2019-2021北京初二（下）期中数学汇编：四边形章节综合3

2019-2021北京初二（下）期中数学汇编四边形章节综合3一、解答题1．（2021·北京市文汇中学八年级期中）如图，在□ABCD中，E，F
分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF．2．（2019·北京五十五中八年级期中）如图，将长方形ABCD
沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数；（2）若AB=4，AD=8
，求△BDE的面积．3．（2019·北京市第三十一中学八年级期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点
，且BE=DF，求证：AE=CF4．（2019·北京五十五中八年级期中）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，
AE=CF．求证：BE=DF．5．（2020·北京铁路二中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的三等分点
．求证：四边形AFCE是平行四边形．6．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD
上的点，且∠1=∠2，求证：AE=CF．7．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=
4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．8．（2021·北京·和平街第一中学八年级
期中）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F． （1）求证：AE=C
F；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．9．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，
BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在平行四边
形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．11．（2019·北京·海淀教师进修学校附
属实验学校八年级期中）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．1
2．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF//BE交BC于点F，AF与BE交
于点M，CE与DF交于点N．（1）求证：DE=BF；（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．13．（2019·北京市第三十一中学八
年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求
EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．14．（2019·北京市第一六一中学八年级期中）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长
方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出
一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．15．（2019·北京市第
四十一中学八年级期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AF⊥DE．16．（2020·北
京市文汇中学八年级期中）阅读下列材料∶问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作
直线EF，在EF上取一点G．使得∠EGB=∠EAB，连接AG．求证∶EG=AG+BG． 小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交C
E于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题∶(1)完成上面问题中的证明；(2)如果将原问题
中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2)，请探究线段EC、AG、BG之间的数量关系，并证
明你的结论．解∶线段EG、AG、BG之间的数量关系为_______________________________________
____________．并证明．17．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=D
C，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE=EF；（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=
β，求α，β之间的数量关系式．18．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的
一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段
AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．19．（202
0·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF，求证
：四边形ACFD为平行四边形20．（2020·北京市文汇中学八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交
CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=，求平行四边形AB
CD的周长．21．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接
BE，DF，求证：BE=DF．22．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形
ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE求证：四边形BECD是矩形．23．（2021·北京·北大附中八年级期中）如图，在平
行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的角平分线．求证：四边形DEBF是平行四边形．24．（2021·北京师范大学
昌平附属学校八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．25．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图所示，有两种形状
不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小
完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．⑴ 请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块
直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按
实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；并要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹
）；⑵ 三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行
四边形的面积和周长各是多少．?26．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC
，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．(1)求证：四边形DBEC是菱形；(2)若AD＝3， DF＝1，求四边形DBEC面积．27．
（2019·北京十五中八年级期中）把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶
点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA
，MN的数量关系和位置关系，直接写出结论；（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）
中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 28．（2019·北京四中八年级期中）在?ABCD中，∠BA
D的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接
写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．29．（20
20·北京铁路二中八年级期中）对于正数，用符号表示的整数部分，例如：，，．点在第一象限内，以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分
别与两坐标轴垂直. 其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为
对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．图1图2根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐
标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；（2）点的矩形域重叠部分面积为1，求的值；（3）已知点在直线上， 且点B的矩形域的面积满
足，那么的取值范围是 ．（直接写出结果）30．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在
正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补
全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD
从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．参考答案1．详见解析【分析
】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推
出即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，DE∥BF，∴四边形DEBF是
平行四边形，∴BE=DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决
问题的关键．2．(1) 40° （2）10【分析】（1）求出∠ADB，求出∠BDC ，根据折叠求出∠C′DB，代入∠ADC′=∠B
DC′-∠ADB即可；（2）先证BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由
三角形的面积公式求出面积的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，∵AD∥BC，∴∠
BDA=∠DBC=25°，∴∠BDC=90°-25°=65°，∵沿BD折叠C和C′重合，∴∠C′DB=∠CDB=65°，∴∠ADC
′=∠BDC′-∠BDA=65°-25°=40°；（2）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠E
BD=∠EDB，∴BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+
（8-x）2=x2，解得：x=5，所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．3．详见解析【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证
明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠
D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）4．证明见解析【分析】根据矩形的对边相等可得AB=CD，
四个角都是直角可得∠A=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴，．∵
在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，掌握矩形的对边相等的性质、四个角都是直角是解题的关键．5．
证明见解析．【分析】根据题意与平行四边形的性质得∠ADB=∠DBC，DA=BC，DE=BF，则△ADE≌△CBF，所以AE=CF，
同理可证得AF=CE，故可得四边形AFCE是平行四边形．【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADB=∠DBC，DA=B
C，∵E，F为BD的三等分点，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AE=CF，同理△CDE≌
△ABF，∴AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解此题的关键
在于灵活运用平行四边形的性质来证明三角形全等，再利用全等三角形的性质证明已知四边形为平行四边形．6．详见解析【分析】通过证明三角形
全等求得两线段相等即可．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠B=∠D，AB=CD∵∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD∴△ABE
≌△CDF∴AE=CF．【点睛】本题主要考查平行四边形性质与全等三角形，解题关键在于找到全等三角形.7．【分析】根据翻转前后，图形
的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4-FC，再根据勾股定理的知识，即可
求出答案．【详解】解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF，在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3．在矩形ABC
D中，DC=AB=5．∴CE=DC-DE=2．设FC=x，则EF=4-x．在Rt△CEF中，x2+22=（4-x）2．解得x＝．即
FC=．【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等．8．（1）见解析；（2）EF=2【分
析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定
和性质解答即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．在△OA
E和△OCF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF；（2）∵E是AB中点，∴B
E=AE=CF．∵BE∥CF，∴四边形BEFC是平行四边形，∵AB=2，∴EF=BC=AB=2．【点睛】此题考查了菱形的性质以及全
等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．证明见解析.【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠
OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴
OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt
△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．10．见解析【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得C
E=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF．【详解】证明：∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵四
边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠DCB=∠FBE，在△CED和△BEF中，，∴△CED△BEF（ASA），
∴CD=BF，∴AB=BF．【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．11．见解析【分析】根据
条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，∴∠ABF=90°．∵在△BAF和△DAE
中， ，∴△BAF≌△DAE（SAS），∴∠FAB=∠EAD，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∴∠FA
E=90°，∴EA⊥AF．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边
形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四
边形，从而得AF∥CE，再根据四边形BFDE是平行四边形，从而可得DF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得．【
详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∵DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE=BF；（2）∵四
边形ABCD是平行四边形∴AD//BC且AD=BC，∵DE=BF，∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，∴四边形AFCE是平行四
边形，∴AF∥CE，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DF//BE，∴四边形MFNE是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定
与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．13．（1）EF=3；（2）梯形ABCE的面积为39．【详解】试题分析：（
1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将的长求出；（2
）根据S梯形=，将各边的长代入进行求解即可．试题解析：(1)设EF=x依题意知：△CDE≌△CFE，∴DE=EF=x，CF=CD=
6.∵在中,?∴AF=AC?CF=4，AE=AD?DE=8?x.在中,有即 解得x=3，即：EF=3.(2)由(1)知：AE=8?
3=5，梯形ABCE的面积 14．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根
据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【详解】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对
角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求
的线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图．15．见解析【分析】由题意先证明△ADE≌△BAF，得出∠EDA=∠
FAB，再根据∠ADE+∠AED=90°，推得∠FAE+∠AED=90°，从而证出AF⊥DE．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形
，∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，又∵AE=BF，∴△DAE≌△ABF，∴∠ADE=∠BAF， ∵∠ADE+∠AED=9
0°，∴∠FAE+∠AED=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥DE．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的
关键是掌握三角形的判定定理．16．（1）详见解析；（2）EG+BG=AG，证明详见解析．【分析】（1）作∠GAH=∠EAB交GE于
点H，证△ABG≌△AEH，再证ΔACH是等边三角形，得AG=HG ，EG=AG+BG；（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于
点H，则∠GAB=∠HAE，证ΔABG≌ΔAEH，得BG=EH，AG=AH，再证ΔAGH是等腰直角三角形，可得AG=HG．故EG+
BG=AG．【详解】(1)证明：如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠AOE=∠
BOF，∴∠ABG=∠AEH在ΔABG和ΔAEH中 所以△ABG≌△AEH（ASA）∴BG=EH，AG=AH∵∠GAH=∠EAB=
60°∴ΔAGH是等边三角形∴AG=HG．∴EG=AG+BG(2)EG+BG=AG证明：如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线
于点H，则∠GAB=∠HAE∵∠EGB=∠EAB=90°∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°∴∠ABG=∠AEH．在
ΔABG和ΔAEH中 ∴ΔABG≌ΔAEH（ASA）∴BG=EH，AG=AH∵∠GAH=∠EAB=90°∴ΔAGH是等腰直角三角形
∴AG=HG∴EG+BG=AG【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平
行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．（1）见解析；（2）α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到EF=CD，根据直角三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论；（2）根据题意得到△AEF
是等边三角形，求得∠AEF=60°，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】（1）∵点E、F分别为DB、BC
的中点，∴EF=CD，∵∠DAB=90°，∴AE=BD，∵DB=DC，∴AE=EF；（2）∵AF=AE，AE=EF，∴△AEF是等
边三角形，∴∠AEF=60°，∵∠DAB=90°，点E、F分别为DB、BC的中点，∴AE=DE，EF∥CD，∴∠ADE=∠DAE=
α，∠BEF=∠BDC=β，∴∠AEB=2∠ADE=2α，∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，∴α，β之间的数量关系
式为2α+β=60°．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题
的关键．18．（1）作图见解析；（2）菱形，证明见解析【详解】解：（1）如图所示，（2）四边形AECF的形状为菱形．理由如下：∵A
B=AC， ∴∠ABC=∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM，而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，
∴EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互
相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形．【点睛】本题考查①作图—复杂作图；②角平分线的性质；③线段垂直平分线的性质．19．证明见
解析.【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根据一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形可得结论【详解】证明：∵在?ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE=CE．在△ADE
和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．【点睛】此题主要考查了平
行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．20．（1）证明见解析；（2）12【分析】（1）由平行四边形的性质和角
平分线得出∠BAF=∠BFA，即可得出AB=BF；（2）由题意可证△ABF为等边三角形，点E是AF的中点. 可求EF、BF的值，即
可得解．【详解】解：（1）证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB=CD，∠FAD=∠AFB又∵ AF平分∠BAD，∴ ∠F
AD=∠FAB∴ ∠AFB=∠FAB∴ AB=BF∴ BF=CD（2）解：由题意可证△ABF为等边三角形，点E是AF的中点在Rt△
BEF中，∠BFA=60°，BE=，可求EF=2，BF=4∴ 平行四边形ABCD的周长为1221．证明见解析．【分析】利用SAS证
明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，AB=DC，∴∠B
AE=∠DCF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE=DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等
三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．22．见解析【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△A
BC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到?BECD是矩形．【详解】
证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴，BE=AD，∴BE=CD，∴四边
形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴?BECD是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质
，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．23．见解析．【分析】根据题意利用平行四边形的性质求出
∠ABF＝∠AED，即DE∥BF，即可解答【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC．又∵DE，BF分别是∠ADC
，∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CDE．又∵∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∵DE∥BF，DF∥BE，∴
四边形DEBF是平行四边形.【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，利用好角平分线的性质是解题关键24．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．（2）解直角
三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=
2，求出菱形的面积即可．【详解】证明：，，四边形OCED是平行四边形，矩形ABCD，，，，，平行四边形OCED是菱形；在矩形ABC
D中，，，，，，连接OE，交CD于点F，四边形OCED为菱形，为CD中点，为BD中点，，，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形
的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．25．（1）如图所示见解析；（2）面
积均为12，周长分别为：8+6，8+2.【分析】（1）用边长为1、3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3的直
角三角形；用边长都为3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3、1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角
线为4的平行四边形即可；（2）每个平行四边形的面积都等于四个直角三角形的面积之和，为定值，周长不是定值．【详解】（1）3种拼法；（
2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是定值，这个定值==12；三种方法所拼得的平行四边形的周长不是定值，它们的周长分别是8+6，8
+2．【点睛】本题考查了四边形综合题，其中涉及到了平行四边形的判定与性质，平行四边形的面积，灵活掌握平行四边形与三角形之间关系是解
题的难点．26．(1)见解析；(2)4【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得证；（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和
三角形的面积公式进行解答．【详解】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC
=90°，点D是AC的中点，∴CD=BD=AC，∴平行四边形DBEC是菱形；（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF
=1，∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC∴BC=2DF=2．又∵∠ABC=90°，∴AB= = =
4．∵平行四边形DBEC是菱形，∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB?BC=×4×2=4．【点睛】本题考查了菱形的
判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D是AC的中点，得到CD=BD是解答（1）的关键，由菱形的
性质和三角形的面积公式得到S四边形DBEC=S△ABC是解（2）的关键.27．（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由详见解
析【详解】（1）解：连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，∵点M是DF的中点，
∴AM=DF．∵△BEF是等腰直角三角形，∴AF=CE，在△ADF与△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE=DF．∵
点M，N分别为DF，EF的中点，∴MN是△EFD的中位线，∴MN=DE，∴AM=MN；∵MN是△EFD的中位线，∴MN∥DE，∴∠
FMN=∠FDE．∵AM=MD，∴∠MAD=∠ADM，∵∠AMF是△ADM的外角，∴∠AMF=2∠ADM．∵△ADF≌△CDE，∴
∠ADM=∠CDE，∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA⊥MN．∴MA=MN，MA⊥MN．（2）成立
．理由：连接DE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．在Rt△AD
F中，∵点M是DF的中点，∴MA=DF=MD=MF，∴∠1=∠3．∵点N是EF的中点，∴MN是△DEF的中位线，∴MN=DE，MN
∥DE．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BF，∠EBF=90°．∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，∴AB+BF=CB
+BE，即AF=CE．在△ADF与△CDE中，∴△ADF≌△CDE，∴DF=DE，∠1=∠2，∴MA=MN，∠2=∠3．∵∠2+∠
4=∠ABC=90°，∠4=∠5，∴∠3+∠5=90°，∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN
．28．(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平
行四边形，求证∠CEF=∠F即可;（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEG
F是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形,由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可
求得答案．【详解】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD
，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠
ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DF
A=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形
，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△
DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB
为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵ADGF，ABDF，∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，
∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE
，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH
+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱
形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．29．（1）8；（2）所以的值为
或；（3）【分析】（1）点（2，）的矩形域的定义，求出矩形边长分别为2，4，画出图形即可解决问题；（2）分两种情形，重叠部分在（1
）中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题；（3）利用特殊值法．推出平行于y轴的矩形的边长为3，由此即可解决问题；【详解】解：
（1）根据题意可得：点矩形域为，长为4，宽为2，点的矩形域如图所示，该该矩形域的面积是8；故答案为：8；（2）如图所示，因为点的矩
形域重叠部分面积为1，且平行于轴的边长均为4，所以点的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为4，平行于轴的边长为. ①当时
，，解得；②当时，，解得.所以的值为或.（3）当m=1时，S=3，当m=2时，S=8，∵4＜S＜5，∴1＜m＜2，∴平行于y轴的矩
形的边长为3，∴平行于x轴的矩形的边长m的范围为故答案为．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．30．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）2BE＝AD
＋CN，证明见解析；（3）．【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠M
CN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）BE=AD+CN．根据正方形的性质可得出BF=AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【详解】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE=AD+CN．证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=AD．∵BE=BF+FE，∴BE=AD+CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=，∴S梯形DFCN=（DF+CN）?CF=（+）×=．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的长度；（3）找出EN所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键． 1 / 1