2019.4考生须知1．本试卷共6页，共3道大题，25道小题．满分100分．考试时间100
分钟．2．在答题纸上认真填写班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题用2
B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题纸按考场座位顺序上交．一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只
有一个符合题意．共30分，每小题3分．）1．函数y=中，自变量x的取值范围是A． x≠2 B． x≤2 C． x＞2 D． x≥2
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是A.B.C.D.3．由下列线段a，b，c 能组成直角三角形的是A．a=1，b=2，c=3 B
．a=1，b=1，c= 3C．a=2，b=2，c=2D．a=3，b=4，c=5 4. 在□ABCD 中，∠A =100°，则∠B
的度数是A．100°B．160°C．80°D．60°5. 如图，在□ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC
边于点E，则CE等于A．6 cmB．4 cmC．2 cmD．8 cm6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠
ABC=60°，AC=4，那么这个菱形的边长是 A．8 B．4 C． 8 D． 47. 如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线
AC、BD所夹的钝角为60°，则对角线BD的长为 A．3 B．6 C．3 D．68. 下列命题中正确的是 A．两条对角线互相平分的
四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正
方形9. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时，如图1，测得A
C=2．当∠B=60°时，如图2，AC=A． B．2C． D．210. 如图1，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分
别是边BC，AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B-A-D-C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某
一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示。则点M的位置可能是图1中的A．点C B
点E C．点 F D．点O二、填空题（共24分，每小题3分）11．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C 被湖隔开
，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为_____________km．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是B
C、AB、AC 的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是 .13. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高 3m 处折
断,若木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为4m，则木杆折断前的高度为 m．14. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，
c的面积分别为9和16，则b的面积为.15. 如图，矩形ABCD中，沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=1
6，AB=8，则DE的长是 .16. 如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小
米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街 道行走，最近的路程为 m．17. 如图，正方
形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为 ．18. 在一节数学课上，老师布置了一个任务： 已知，如图
1，在Rt△ABC 中，∠B=90°，用尺规作图作矩形ABCD.同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2，他向同学们分享了
作法：分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，连接EF交AC于点O；② 作射线BO，在BO上取点D，使O
D=OB ；③ 连接AD，CD.则四边形 ABCD就是所求作的矩形.老师说：“小亮的作法正确.”小亮的作图依据是 ．三、解答题（共
46 分）19．（12 分）计算：（1）（2）×÷（3）（3）（3）+20．(5 分) 利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请
依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足= ，使其中a，b都为正整数,你取的正整数a=____，b=；第二步
：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF=90?
，则斜边OF的长即为.请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点
M，并描述第三步的画图步骤： .21.（5分）为了测算出学校旗杆的高度，爱动脑筋的小明这样设计出了一个方案如图，将升旗的绳子拉到旗
杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？22. （5
分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．23.（6
分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90o，AB=BC=2，AD＝1，CD＝3．求∠DAB的度数．24. （6 分）如图，在四边形
ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分?BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若 AB=，BD=2，求OE的长．25.（7分）把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个
正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．（1）
如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接写出结论；（2）如图2，点E，F分别在正方
形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．参考答
案一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意．共30分，每小题3分．） 1.函数中自变量的取值范围是（ ）A. B.
C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．【详解】由题意得：，解得：，故选：D考点：函数
自变量的取值范围2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用最简二次根式的定
义判断即可．【详解】A、=3，不合题意，B、=，不合题意；C、，不合题意；D、是最简二次根式，符合题意.故选：D.【点睛】此题考查
了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．3.由下列线段，，能组成直角三角形的是（ ）A. ，，B. ，，C. ，
，D. ，，【答案】D【解析】【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即
可．【详解】A、12＋22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、12＋12≠（）2，不能组成直角三角形，故此选项错误；C、
22＋22≠22，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、32＋42=52，能组成直角三角形，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主
要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．4.在中，
，则的度数是（ ）A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠
B的度数．【详解】∵在中∠A＝100°，∴∠B＝180°?∠A＝180°?100°＝80°．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的
性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．5.如图，在中，，，平分交边于点，则等于（ ）A. B.
C. D. 【答案】A【解析】【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，
进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD即可求解．【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠E
DA＝∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADE，∴∠EDC＝∠DEC，∴CE=CD＝AB＝6，故选：A．【点睛】本题直
接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．6.如图，在菱形中，对角线与交于点，如果，，那么这个菱形的边长是（ ）
A. 8B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断△ABC是等边三角形，即可得到菱形的边长．【详解】∵四边形是菱形∴AB
=AC,∵∴△ABC是等边三角形，∴菱形的边长BC=AC=4故选B．【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的邻边相等
．7.如图，矩形中，，两条对角线、所夹的钝角为60°，则对角线的长为（ ）A. 3B. 6C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB＝AB，然后根据矩形的对角
线互相平分可得BD＝2OB．【详解】在矩形ABCD中，OA＝OB，∵两条对角线、所夹的钝角为60°∴∠AOB＝60°，∴△AOB是
等边三角形，∴OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝2×3＝6．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形
的判定与性质，是基础题，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．8.下列命题中正确的是（ ）A. 两条对角线互相平分的四
边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正
方形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．【详解】A、两条对角线互相
平分的四边形是平行四边形，正确．B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
，仅垂直不一定是菱形，错误．D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．故选：A．【点睛】本题是考查平
行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知
识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．9.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四
边形，使它形状改变，当时，如图1，测得AC=2，当时，如图2，则AC的值为（ ） A. B C. 2D. 【答案】D【解析】【分
析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．【详解】如图1，∵AB＝BC
＝CD＝DA，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2＋BC2＝AC2，∴AB＝BC＝＝＝，如图2，∠B＝60°
，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾
股定理得出正方形的边长是关键．10.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是边BC、AD的中点，AB=2，B
C=4，一动点P从点B出发，沿着B—A—D—C的方向在矩形的边上运动，运动到点C停止.点M为图1中的某个定点，设点P运动的路程为x
，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示.那么，点M的位置可能是图1中的（ ）A. 点 CB. 点EC. 点
FD. 点O【答案】D【解析】【详解】∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为
0，说明点M一定在BD上，∴从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．故选D．考点：动点问题的函数图象．二、填空
题（共24分，每小题3分）11.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为___．【答案】1.
2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90
°，M为AB的中点，∴MC＝AB＝AM＝1.2km．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．12.如图，在中，点、、分别是、、的中点，如果的周
长为20，那么的周长是____．【答案】10【解析】【分析】利用三角形的中位线定理可以得到：DE＝AC，EF＝BC，DF＝AB，则
△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解．【详解】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，∴DE＝AC，同理 EF＝
BC，DF＝AB，∴C△DEF＝DE＋EF＋DF＝（AC＋BC＋AB）＝×20＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的中
位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF的周长是△ABC的周长的一半是关键．13.如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高处折
断，若木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为，则木杆折断前的高度为____．【答案】8【解析】【分析】由题意得，在直角三角形中，
知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【详解】∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端
落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5，∴折断前高度为5＋3＝8m．故答案为：8．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学
生对勾股定理在实际生活中的运用能力．14.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为9和16，则的面积为____．【答案】25
【解析】【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积＝a的面积＋c的面积【详解】如图，∵∠ACB＋
∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°∴∠ACB＝∠DEC．∴在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴B
C＝DE，∴如图，根据勾股定理的几何意义，b的面积＝a的面积＋c的面积∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝9＋16＝25．故答案为：2
5．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15.如图，矩形中，沿着直线折叠，
使点落在处，交于，，，则的长是____．【答案】10【解析】分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设
DE＝x，则AE＝16?x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股
定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【详解】∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90
°，设DE＝x，则AE＝16?x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′
DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE，∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即82＋（16?x）2＝x2
，解得x＝10，即DE＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．16.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与
新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的
街道行走，最近的路程为____________ m. 【答案】500【解析】【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题
意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即
可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C．∵BC∥AD， ∴∠D
AE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=
BC=300m，在Rt△ABC中，AC= =500m，∴CE=AC-AE=200m，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②
BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故答案是：500．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解
题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E的两种走法．17.如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，求的最小值．【
答案】的最小值是10．【解析】【分析】连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到DN+MN的最小值即为线段BM的长.【详解】解：
∵四边形是正方形，∴点关于的对称点是点．连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小．∵，正方形的边长为8，∴，．由，知．又∵点与点关
于对称，∴且平分．∴．∴．∴的最小值是10．【点睛】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念.解答本题的关键是读懂题意，知道根据正
方形的性质得到DN+MN的最小值即为线段BM的长.18.在一节数学课上，老师布置了一个任务：已知，如图1，在中，，用尺规作图作矩形
． 同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图2，他向同学们分享了作法：①分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点、
，连接交于点；②作射线，在上取点，使；③连接，．则四边形就是所求作的矩形．老师说：“小亮的作法正确．”写出小亮的作图依据．【答案】
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；对角线互相平分且相等是矩形．【解析】【分析】根据
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断EF垂直平分AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BO＝OA＝OC，
则由OD＝OB得到BO＝OA＝OC＝OD，从而根据矩形的判定方法可判断四边形ABCD就是所求作的矩形．【详解】由作法得EF垂直平分
AC，则OA＝OC，则BO为Rt△ABC斜边上的中线，所以BO＝OA＝OC，因为OD＝OB，所以BO＝OA＝OC＝OD，所以四边形
ABCD为矩形．所以小亮的作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；对角线互相
平分且相等是矩形．【点睛】本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图
方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．三
、解答题（共46分）19.计算：（1）（2）（3）【答案】（1）0（2）15（3）【解析】分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即
可求解；（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求解；（3）根据二次根式的混合运算法则即可求解．【详解】（1）==0（2）===15（
3）===．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．20.利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下
思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足，使其中，都为正整数．你取的正整数_____，_____；第二步：（画长为的
线段）以第一步中你所取的正整数，为两条直角边长画，使为原点，点落在数轴的正半轴上，，则斜边的长即为．请在下面的数轴上画图：（第二步
不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点，并描述第三步的画图步骤：_____________
_____．【答案】3；1；图见解析；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作【解析】【分析】第一步：利用实
数的运算可确定a和b的值；第二步：3对应的点为E点，过点E作数轴的垂线，再截取EF＝1，然后连接OF，则OF＝；第三步：如图，在数
轴的正半轴上截取OM＝OF即可．【详解】第一步：=,a＝3，b＝1；第二步：如图，OF为所作；第三步：如图，以原点为圆心，OF为半
径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．故答案为3，1；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．【点睛】
本题考查了作图?复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是
熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、
卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆
底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．【答案】12米.【解析】【分析】设旗杆长为x米，则绳长
为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.【详解】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：，解得x=12，答：旗
杆的高度为12米.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解.22. 已知：如
图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF求证：四边形BECF是平行四边形．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根
据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．【详解】如答图，连接BC，设对角线交
于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OD，OB=OC．∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，∴OE=OF．∴四边形BED
F是平行四边形．23.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．【答案】
135o．【解析】【分析】在直角△ABC中，由勾股定理求得AC的长，在△ACD中，因为已知三角形的三边的长，可用勾股定理的逆定理判
定△ACD是不是直角三角形．【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴
AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+
90°=135°．24.如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若
，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.（2）根据菱形
的性质和勾股定理求出．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.详解：（1）证明：∵∥，∴∵平分∴，∴∴又∵∴又∵∥，∴四边
形是平行四边形又∵∴是菱形（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．∴．，，∴．在中，．∴．∵，∴．在中，．为中点．∴．点睛：本题
考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜
边的一半是解题的关键.25. 把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B
重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，M
N的数量关系和位置关系，直接写出结论；（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得
到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 图1图2【答案】（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由详见解析【解析】【详解】（1）解：连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，∵点M是DF的中点，∴AM=DF．∵△BEF是等腰直角三角形，∴AF=CE，在△ADF与△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE=DF．∵点M，N分别为DF，EF的中点，∴MN是△EFD的中位线，∴MN=DE，∴AM=MN；∵MN是△EFD的中位线，∴MN∥DE，∴∠FMN=∠FDE．∵AM=MD，∴∠MAD=∠ADM，∵∠AMF是△ADM的外角，∴∠AMF=2∠ADM．∵△ADF≌△CDE，∴∠ADM=∠CDE，∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA⊥MN．∴MA=MN，MA⊥MN．（2）成立．理由：连接DE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．在Rt△ADF中，∵点M是DF的中点，∴MA=DF=MD=MF，∴∠1=∠3．∵点N是EF的中点，∴MN是△DEF中位线，∴MN=DE，MN∥DE．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BF，∠EBF=90°．∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．△ADF与△CDE中，∴△ADF≌△CDE，∴DF=DE，∠1=∠2，∴MA=MN，∠2=∠3．∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，∴∠3+∠5=90°，∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．考点：四边形综合题 1 / 1 |
|
