2021北京八中初二（上）期中数 学一、选择题（每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．（2分）剪纸是我
国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为 A．B．C．D．2．（2分
）下列运算正确的是 A．B．C．D．3．（2分）如图，已知，则不一定能使的条件是 A．B．C．D．4．（2分）在平面直角坐标系中，
点关于轴的对称点的坐标是 A．B．C．D．5．（2分）如图，，若，，则的长为 A．2B．3C．4D．56．（2分）下列命题中正确的
有 个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；④等底等高
的两个三角形全等．A．1B．2C．3D．47．（2分）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的值为 A．4B．6C
．8D．108．（2分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是 A．B．C．D．9．（2分）已知，如图在直角坐标系中，点在轴
上，轴于点，点关于直线的对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为 A．B．C．D．10．（2分）如图所示，在长方形的对称轴
上找点，使得，，，均为等腰三角形，则满足条件的点有 A．5个B．4个C．3个D．1个二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分
）计算的结果是 ．12．（2分）如图，已知平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的最小值为 ，理论根据为 ．13．（2
分）如图，点、、分别在等边三角形的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ．14．（2分）若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角
的度数为 ．15．（2分）已知，，，则、、的大小关系是 ．16．（2分）如图，中，，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的
最小值是 ．17．（2分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定， ，若，，，且满足，则 ．18．（2分）如图，点是三
条角平分线的交点，，若，则的度数为 ．三、解答题（本题共20分）19．（16分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．20．（4
分）先化简，再求值．，其中．四、作图题（6分）21．（6分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：．求作：的
边上的高．作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作直线交于
点，则线段即为所求的边上的高．根据小芸设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）是线段的 ．（填
下列选项的序号）①垂直平分线②角平分线点在这条线上的依据是 ．五、解答题（22-25每题6分，26-27每题7分，共38分）22
．（6分）如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接．若，求的长．解：，． ，．点是的中点，且， ，， ．在中，， ， ．23
．（6分）已知：如图，，，，求证：．24．（6分）如图，已知，，与相交于，是的中点，求证：．25．（6分）已知：如图，是的边延长线
上一点，且，是边上一点，且．求证：．26．（7分）在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．（1）以为底边作等腰三角
形，①当时，点的坐标为 ；②当且直线经过原点时，点与轴的距离为 ；③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是 ．（2）以为斜
边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．27．（7分）在等边中，线段为边上的中
线．点在直线上，以为一边在的下方作等边，连接．（1）当点在线段上时，①请在图1中补全图形；②的度数为 ；③求证：；（2）当点在直
线上时，直线与直线的交点为（点与点不重合，点与点不重合），直接写出线段，与的数量关系．2021北京八中初二（上）期中数学参考答案一
、选择题（每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：
、不是轴对称图形，故错误；、是轴对称图形，故正确；、不是轴对称图形，故错误；、不是轴对称图形，故错误．故选：．【点评】本题考查了轴
对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则
，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故
选：．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】利用全等
三角形判定定理，，对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：、，为公共边，若，则；故不符合题意；、，为公共边，若，不符合全等三角
形判定定理，不能判定；故符合题意；、，为公共边，若，则；故不符合题意；、，为公共边，若，则；故不符合题意．故选：．【点评】此题主要
考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．4．【分析】关于轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．【
解答】解：关于轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数点关于轴的对称点的坐标是．故选：．【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点
的坐标特点，明确关于轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．5．【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线
段的和差即可得到结论．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本
题的关键．6．【分析】根据三角形全等的判定定理、、、、．可得出正确结论．【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误
；②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；④等底等高的两个三角形不一定全等，错误
；故选：．【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有、、、、．做题时要按判定全等的方法逐个验证．7．【分析】依据含角的直角三角
形的性质，即可得到的长，再根据角平分线的性质，即可得到的长，进而得出的长．【解答】解：，垂直平分，，，，，即平分，又，，，，故选：
．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】
根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．【解答
】解：、大长方形的面积为：，空白处小长方形的面积为：，所以阴影部分的面积为，故正确；、阴影部分可分为应该长为，宽为和一个长为，宽为
3的长方形，他们的面积分别为和，所以阴影部分的面积为，故正确；、阴影部分可分为一个长为，宽为3的长方形和边长为的正方形，则他们的面
积为：，故正确；、，故错误；故选：．【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中．9．【分析】先根据平行线的性质求出的度数
，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出是线段的垂直平分线，故可得出的度数，进而得出的度数，由点与点关
于直线对称可知是的垂直平分线，故可得出．【解答】解：连接，轴于点，，，．点关于直线的对称点恰好在上，是线段的垂直平分线，，．点与点
关于直线对称，是的垂直平分线，．故选：．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．10．【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作或的垂直平分线交于；
二是在长方形内部在上作点，使，，同理，在上作点，使，；三是如图，在长方形外上作点，使，，同理，在长方形外上作点，使，．【解答】解：
如图，作或的垂直平分线交于，如图，在上作点，使，同理，在上作点，使，如图，在长方形外上作点，使，同理，在长方形外上作点，使，综上所
述，符合条件的点有5个．故选：．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答
．二、填空题（每小题2分，共16分）11．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题
主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握．12．【分析】过作于，此时的长最短，根据角平分线性质得出即可
．【解答】解：过作于，此时的长最短（垂线段最短），平分，，，（角平分线上的点到角两边的距离相等），故答案为：2，角平分线上的点到角
两边的距离相等，垂线段最短．【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．13．【分析】
由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，
，是等边三角形，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关
键．14．【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论．【解
答】解：本题可分两种情况：①如图，当时，，，，；②如图，当时，，因此等腰三角形的顶角度数为或．故填或．【点评】本题主要考查等腰三角
形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解
答问题的关键．15．【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【解答】解：，，，、、的底数相同，．故答案为：．【点评】本题考查
了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．16．【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上
的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．【解答】解：如图所示：过点作于点，交于点，过点作于点，平分，，．中，，，
，，，．故答案为4.8．【点评】本题考查了最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和．17．【分析】根据有理
数的乘方、同底数幂的乘法解决此题．【解答】解：，．，，，，，．．，．．．故答案为：3，80．【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底
数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的关键．18．【分析】在上截取，连接，则可证明，得出，，将转化为进行计算
．【解答】解：在上截取，连接，，，在和中，，，，，，，，．故答案为．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等
腰三角形的性质，有一定难度，关键是仔细理解题意，作出辅助线，要熟练掌握全等三角形的判定定理．三、解答题（本题共20分）19．【分析
】（1）先算乘方，再按同底数幂的乘法法则计算；（2）按单项式乘单项式法则计算；（3）先按单项式乘单项式法则计算乘法，再合并同类项；
（4）按多项式乘多项式法则计算．【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点评】本题考查了整式的计算，掌握同底数幂的乘法、幂的
乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式法则是解决本题的关键．20．【分析】先利用整式的乘法计算，合并化简，最后代入求
得数值即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同类项的方法是解决问题的关键
．四、作图题（6分）21．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【解答】解：（1）图形
如图所示：（2）直线是线段的垂直平分线，理由是到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．故答案为：①，到线段两端的距离相等
的点在这条线段的垂直平分线上．【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考
题型．五、解答题（22-25每题6分，26-27每题7分，共38分）22．【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理
求出，根据线段垂直平分线性质得出，求出，，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．【解答】解：，，（等边对等角），，点是的
中点，且，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），，．在中，，，，故答案为：等边对等角，线段垂直平分线上的点到这条线段
两端点的距离相等，90，，，6，9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和含角的直角三角形的
性质等知识点，能熟记含角的直角三角形的性质是解此题的关键．23．【分析】由可得出，结合、即可证出，再根据全等三角形的性质可得出．【
解答】证明：，，，．在和中，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．24．【分析
】先利用证明，再利用证明即可．【解答】证明：在和中，，，，是的中点，，在和中，，，．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，
解题的关键是熟练掌握利用和证明三角形全等，此题难度不大．25．【分析】过点作的平行线交的延长线于点，根据全等三角形的判定和性质证明
即可．【解答】证明：过点作的平行线交的延长线于点，．点是的中点，．在和中，，，．．又，．【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关
知识，根据全等三角形的判定和性质证明是解题关键．26．【分析】（1）①根据，关于直线对称解决问题即可．②求出直线与直线的交点的坐标
即可判断．③由题意，，根据上所有点到轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．（2）由题意，由是以为斜边的等腰直角三角形，推出点
到的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，由题意，，关于直线对称，．故答案为．②如图2中，由题意
，直线，直线的解析式为，，点到轴的距离为1，故答案为1．③由题意，，上所有点到轴的距离都不小于1，或，解得或．故答案为或．（2）如
图3中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，点到的距离为1，当点在上方时，若直线上存在点，上存在点，满足，则．当点在下方时，若直线上存在点，上存在点，满足，则．综上所述，或．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．27．【分析】（1）①根据要求作出图形即可；②利用等腰三角形的三线合一的性质求解即可；③根据证明三角形全等即可；（2）根据要求作出图形，结论：．利用全等三角形的性质证明即可．【解答】解：（1）①图形如图1中所示：②是等边三角形，，是的中线，．故答案为：；③，都是等边三角形，，，，，在和中，，；（2）图形如图2中所示．结论：．理由：同法可证，，，，，，，，，．【点评】本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2 / 2 |
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