2019-2021北京重点校初二（下）期末数学汇编矩形一、单选题1．（2020·北京·人大附中八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=
3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BF的长为( )A．4B．5C．D．3.52．（2020·北京·人大附中
八年级期末）如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EF//BC，得到△EFG；再继续将纸片沿△BEG的对称轴E
M折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最终得到矩形EMNF，若△ABC中，BC和AG的长分别为4和6，则矩形EMNF的面积为（
）A．5B．6C．9D．123．（2021·北京市十一学校八年级期末）下列命题中，正确的是（ ）A．有一组对边相等的四边形是平行
四边形B．有两个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形4．（2020·
北京·人大附中八年级期末）下列说法中正确的是( )A．一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形B．四个角都相等的四边形是矩
形C．菱形是轴对称图形不是中心对称图形D．对角线垂直相等的四边形是正方形5．（2020·北京·101中学八年级期末）在平面直角坐标
系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在(
)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题6．（2021·北京市十一学校八年级期末）如图，在矩形ABCD中
，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝2，则矩形ABCD的面积为___．
7．（2020·北京·101中学八年级期末）在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），
连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，
则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，
则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．以上所有错误说法的序号是_____．8．（2020·北京·北大附中八年级期末）已知
：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长
为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）乙：①连接AC，作线段AC的垂直
平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图
2）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢______的作法，他的作图依据是：______．三、解答题9．（2020·北京·人大附
中八年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1
）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．10．（2020·北京·人大附中八年级
期末）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩
形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）． （1）如图2，点B的坐标为（0，b）．①若b＝4，则点A
，B的“相关矩形”的面积是 ；②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为 ．（2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，
顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为
正方形，请直接写出m的取值范围．参考答案1．B【分析】首先证明BF=BE=DE，设BF=BE=DE=，在Rt△ABE中，利用勾股定
理构建方程求解即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，由翻折的性质可知，DE=BE
，∠DEF=∠BEF，∴∠BFE=∠BEF，∴BF=BE=DE，设BF=BE=DE=，在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，
∴2=32+()2，解得，∴BF=5，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构
建方程解决问题．2．B【分析】根据翻转变换的性质得到EM＝FN＝3，MN＝BC＝2，根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：由翻折
的性质：△AEF≌△GEF，∴EM＝FN＝AG＝3，同理：△EBM≌△EGM，△FCN≌△FGN，∴，，∴，∴S矩形EMNF＝MN
?EM＝3×2＝6，故选：B．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等．3．D【分析】根据平行四边形判定方法可判断A、根据矩形判定方法可判断B、根据菱形判定方法可判断C、根据正方形的
判定定理可判断D即可．【详解】解：A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行
四边形，选项A不正确；B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确；C、对角线互相垂直平
分的四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确
．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．解决此题的关键是牢记判定定理4．B【分析】分别根据平行四边形
的判定、矩形的判定、菱形的对称性、正方形的判定逐项判断即得答案．【详解】解：A、一组对边平行、一组对边相等的四边形是不一定是平行四
边形，如等腰梯形，所以本选项说法错误，不符合题意；B、四个角都相等的四边形是矩形，所以本选项说法正确，符合题意；C、菱形既是轴对称
图形也是中心对称图形，所以本选项说法错误，不符合题意；D、对角线垂直相等且平分的四边形是正方形，所以本选项说法错误，不符合题意．故
选：B．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形和正方形的判定以及菱形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解
题的关键．5．A【分析】已知线段AB，BC，AC，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．【详解】如果
以线段AB为对角线，AC，BC为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；如果以线段AC为对角线，AB，BC为边，作平行四边形，则
第四个顶点在第二象限；如果以线段CB为对角线，AC，BA为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．故不可能在第一象限．故选A.【
点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．6．【分析】根据△DEF∽△DCB，可得CD=2
DE，设DE=x，则CD=2x，在Rt△DEF中，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【详解】解：∵将矩形ABCD的边BC翻折，∴C
F=EF=1，∠DEF=∠C=90°，∵∠FDE=∠BDC∴△DEF∽△DCB，∴，∴CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，∴D
F=2x-1，在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+EF2=DF2，∴x2+12=（2x-1）2，解得x=或x=0（舍），∴CD
=2x=，∴S矩形ABCD=CD×BC=×2=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、以及三角形相似的判定与性
质，勾股定理等知识，用方程思想是解题的关键．7．②④．【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行
四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．【详解
】解：①如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠OA
E＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，即
E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故选项①正确；②如图2，四边形AECF不是矩形，故选项②错误
．③如图3，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确．④如 图4 ，如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形A
ECF为正方形，故选项④错误．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱
形、正方形的判定方法是解答此题的关键．8．乙 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定方法，即可解决问题．
【详解】根据平行四边形的判定方法，我更喜欢乙的作法，他的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：乙；对角线互相平
分的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查尺规作图-复杂作图，平行四边形的判定定理，掌握尺规作线段的中垂线以及平行四边形的判定定
理，是解题的关键.9．（1）证明见解析；（2）PQ的长是．【分析】⑴先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ
≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论.⑵根据三角形中位线的性质可得 ，设 ，则
，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得 ，解得BE=10，得到 ，设 ，则 ， ，计算得出 ，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得
，由 即可求解.【详解】（1）证明：∵ PQ垂直平分BE，∴ QB=QE，OB=OE，∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∴
∠ PEO=∠ QBO，在△ BOQ与△ EOP中，，∴ △ BOQ≌ △ EOP（ASA），∴ PE=QB，又∵ AD∥BC，
∴ 四边形BPEQ是平行四边形，又∵ QB=QE，∴ 四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵ O，F分别为PQ，AB的中点，∴ AE+
BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ ABE中，62+x2=（18﹣x）2，解得x=8，BE=18﹣
x=10，∴ OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，
在Rt△ BOP中，PO=，∴ PQ=2PO=．10．（1）①2；②7或﹣3；（2）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．
【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；②由矩形的性质即可得出结果；（2）由题意得出点M在直线y=2上，由等边三角形的性质和题意
得出OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2，得出OF=OD=，分两种情况：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相
关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-2+，
2）；得出m的取值范围为-3≤m≤-2+或2-≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点
M的坐标为（3，2）或（-1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2-，2）；得出m的取值范围为
2-≤m≤3或-1≤m≤-2+；【详解】（1）①∵b＝4，∴点B的坐标为（0，4），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由
矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（4﹣2）×1＝2，故答案为：2；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相
关矩形”的面积＝|b﹣2|×1＝5，∴|b﹣2|＝5，∴b＝7或b＝﹣3，故答案为：7或﹣3；（2）∵点M的坐标为（m，2），∴点
M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE
＝2，∴OF＝OD＝，分两种情况：如图3所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为
（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+，2）或（2﹣，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣，2）或（﹣2+，2）；∴m的取值范围为2﹣≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数的解析式，新定义“相关矩形”等知识；本题综合性强，有一定难度． 1 / 1 |
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