2019-2021北京初二（下）期中数学汇编一次函数章节综合3一、解答题1．（2021·北京·首都师大二附八年级期中）现代互联网技术的广泛应
用，催生了快递行业的商速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解，甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过 千克
的，按 元收费：超过 千克，超过的部分按每千克 元收费；乙公司表示：按每千克 元收费，另加包装费 元．设小明快递物品
千克．（1）当 时，直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 （元）与 （千克）之间的函数关系式；（2）当小明快递的物品超过
千克时，选择哪家快递公司更省钱?2．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）一次函数的图象经过点和点，求一次函数的解析式．3
．（2020·北京·北外附中八年级期中）依据给定的条件，求一次函数的表达式．（1）已知一次函数的图象如图所示，求此一次函数的表达式
，并判断点（6，5）是否在此函数图象上；（2）已知直线y＝kx+b平行于直线y＝3x+4，且过点（1，2），求此直线的函数表达式．
4．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级期中）如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，求k的值．5．（2020·
北京市顺义区仁和中学八年级期中）已知：一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（-2、2）且一次函数的图象与y轴的交点Q的纵坐标
为4．（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象；（3）求△PQO的面积． 6．（2020·北京市顺
义区仁和中学八年级期中）若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的表
达式．7．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级期中）一个一次函数的图象，与直线y=2x+1的交点M的横坐标为2，与直线y=-x＋
2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的表达式．8．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级期中）已知关于x的一次函数y=（3a-7
）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且当x1y2，求a的取值范围．9．（2020·北京市顺
义区仁和中学八年级期中）一次函数的图象经过A（3，4）和点B（2，7），求此一次函数的表达式．10．（2020·北京市顺义区第五中
学八年级期中）已知：关于x的一次函数y=(2m-1)x+m -2，若它的函数值y随x的增大而增大，且图象与y轴负半轴相交，且m为正
整数．（1）求这个函数的解析式．（2）求直线y=－x和（1）中函数的图象与x轴围成的三角形面积．11．（2020·北京市顺义区仁和
中学八年级期中）已知与成正比例，当时，，（1）求与的函数关系式；（2）求当时的函数值；（3）如果的取值范围是，求的取值范围．12．
（2019·北京市第四十一中学八年级期中）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图
象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲登山上升的速度是每分钟________米，乙在A地时距地面的高度b为____
____米；(2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之
间的函数关系式（写出自变量范围）；(3)登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？13．（2021·北京市昌平区第二中学八
年级期中）已知直线与y轴交于点A．将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点B．（1）求点A，B坐标；（2）点B关于x轴的
对称点为点C．若直线与线段BC有公共点，求 k的取值范围．14．（2021·北京·大峪中学八年级期中）如图，直线的解析表达式为，且
?与x轴交于点D，直线经过点A，点B，直线?，交于点C．（1）求直线的解析表达式；（2）求的面积；（3）在直线上存在异于点C的另一
点P，使得的面积等于面积，请直接写出点P的坐标．15．（2021·北京·大峪中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为
（a，b），点P的“关联点”P’的坐标定义如下：当时，P’点坐标为（b，a）；当时，P’点坐标为（－a，－b）．（1）写出A（5，
3）的变换点坐标_____，B（1，6）的变换点坐标______，C（－2，4）的变换点坐标_____；（2）如果直线l：上所有点
的关联点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W；（3）在（2）的条件下，若直线y=kx－1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接
写出k的取值范围．?16．（2021·北京市文汇中学八年级期中）平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若?则称点为点的可变点
．例如：点的可变点的坐标是 ，点 的可变点的坐标是 ．（1）①点的可变点的坐标是 ；②在点， 中有一个点是函数图象上某一个点的可变
点，这个点是 ；（填“A”或“B”）（2）若点在函数 的图象上，求其可变点的纵坐标的取值范围；（3）若点A在函数y=-x+4（-
1≤x≤a，a>-1）的图象上，其可变点B的纵坐标n的取值范围是-5≤n''≤3，直接写出a的取值范围.17．（2021·北京市平谷
区峪口中学八年级期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过24
0度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每
个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题：（1）“基础电价”是__________
__元度；（2）求出当x＞240时，y与x的函数表达式；（3）若紫豪家六月份缴纳电费132元，求紫豪家这个月用电量为多少度？18．
（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线的表达式为，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），直
线AB与直线相交于点P．（1）求直线AB的表达式；（2）求点P的坐标；（3）若直线上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积
的2倍，直接写出点C的坐标．19．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二
天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用
为元，分别求出，关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．20．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级期中
）如图所示，直线l1的表达式为y=-3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，两直线交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求
直线l2的解析式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP和△ADC和面积相等．请直接写出点
P的坐标．21．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级期中）如图所示为某汽车行驶的路程S（km）与时间t（min）的函数关系图，观
察图中所提供的信息解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？（2）汽车中途停了多长时间？（3）当16≤t≤30时，求S
与t的函数关系式？22．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）已知y﹣2与x成正比例，当x＝2时，y＝6．（1）求y与x
之间的函数解析式．（2）在所给直角坐标系中画出函数图象．（3）此函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，若S△ABC
＝3，请直接写出点C的坐标．23．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）小明同学骑自行车去郊外春游，下图是表示他离家的距离（
千米）与所用时间（小时）之间关系的函数图象.（1）根据图象回答小明到达离家最远的地方需 _____ 小时，此时离家 ____ 千米
；（2）求小明出发2.5小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？24．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，已知
直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．（1）求△AOB的面积；（2）求y1＞y2时x的取值范围．25．（20
20·北京市顺义区第五中学八年级期中）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A， B两点
．（1）求直线l的函数关系式；（2）求△AOB的面积．26．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）如图，已知直线y=kx－3
经过点M，求此直线与x轴、y轴的交点坐标．27．（2019·北京·人大附中八年级期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意点，和直
线，我们称直线为点的伴随直线，反之称点为直线的伴随点；特别的，直线（为常数）的伴随点为．如图1，已知三个顶点的坐标分别为．（1）点
的伴随直线的解析式为__________．（请直接写出答案）（2）若直线的伴随点是点，直线的伴随点是点，点为轴上的动点，当的周长最
小时，求点的坐标．（3）点是折线段的动点（包括端点），若直线是点的伴随直线，当直线与有且仅有两个公共点时，请直接写出点的横坐标的取
值范围．28．（2021·北京一七一中八年级期中）为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民
提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问
题：(1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式；(2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑
行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．29．（2021·北京·北大附中八年级期中）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上
一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）
；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐
标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，
G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段
AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．
（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABC
D）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，
6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B''C′D′，记m表示m（A''B′C′D′，QRST）的最小值，M表示
M（A′B''C′D′，QRST）的最大值，直接写出M+m的值．30．（2021·北京一七一中八年级期中）对于平面直角坐标系xO
y中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形
M，N间的"距离"，记作d(M，N) ． 特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)=0.一次函数y=kx+2的图像为L，L
与y 轴交点为D, △ABC中，A（0，1），B（-1，0），C（1，0）．（1）求d(点 D , △ABC)= ；当k=1时
，求d( L , △ABC)= ；（2）若d(L, △ABC)=0.直接写出k的取值范围； （3）函数y=x+b的图像记为W ,
若d(W，△ABC) 1 ,求出b的取值范围．参考答案1．（1）当 时， ，当 时， ； ；（2）当 时，选乙快递公司省钱
；当 时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当 时，选甲快递公司省钱．【分析】（1）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出
y甲、y乙（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）当x＞1，求出y甲=y乙时，x的取值，即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可
得，．当 时，，当 时，；（2） 时，令 ，即 ，解得：，令 ，即 ，解得：，令 ，即 ，解得：，综上可知：当 时，选乙快
递公司省钱；当 时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当 时，选甲快递公司省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是
分0＜x≤1和x＞1两种情况，考虑y甲=y乙时x的取值．2．y=2x+3．【分析】直接把点A（﹣1，1），B（1，5）代入一次函数
y=kx+b（k≠0），求出k、b的值即可．【详解】∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1）和点B（1，5），∴
，解得：．故一次函数的解析式为y=2x+3．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤
是解答此题的关键．3．（1）不在，理由见解析；（2）y＝3x﹣1【分析】（1）设该直线解析式为y=kx+b（k≠0）．根据图象知，
该函数图象经过点（0，-8）、（4，0），把它们分别代入y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组可以求得该一次函数解析式，
再进一步代入验证点（6，5）是否在此函数图象上；（2）先利用两直线平行问题得到k=3，然后把（1，2）代入y=3x+b求出b即可．
【详解】（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．如图所示，该直线经过点（0，﹣8）、（4，0），则，解得．所以该直线方程为：
y＝2x﹣8．把x＝6代入y＝2x﹣8＝4，所以点（6，5）不在此函数图象上；（2）∵直线y＝kx+b平行直线y＝3x+4，∴y＝
3x+b．又∵直线y＝kx+b过点（1，2），∴2＝3+b，解得，b＝﹣1，∴此直线的函数表达式为y＝3x﹣1．【点睛】本题考查了
两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．即：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+
b2平行，那么k1=k2．也考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自
变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数
解析式．4．±6【分析】先求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：当x=0时，y=
k；当y=0时，x=∴直线y=-2x+k与y轴的交点坐标为（0，k），与x轴的交点为（，0）∵直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的
三角形面积是9∴×=9解得：k=±6【点睛】此题考查的是根据一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积，求参数问题，掌握一次函数图象与坐
标轴交点坐标的求法是解决此题的关键．5．（1）正比例函数的解析式为y=-x；一次函数的解析式为y=x＋4；（2）图象见解析；（3）
4【分析】（1）由题意可知：点Q的坐标为（0,4），设正比例函数的解析式为：y=kx，一次函数的解析式为y=ax＋b，然后利用待定
系数法即可求出结论；（2）在平面直角坐标系中，找到P、Q两点，作直线OP即为正比例函数的图象，作直线PQ即为一次函数的图象；（3）
过点P作PA⊥y轴于点A，易知PA=2，OQ=4，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）由题意可知：点Q的坐标为（0
,4）设正比例函数的解析式为：y=kx，一次函数的解析式为y=ax＋b将点P的坐标代入正比例函数解析式中，得2=-2k解得：k=-
1∴正比例函数的解析式为y=-x将点P、Q的坐标代入一次函数解析式中，得∴解得：∴一次函数的解析式为y=x＋4；（2）如图所示，在
平面直角坐标系中，找到P、Q两点，作直线OP即为正比例函数的图象，作直线PQ即为一次函数的图象．（3）过点P作PA⊥y轴于点A，∴
PA=2，OQ=4∴S△OPQ=OQ·PA=4【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和画一次函数的图象，掌握利用待定系数法求一次函数
解析式和用两点法画一次函数图象是解决此题的关键．6．该一次函数的表达式为或【分析】根据k的符号分类讨论：当k＞0时，易知该一次函数
经过（-2，-11）和（6,9）两点，然后利用待定系数法即可求出结论；当k＜0时，易知该一次函数经过（-2，9）和（6, -11）
两点，然后利用待定系数法即可求出结论．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-
11≤y≤9，当k＞0时，y随x的增大而增大∴该一次函数经过（-2，-11）和（6,9）两点∴解得：∴此时该一次函数的表达式为；当
k＜0时，y随x的增大而减小∴该一次函数经过（-2，9）和（6, -11）两点∴解得：∴此时该一次函数的表达式为；综上：该一次函数
的表达式为或．【点睛】此题考查的是一次函数的增减性和求一次函数的解析式，掌握一次函数的增减性与k的关系和利用待定系数法求一次函数的
解析式是解决此题的关键．7．这个一次函数的表达式为y=4x－3【分析】将x=2代入y=2x+1中，将y=1代入y=-x＋2中，即可
求出点M、N的解析式，设一次函数的表达式为y=kx＋b，将点M、N的坐标代入，即可求出结论．【详解】解：将x=2代入y=2x+1中
，解得：y=5；将y=1代入y=-x＋2中，解得：x=1∴点M的坐标为（2,5），点N的坐标为（1,1）设一次函数的表达式为y=k
x＋b，将点M、N的坐标代入，得 解得：∴这个一次函数的表达式为y=4x－3．【点睛】此题考查的是两个一次函数图象的交点问题，解决
此题的关键是先求出交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式．8．【分析】根据题意可得当x=0时，y= a-2＞0，y随x的增
大而减小，然后根据一次函数的图象及性质列出不等式即可求出结论．【详解】解：∵一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在
x轴的上方，且当x1y2，∴当x=0时，y= a-2＞0，y随x的增大而减小即解得：【点睛】此题考
查的是一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．9．一次函数的解析式为y=-3x＋13【分析
】设一次函数的解析式为y=kx＋b，然后将点A、B的坐标代入即可求出结论．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx＋b，将点A、B
的坐标代入，得 解得：∴一次函数的解析式为y=-3x＋13【点睛】此题考查的是求一次函数的解析式，掌握利用待定系数法求一次函数解析
式是解决此题的关键．10．（1）y＝x?1（2）【分析】（1）根据函数图象与负半轴相交可得出m?2＜0，再根据图象不经过第二象限可
得出2m?1＞0，从而结合m为正整数可得出m的值．（2）做出函数y＝x?1与y＝-x的图象，即可进行求解．【详解】（1）由题意得：
，解得：＜m＜2，又∵m为正整数，∴m＝1，函数解析式为：y＝x?1．（2）如图，做出函数y＝x?1与y＝-x的图象令y＝x?1=
0，解得x=1,∴A（1，0）联立，解得∴函数y＝x?1与y＝-x交点为（，?），∴所围三角形的面积为：×1×＝．【点睛】本题考查
待定系数法求函数解析式及求解三角形面积的知识，难度不大，注意解答此类题目的步骤．11．（1）y=3x-1（2）-4（3）【详解】分
析：（1）根据正比例的定义设y+5=k(3x+4)，然后把x=1时，y=2，代入计算求出k值，再整理即可得解．（2）把x=?1代入
解析式求得即可；（3）根据，列出不等式，求解即可求得x的取值范围．详解：(1)设y+5=k(3x+4)，∵x=1时，y=2，∴k(
3+4)=2+5，解得k=1，∴y+5=3x+4，整理得，y=3x?1.(2)把x=?1代入y=3x?1得，y=?3?1=?4；（
3）由题意，解不等式得.点睛：考查待定系数法确定函数关系式，求出函数关系式是解题的关键.12．(1)10；30；(2)；(3)登山
3分钟或10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高
度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；（2）分0≤x＜2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关
于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者作差等于70得出关于x的一元一次方程，解之即可求
出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=70，得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得
出结论．(1)解：甲登山上升的速度是：（300-100）÷20=10（米/分钟），b=15÷1×2=30．故答案为：10；30；(
2)解：当0≤x＜2时，y=15x；当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30．当y=30x-30=300时，x=11
．∴乙登山全程中，距地面的高度y与登山时间x之间的函数关系式为：；(3)解：甲登山全程中，距地面的高度y与登山时间之间的函数关系式
为y=kx+b（k≠0），把（0，100）和（20，300）代入解析式得：，解得：，∴甲登山全程中，距地面的高度y与登山时间之间的
函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20），当10x+100-（30x-30）=70时，解得：x=3；当30x-30-（10x
+100）=70时，解得：x=10；当300-（10x+100）=70时，解得：x=13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲
、乙两人距地面的高度差为70米．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2
）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式作差找出关于x的一元一次方程．13．（1）A（0,2
），B（2,3）；（2）【分析】（1）把x=0代入解析式可得y,求出A的坐标，根据平移的特点求出B的坐标；（2）借助图象，得到当x
=2,-3≤y≤3时，直线与线段BC有公共点，解不等式组可得；【详解】解：（1）因为当x=0时，y=2所以A（0,2）点A向右平移
2个单位，再向上平移1个单位，得到点B（0+2,2+1）即B（2,3）（2）由（1）可得点B关于x轴的对称点为点C（2,-3）如图
，当x=2,-3≤y≤3时，直线与线段BC有公共点，即-3≤2k+2≤3解得 【点睛】考核知识点：一次函数图象与不等式组．利用图象
分析问题是关键．14．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先根据直线的解析表达式求出点D的坐标
?，再根据直线，的解析表达式可求出点C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）根据“等底的两个三角形的面积相等，则其等底上的
高必相等”可知点P的纵坐标，再根据直线的解析表达式即可求出点P的横坐标，由此即可得出答案．【详解】（1）由图可知，直线经过点设直线
的解析表达式为将点代入得解得则直线的解析表达式为；（2）对于当时，，解得则点D的坐标为 联立，解得则点C的坐标为点C到x轴的距离
为3，即在中，AD边上的高为3 的面积为；（3）由题意，要使面积等于面积，则点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离，即为3，且点P异
于点C点P的纵坐标为3又点P在直线上令，则，解得故点P的坐标为．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何
应用等知识点，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．15．（1）A′(3,5)，B′(-1,-6)，C′(2,-4)；（2）见详解；
（3）或【分析】（1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；（2）根据直线DE的解析式，找出横纵坐标
相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE上的点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于原点对称的射线，再将直线DE的点（2，2
）右侧（包括该点）作关于x=y对称的射线，由此即可得出图形W；（3）根据W的做法找出图形W中两段射线的解析式，分别令y＝kx?1（
k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论．【详解】解：（1）∵5＞3，1＜6，-2＜4，∴
A′(3,5)，B′(-1,-6)，C′(2,-4)；（2）当x=y时，则有，解得x=y=2，∴将直线DE上的点(2,2)右侧(包
括该点)的射线作关于x=y对称的射线；再将直线DE上的点(2,2)左侧(不包括该点)作关于原点对称的射线，由此即可得出图形W;（3
）经过变换得到的两条射线方程为：y=-2x+6????????(x≤2) (x＞-2)令-2x+6=kx-1(k≠0)，则有且k≠
0，k≠-2解得：或k<-2令(k≠0)，则有且k≠0，2k+1≠0解得：或综上可知: 若直线y=kx－1（k≠0）与图形W有两个
交点，k的取值范围为：或k<-2【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是：（1）根据点的横、纵坐标间的关系找出其变换点；（2
）根据变换点的定义画出图形W；（3）找出图形W中两段射线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决（3）时，可以直接作出图形，利用数
形结合法直接得出结论．16．（1）①②A；（2）3≤≤5或-3≤≤2.（3）7≤k≤9.【分析】（1）①根据定义即可求解；②先求出
A,B的可变点，再判断是否在直线上即可；（2）将自变量在x=1分开即可求解.【详解】（1）①由定义可知，＞1，∴点的可变点的坐标是
②点的可变点为（-1，-2），在函数图象上的可变点为（2，-4），不在函数图象上．故这个点为点A；（2）若点在函数 的图象上，设
A（x,x+2）当1≤x≤3时，3≤x+2≤5，即3≤≤5，当-4≤x＜1时，-3≤-( x+2)≤2，即-3≤≤2，∴纵坐标的取
值范围为3≤≤5或-3≤≤2.（3）依题意，y=-x+4（-1≤x≤a，a>-1）图象上的点A的可变点B必在函数的图象上，当x=1
时，n’取最大值，n''=-1+4=3，当n''=-5时，x-4=-5或-x+4=-5，∴x=-1或x=9，当n''=-3时，-x+4=
-3，∴x=7.∵-5≤n''≤3，∴由图象可知，的取值范围时：7≤≤9. 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次
函数的图像与性质.17．（1）0.5（2）y=0.6x-24（3）紫豪家这个月用电量为260度【分析】（1）由用电240度费用为1
20元可得；（2）当x>240时，待定系数法求解可得此时函数解析式；（3）由132>120知，可将y=132代入（2）中函数解析式
求解可得．【详解】（1）“基础电价”是120÷240=0.5元/度，故答案为0.5；（2）设表达式为y=kx+b(k≠0)，∵过A
（240，120），B（400，216），∴，解得∶，∴表达式为y=0.6x-24；（3）∵132＞120，∴当y=132时，0.
6x-24=132，∴x=260，答：紫豪家这个月用电量为260度．【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及一次函数的图象、待定系数
法等，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键．18．(1) y
=-2x+2 ；(2) P的坐标为（2，-2）；(3) （3，0），（1，-4）【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；（2）由
两个解析式构成方程组，解方程组可得交点的坐标；（3）点P可能在P的上方或下方，结合图形进行分析计算．【详解】解：（1）设直线AB的
表达式为y=kx+b．由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），可知解得所以直线AB的表达式为y=-2x+2．（2）由题意，得
解得?所以点P的坐标为（2，-2）．（3）直线l的表达式为y＝2x﹣6，令y＝0，则x＝3，∴直线l与x轴交于（3，0），设点C
的坐标为（x，2x﹣6），∵△APC的面积是△APO的面积的2倍，∴×（3﹣1）×|2x﹣6﹣（﹣2）|＝2××1×2，解得x＝1
或3，∴C（3，0）或（1，﹣4）．【点睛】本题考核知识点：一次函数的解析式，解题的关键点：理解一次函数的性质．19．（1）y1=
15x+80（x≥0）；y2=30x（x≥0）；（2）当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；
当租车时间大于小时，选择甲公司合算．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（
2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1>y2时，15x+80>30x，当y1 ．【详解】（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；
设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=3
0x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＜30x，解得x＞；∴当租车时间为小时
，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．【点睛】此题考查了用待定系数法求一
次函数关系式以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并列式．20．（1）（1，0）；（2）；（3）；（4）（6，3
）【分析】（1）已知的解析式，令求出的值即可；（2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值；（3）联立方程组，求出交点的坐标，继而
可求出；（4）与底边都是，面积相等所以高相等，高就是点到的距离．【详解】解：（1）由，令，得，，；（2）设直线的解析表达式为，由图
象知：，；，，代入表达式， ， ，直线的解析表达式为；（3）由，解得，，，；（4）与底边都是，面积相等所以高相等，高就是点到直线的
距离，即纵坐标的绝对值，则到距离，纵坐标的绝对值，点不是点，点纵坐标是3，，， ，所以．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形
面积的计算等有关知识，难度中等．21．（1）平均速度＝km/min；（2）停车时间7min；（3）当16≤t≤30时，求S与t的函
数关系式为S＝2t﹣20【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式计算即可得解；（2）根据停车时路程没有变化列式计算即可；（3）利用
待定系数法求一次函数解析式解答即可．【详解】解：（1）平均速度＝＝km/min；（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t＝1
6﹣9＝7min；（3）设函数关系式为S＝kt+b，将（16，12），C（30，40）代入得，，解得，所以当16≤t≤30时，S与
t的函数关系式为S＝2t﹣20．【点睛】本题考查了由函数图象读取信息的能力，以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待
定系数法求解．22．（1）y＝2x+2；（2）见解析；（3）C（﹣4，0）或（2，0）．【分析】（1）根据正比例的定义设y﹣2＝k
x（k≠0），然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；（2）利用描点法法作出函数图象即可；（3）根据三角形面积可知AC＝3，
由图象可得结论．【详解】解：（1）∵y﹣2与x成正比例，∴设y﹣2＝kx（k≠0），∵当x＝2时，y＝6，∴6﹣2＝2k，解得k＝
2，∴y﹣2＝2x，函数关系式为：y＝2x+2；（2）当x＝0时，y＝2，当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1，所以，函数图象经
过点B（0，2），A（﹣1，0），函数图象如图：（3）∵点C在x轴上，若S△ABC＝3，∴AC＝3，由图象得：C（﹣4，0）或（2
，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．23．（1）
3，30；（2）出发2.5小时，小明离家22.5千米；（3）小明出发小时或小时距离家12千米.【分析】（1）根据分段函数的图象上点
的坐标的意义可知：小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米；（2）因为C（2，15）、D（3，30）在直线上，运用待定
系数法求出解析式后，把x=2.5代入解析式即可；（3）分别利用待定系数法求得过E、F两点的直线解析式，以及A、B两点的直线解析式．
分别令y=12，求解x即可．【详解】（1）观察图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米，故答案为3，30；（2）设
直线的解析式为 把 分别代入得，解得：，所以，，当时，，∴出发2.5小时，小明离家22.5千米；（3）设过两点的直线的解析式为 ，
将分别代入得，解得：，所以，，令 ，，解得：；设过A、B两点的直线解析式为 ，把代入得：15=1×k3，解得：k3=15，∴，令
，即，解得： ，∴小明出发小时或小时距离家12千米.【点睛】本题考查了一次函数的应用，需要有一定的建模能力以及读图能力，解题的关键
是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．24．（1）1.5；（2）x＞﹣1．【
分析】（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；（2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围．【
详解】解：（1）由y1=﹣x+1可知当y=0时，x=2∴点A的坐标是（2，0）∴AO=2∵y1=﹣x+1与x与直线y2=﹣x交于点
B∴B点的坐标是（﹣1，1.5）∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5；（2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5）由函数图象
可知y1＞y2时x＞﹣1．考点：一次函数与一元一次不等式．25．（1）；（2）8．【详解】（1）设直线l的函数关系式为， 把（3，
1），（1，3）代入①得解方程组得∴直线l的函数关系式为（2）在中，令则 当则∴．26．直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为
(0，－3) ．【分析】将点M坐标代入解析式求出k的值，然后分别求出x=0时y的值和y=0时x的值，得出答案．【详解】解：由图象可
知，点M(－2，1)在直线y=kx－3上，∴－2k－3=1???????解得：k=－2 ∴直线的解析式为y=－2x－3．令y=0，
可得x=－． ∴直线与x轴的交点坐标为(－，0)．令x=0，可得y－3．∴直线与y轴的交点坐标为(0，－3)．【点睛】本题考查一次
函数的解析式；一次函数与坐标轴的交点．27．（1）；（2）(，)；（3）或【分析】(1)直接根据伴随点和伴随直线的定义可得结论；(
2)利用待定系数法求得直线AB、BC的解析式，根据伴随点和伴随直线的定义可得D、E的坐标，再得到点D关于x轴的对称点的坐标，利用待
定系数法求得直线的解析式，即可求解；(3)点P分别在线段AB→BC上讨论，根据直线与△ABC恰有两个公共点时，可得的取值范围．【详
解】解：(1)点A(，)的伴随直线的解析式为：；(2)设直线AB的解析式为，把A(，)，B(，)的坐标代入得：，解得：，∴直线AB
的解析式为，伴随点D的坐标是(，)，设直线BC的解析式为，把B(，)，C(，)的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，伴随点
E的坐标是(，)，作点D(，)关于轴的对称点，连接交轴于点F，此时DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周长最小，如图：∴点的
坐标为(，)，设直线的解析式为，把E (，)，(，)的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为，令，则，∴点F的坐标是(，)；(3)
①当P在线段AB上时，如图，∵直线AB的解析式为，∴设P(，)()，则伴随直线的解析式为：，把B(1，5)代入得：，解得：，当时，
伴随直线的解析式为：，当时，伴随直线的解析式为：，∴当，直线与△ABC恰有两个公共点；②当P在线段BC上时，如图，∵直线BC的解析
式为，∴设P(，)(，则伴随直线的解析式为：，把B(1，5)代入得：，解得：，当时，伴随直线的解析式为：，当时，伴随直线的解析式为
：，∴当，直线与△ABC恰有两个公共点；∴；综上，或．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，也是有关伴随点和伴随直线的新定义问题，
考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解伴随点和伴随直线的定义，正确进行分类讨论
是解题的关键．28．(1)y=x-0.5(2)当0 >2时，李老师选择会员卡支付比较合算【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（
小时）的函数解析式；（2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题．(1)解：（1）当x≥0.5时，
设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b，，解得，，即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（
时）的函数关系式是y=x-0.5；(2)设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax，则0.75=a×1，得a=0.75，即会员卡支付对
应的函数解析式为y=0.75x，令0.75x=x-0.5，得x=2，由图象可知，当0 2时，李老师选择两种支付一样，当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，
求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题．29．（1）存在，m（AD，BC）＝，M
（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M+m＝+．【分析】（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥A
G，CF⊥AG，分别交于E、F，先证AB∥x轴，再证△ADE为等腰直角三角形，可得∠DAE=45°，再证△CBF为等腰直角三角形，
可得∠CBG=45°，可得AD∥BC，利用勾股定理逆定理可证BD⊥AD，可求m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）由过P的
直线l平行于AD，且与?ABCD无交点，可证l∥BC，当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由m（l
，ABCD）＝m（l，AD），可得m（AD，BC）＝，由m（l，BC）＝2m（l，AD），可得m（l，AD）＝，求出AD解析式为，
可求过P与AD平行的直线为+,可证△OAP为等腰直角三角形，利用勾股定理OP=t=，可得0＜t≤2， 当l在BC右侧时，用相同方法
求BC解析式为，证明△OKN为等腰直角三角形再证△KLP为等腰直角三角形，利用勾股定理PK，可求t＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；（3
）先求M（O，ABCD）＝，M（O，QRST），取QR的中点W（），再求m（O，QRST）＝|OW|=，可求M＝+，m＝﹣即可
．【详解】解：（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，∵A（1，1），B（3，1），两点纵
坐标相同，∴AB∥x轴，∵点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．∴E（2，1），F（4，1），∴AE=2-1=
1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥AE，∴△ADE为等腰直角三角形，∴∠DAE=45°，∵BF=4-3=1，CF=2-1=1
，CF=BF，CF⊥BF，∴△CBF为等腰直角三角形，∴∠CBG=45°，∴∠DAE=∠CBG=45°，∴AD∥BC，又∵EB=3
-2=1=AE=DE，∴AD2+BD2=，∴BD⊥AD∴AD、BC间最短距离为BD，即m（AD，BC）＝，∴AD、BC间最长为AC
，即M（AD，BC）＝；（2）∵过P的直线l平行于AD，且与?ABCD无交点，∴l∥BC，∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（
l，AD）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，AD），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD
），则m（l，AD）＝，设AD解析式为 解得AD解析式为过P与AD平行的直线为+,∵OA== m（l，AD），过A作PA⊥AD，交
y轴于P，∴△OAP为等腰直角三角形，∴OP=t=，∵直线l在O、P之间运动∴0＜t≤2，∴当0＜t≤2时，m（l，AD）、m（l
，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，当l在BC右侧时，m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），m（
l，ABCD）＝m（l，BC），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，AD）＝2m（l，BC），则m（l，BC）＝，设BC的解
析式为为 解得BC解析式为直线BC与y轴交点为K（0，-2），与x轴交点N（2，0）∴OK=ON=2，∴△OKN为等腰直角三角形∴
∠OKN=45°，过K作KL⊥l于L，则KL=，∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°∴△KLP为等腰直角三角形，∴PL
=KL=，在Rt△KLP中PK=，∴-2-t=2∴t＝﹣4，∵直线l在BC下方到t=-4之间运动，∴﹣4≤t＜﹣2，当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，ABCD）＝|OC|＝，M（O，QRST）=|OS|＝，取QR的中点W（），m（O，QRST）＝|OW|=，∴M＝+，m＝﹣，∴M+m＝+．【点睛】本题考查新定义距离问题，等腰直角三角形的判定与性质，直线平行判定，勾股定理定理与逆定理，两点间距离，直线解析式，截距范围，利用辅助线画出准确图形是解题关键．30．（1）d(点 D , △ABC)=1 ， d( L , △ABC)= ;（2）k≥2或k≤-2 .;（3）d(W，△ABC) 1时，-1- b 1+.【分析】（1）根据新定义，转化为实际是求点D到点A的距离，当k＝1时，求d（L，△ABC）实际是求两条平行线之间的距离，通过作垂线，转化为直角三角形用勾股定理求得；（2）若d（L，△ABC）＝0就是求直线L与三角形ABC有公共点，可以先考虑仅有一个公共点时k的值，然后根据一次函数的性质，求得k的取值范围；（3）函数y＝x＋b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1就是求W到三角形ABC的距离小于或等于1，可以先求距离为1时的b的值，然后根据一次函数的性质，求得b的取值范围．【详解】解：（1）一次函数y＝kx＋2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2?1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x＋2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×，d（L，△ABC）＝，故答案为1，； （2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx＋2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝?2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤?2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤?2．（3）函数y＝x＋b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x＋b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1＋，M（0，1＋）；即：b＝1＋；同理：OQ＝OP＝1＋，Q（0，?1?），即：b＝?1?，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间，∴?1?≤b≤1＋，答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为：?1?≤b≤1＋．【点睛】理解新定义的意义，将新定义的问题转化为数学问题是解决问题的关键，用特殊情况下计算结果，依据函数的性质进而推算出结果，是常用的方法，同时注意分类讨论的数学思想方法． 1 / 1 |
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