2021北京初二（上）期末数学汇编等腰三角形一、单选题1．（2021·北京通州·八年级期末）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直
平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（ ）A．6B．3C．12D．4．52．（2021·北京大兴·八年
级期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（?）A．B．C．或D．或3．（2021·北京门头沟·八年级期末）如图，每个小方格的边长
为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为 A．1B．2C．3D．4
4．（2021·北京丰台·八年级期末）等腰三角形的一边长是5，另一边长是10，则周长为（ ）A．15B．20C．20或25D．25
二、填空题5．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在中，D是上一点，，则________°．6．（2021·北京延庆·八年级期
末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．7．（2021
·北京丰台·八年级期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点
也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标_______；满足条件的点一共有_______个．8．（
2021·北京西城·八年级期末）如图，，点D在边上，，则________°．9．（2021·北京东城·八年级期末）小明同学用一根铁
丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为和，则这根铁丝的长为_________．10．（2021·北京平谷·八年级期末）等
腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是____________．11．（2021·北京房山·八年级期末）如图，长方形ABCD
中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△P
BC均为等腰三角形.则动点P的个数有_______个. 12．（2021·北京顺义·八年级期末）如图,在中,于点,则的度数为___
_______．13．（2021·北京朝阳·八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分
角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、
E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是__________14．（2021·北京门头沟·八年级期末）学习了等腰三角
形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流
后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：_____，你的理由是_____．15．（2021·北京延庆·
八年级期末）如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有_________个.16．（2021·北京昌平·
八年级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．三、解答题17．（2021·北京昌平·八年级期
末）已知：如图，为锐角，点A在射线上．求作：射线，使得．小静的作图思路如下：①以点A为圆心，为半径作弧，交射线于点B，连接；②作的
角平分线．射线即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，（_
_________）．是的一个外角，___________________．．平分，．．（__________）．18．（2021
·北京西城·八年级期末）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使
，连接，构造全等三角形来证明结论．?（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角
形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）
小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你
解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小
东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．?19．（2021·北京西城·八年级期末）如图
，，点E在的延长线上，，．（1）求证：；（2）连接，求证：．20．（2021·北京西城·八年级期末）小红发现，任意一个直角三角形都
可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作
直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图
形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，∴．（_______）（填推理的依据）∴_
________________．∵，∴，_________．∴．∴．（_______）（填推理的依据）∴和都是等腰三角形．21．
（2021·北京顺义·八年级期末）已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．22．（20
21·北京大兴·八年级期末）如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC=∠BCE，AD=BC，求证：DF=FE
．23．（2021·北京房山·八年级期末）如图，在ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，
连接BD．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的度数．24．（2021·北京海淀·八年级期末）已知，点为射线上一定点，点为射线上
一动点（不与点重合），点在线段的延长线上，且．过点作于点．（1）当点运动到如图的位置时，点恰好与点重合，此时与的数量关系是 ；（2
）当点运动到如图的位置时，依题意补全图形，并证明：；（3）在点运动的过程中，点能否在射线的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段，
，之间的数量关系；若不能，请说明理由．25．（2021·北京门头沟·八年级期末）阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC
中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来
解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DA
C的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝
AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．26．（2021·北京通州·八年级期末）如图，在ABC中
，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；（2）求证：BC＝2A
B．27．（2021·北京朝阳·八年级期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直
线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM． （1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；（2）如图2，当点P
在线段BC的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．28
．（2021·北京朝阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：
E为AB的中点．29．（2021·北京延庆·八年级期末）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留
作图痕迹（不写作法）①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，
使CE=CD，连接DE.（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．参考答案1．C【解析】根据线段的垂直平
分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，
DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，
又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=1
2．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．2
．D【分析】分类讨论这个的角是等腰三角形的顶角还是底角．【详解】解：若的角是顶角，则底角是，若的角是底角，则底角是．故选：D．【点
睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．3．C【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C
的个数．【详解】解：如下图：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个；当AB为底时，作AB的
垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，所以点C的个数为：2+1=3．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和
以AB为腰两种情况，并画出图形是解题关键.4．D【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证
能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角
形，周长是：10+10+5=25．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想
到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．5．25【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠B
AC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【详解】解：∵A
C＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝ ，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°
﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°
，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质
是解题的关键．6．10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠
C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °?2（x＋y）＝180 °?20 °?2x
，∴2y＝20 °，∴y＝10 °，∴∠CDE＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形
内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．7． （答案不唯一，符合题意即可） 8【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作
圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；②如图，以B为圆心，AB为半径作
圆弧，符合题意的格点有3个；③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点；综上，符合题意的格点共有8个，故答案为：（答案不唯一
，符合题意即可）；8．【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键
．8．【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查全
等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．50或55【分析】等腰
三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长.【详解】∵等
腰三角形中两条边的长分别为15 cm和20 cm，∴当第三条边的长为15 cm时，这根铁丝的长为15+15+20=50(cm)，此
时15+15>20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20 cm时，这根铁丝的长为15+20+20=55 (cm)，此时15+
20>20，符合三角形的三边关系；故答案为：50或55.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定
理并分类讨论是解题的关键.10．40°或70°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①
70°是底角，则顶角为：180°-70°×2=40°；②70°为顶角；综上所述，顶角的度数为40°或70°．故答案为：40°或70
°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重
要的，也是解答问题的关键．11．5【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；
二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图
，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC．【详解】分三种
情况讨论：①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使
P2A=AB，P2D=DC，③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=
AB，CP4=DC，故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据
题意，结合图形，再利用数学知识来求解．12．25°【分析】根据等腰三角形的性质和已知可求得两底角的度数，再根据直角三角形两锐角互余
可求得∠的度数．【详解】∵，∠°，∴∠∠°，∵，∴∠°°°．故答案为：25°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键
是综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题．13．80°【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠
DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，∴，，设，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解
答本题的关键．14． 不正确 2+2＜5，2，2，5不构成三角形．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分
别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；当腰长为2时
，因为2+2＜5，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故
答案为不正确，2+2＜5，2，2，5不构成三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．5【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分
线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方
形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【详解】如图，作AB或DC的垂直平
分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，同理，
在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为:5.【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.16．和【详
解】试题分析：首先知有两种情况（顶角是40°和底角是40°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数
．解：△ABC，AB=AC．有两种情况：（1）顶角∠A=40°，（2）当底角是40°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠A
+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．故答案为40°或10
0°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．17．（1）见解析；（2）等边对等角；；；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照
步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB，AC是∠MAB的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说
明即可．【详解】解：（1）作图如下： （2）证明：，（等边对等角）．是的一个外角， ．平分，..（内错角相等，两直线平行）．故答案
为：等边对等角；；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形
外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．18．（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC
，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三
角形的性质即可证明结论；（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角
平分线的定义即可证明结论．【详解】证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，则∠BDF＝∠F，∴∠ABC＝∠BDF
＋∠F＝2∠F，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，∴AF＝AC，在△ADF和△ADC中，，∴
△ADF≌△ADC（SAS），∴∠ACB＝∠F ，∴∠ABC＝2∠ACB．故答案为：BD．（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝
AB，连接DE，∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DC
B，∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，∴DB＝CE，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（SAS），∴BD＝DE，∠ABD
＝∠AED，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠AED＝2∠ECD， ∴∠ABD＝2∠ECD，∴∠ABC＝2∠ACB．（3）如
图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则∠BDG＝∠AGD，∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，∵∠ABC＝2∠AC
B，∴∠AGD＝∠ACB，∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，∴AG＝AC，∴∠AGC＝∠ACG，∴∠DGC＝∠DCG，∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SSS），∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．【点睛】本题考查的是三角形全等
的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据
平行线的性质可得∠ABC=∠ECD，则可利用AAS证明△ABC≌△ECD，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”
可得∠DBC=∠BDC，结合∠ABC=∠ECD，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，再利用三角形的外角性质得∠
EBD =∠ECD+∠BDC，即可证明∠ABD=∠EBD．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC=∠ECD，在△ABC和△E
CD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC=CD．（2）证明：如图，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠ABC=∠ECD
，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC，∴∠ABD=∠EBD．【点睛】本题考查
了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．20．（1）见解析；（
2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要
求，完成作图即可；（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相
应的内容即可．【详解】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（线
段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°?∠DCB，∠A＝90°?
∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角对等边）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【点睛】本题考查了作图?应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判
定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．21．AB=AC+BD，证明见详解．【分析】延长AE，交BD的延长
线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，
∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=
∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等
三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．22．见解析．【分析】首先可根据条件判断出△ACD≌△
BEC，从而得到DC=CE，判断出△DCE为等腰三角形，结合“三线合一”即可得出结论．【详解】∵AD∥BE，∴∠DAC=∠CBE，
在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（ASA）， ∴DC=CE， ∴△DCE是等腰三角形.∵CF平分∠DCE，∴DF=FE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定以及“三线合一”的性质是解题关键．23．（
1）见解析；（2）30°【分析】（1）依题意作出线段AB的垂直平分线即可；（2）由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得∠?AB
C=70°，再根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，然后根据等腰三角形的性质求得∠ABD=∠A=40°，进而可求得∠DBC的度数
．【详解】(1) 如图，直线DE为线段AB的垂直平分线；(2) ∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=70°，∵DE垂直平分AB
，∴DA=DB.∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=70°- 40°=30°．【点睛】本题考查基本作图-线段
垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段端点的距离相等是解答的关键．
24．（1）；（2）补全图形见解析，证明见解析；（3）能，【分析】（1）先证明是的垂直平分线，可得：可得：可得从而可得结论；（2）
如图，过作于 证明： 可得 再证明： 从而可得 于是可得结论；（3）如图，过作于同（2）理可得： 可得 再证明从而可得结论．【
详解】解：（1）当重合时， 点在线段的延长线上，，，是的垂直平分线， 故答案：（2）补全图形如图所示，过作于
（3）点能在射线的反向延长线上，如图，过作于同理可得： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义及性质，等
腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．25．（1）①全等；SAS；②等腰；③5.8；（2）4.3【分析
】（1）①根据题意可知△DEC和△DAC的关系是全等且判定依据为SAS；②根据三角形的外角的性质可以说明△BDE是等腰三角形；③根
据全等三角形和等腰三角形的性质以及线段的和差可得BC=AD+AC，最后代入数据计算即可（2）在BA边上取点E，使BE=BC=2，连
接DE，得到△DEB≌△DCB，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，最后利用全等三角形的性质以及等量
代换即可解答．【详解】（1）①∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCE∵CD=CD,∠ACD=∠DCE,EC=AC∴△DEC≌△DA
C（SAS）故填：全等，SAS；②∵△DEC≌△DAC∴∠DEC=∠A=2∠B∵∠DEC是△BDE的外角∴∠DEC=∠B+∠EDB
=2∠B∴∠EDB=∠B∴BE=DE∴△BDE是等腰三角形故填:等腰；③∵EC=AC=3.6,BE=DE=AD=2.2∴BC=EC
+BE=3.6+2.2=5.8故填：5.8；（2）∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°，又∵BD平分∠
ABC.∴∠1=∠2=40°，∴由三角形内角和定理得∠BDC=60°.在BA边上取点E，使BE=BC，连接DE.又∵BD=BD，∴
△DEB≌△DCB.∴∠BED=∠C=80°，∠BDC=∠4=60°，BE=BC=2.又∵∠ADC=180°，∴∠3=60°.∴∠
3=∠4.在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，又∵DE=DE，∴△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，B
D=DF=2.3.又∵∠5=∠6+∠A，∠A=20°.∴∠6=20°，∴∠A=∠6，∴AF=EF=2，∴AD=BD+BC=4.3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，弄清题意、正确的作出辅助线是解答本题
的关键．26．（1）40°；（2）证明见解析【分析】（1）由角平分线的定义求出，再由等边对等角和三角形的外角性质，即可求出答案；（
2）过点E作EF⊥BC于点F，先得到EA＝EF，然后证明△AEB≌△FEB，则AB=FB，然后得到BC＝2AB．【详解】（1）解：
∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴ . ∵EB＝EC，∴ . ∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴. （2）证明：过点E作E
F⊥BC于点F，如图：∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF.?在Rt△AEB 和Rt△FEB 中∵ ∴ △AEB≌△FEB
（HL）?∴ AB=FB（全等三角形的对应边相等）?∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB.?∴BC＝2AB．【点睛】本题考查
了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解
题．27．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN，AP，
MP，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，再根据等腰直角三角形的性
质即可求得∠MAN和∠MBC；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM，
PC=CN，再设BN长为x，利用和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN，AP，MP，∵N、P关于AC对称，
∴C为PN的中点，且AC为NP的中垂线，∴AN=AP，∴△ANP为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP（三线合一），同理可证∠PAB=
∠MAB，∠ABC=∠ABM，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠
PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上，∴PB=BM，PC=CN，设BN长为x，则BM的长为3x，CN长为2-x，∴PC=CN=2-x，∵PB=BM=PC+BC,∴，解得x=1，∴满足条件的P点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．28．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．29．（1）画图见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明.试题解析：（1）如图所示：（2）BD= DE.证明：∵BD平分∠ABC ，∴∠1=∠ABC ，∵ AB = AC ，∴∠ABC=∠4，∴∠1=∠4，∵CE=CD ，∴∠2=∠3，∵∠4=∠2＋∠3，∴∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴BD= DE .点睛：（1）掌握尺规作图作角平分线的方法；（2）掌握等腰三角形的性质. 1 / 1 |
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