2021北京初二（上）期末数学汇编勾股定理一、单选题1．（2021·北京延庆·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1
.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（?）A．B．C．或D．或2．（2021·北京延庆·八年级期末）下列长度的三条线段
，能组成直角三角形的是（?）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，12，133．（2021·北京·八年级期末）如图
甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底
，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的
面积分别是（?）A．2，B．4，C．，D．2，4．（2021·北京顺义·八年级期末）如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长
度为（?）A．B．2C．D．15．（2021·北京通州·八年级期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原
点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么
点P表示的数是（ ）A．2.2B．C．D．6．（2021·北京市育英中学八年级期末）直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为
3∶4，那么这个直角三角形的周长为（?）A．27cmB．30cmC．40cmD．48cm二、填空题7．（2021·北京房山·八年级
期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是
_________尺（1丈＝10尺）8．（2021·北京市育英中学八年级期末）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建
成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有
5米．则旗杆的高度______．9．（2021·北京顺义·八年级期末）已知中，，，则的面积为_______．10．（2021·北京
石景山·八年级期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长
几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离
木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为尺，木柱AB的长用含的代数式表示为__尺，根据题意，
可列方程为___．11．（2021·北京房山·八年级期末）已知：如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，ABD是等边三角形
，则CD的长度为______．12．（2021·北京延庆·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB
＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为 ____________．13．（2021·北京通州·八年级期末）如图中的每个小方
格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____．14．（2021·北京大兴·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝B
C=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD,下面四个结论中，①AD＝C
D；②BD⊥AC；③AC=6；④△ACD是等边三角形；所有正确结论的序号是_____．15．（2021·北京门头沟·八年级期末）如
图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，
A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为________．16．（2021·北京平谷·八年级期末）如图所示的网格是正方形网格，点
A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA=____°．三、解答题17．（2021·北京门头沟·八年级期末）如图，中，，，是边
上一点，且，若．求的长．18．（2021·北京昌平·八年级期末）定义：点P是内部的一点，若经过点P和中的一个顶点的直线把平分成两个
面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点
的是________；（填序号）（2）在中，且，点P是关于顶点A的均分点，且，直接写出的范围；（3）如图，在中，，点P是关于顶点A
的均分点，直线与交于点D，当时，，求的长．19．（2021·北京石景山·八年级期末）如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC
的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是C
F上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为 ．20．（2021·北京石景山·八年级期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都
是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个． 21．（20
21·北京房山·八年级期末）在中，，．（1）如图1，点为边上一点，连接，以为边作，，，连接．直接写出线段与的数量关系为 ，位置关系
为 ．（2）如图2，点为延长线上一点，连接，以为边作，，，连接．①用等式表示线段，，之间的数量关系为 ．②求证：．（3）如图3，点
为外一点，且，若，，求的长．22．（2021·北京平谷·八年级期末）如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AE=DE．求证：（1）DE
∥AB；（2）若∠B=60°，DE=2，求AD的长．参考答案1．C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求
出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ=CQ-BC=；如图2，
当Q在BC延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ=CQ+BC=；∴BQ的长为或．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图
形，分类讨论是解题关键．2．D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角
形进行分析即可．【详解】解：A：3+4=25≠8，不能组成直角三角形，不符合题意；B：5+6=61≠10，不能组成直角三角形，不符
合题意；C：5+5=50≠11，不能组成直角三角形，不符合题意；D：5+12=169≠13，可以组成直角三角形，符合题意．故选：D
．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与
最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．3．A【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进
一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可．【详解】由题意可得：，，∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”
，∴根据题意可得：，∴，∴，，∴总结出，∵，，，∴归纳得出一般规律：，∴，故选：A．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化
类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．4．D【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=
AC=，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵和是△ABC的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°
，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD，∵，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∴△BDF≌△ADC，∴BF=AC=，在Rt
△BDF中，DF=．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．5．B【分
析】根据题意可知为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB的长度，从而得出OP长度，即可选择．【详解】∵ ∴为直角三角形．∴在中，．
根据题意可知，∴．又∵，∴P点表示的数为．故选：B．【点睛】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB的长是解答本题的关键．6．
D【详解】试题分析：可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，得出两直角边为3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得结
果．∵一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，∴设两条直角边长的长是 3x，4x，∴（3x）2+（4x）2=202，解得：x=
4或-4（不合题意舍去）∴3x=12，4x=16，∴这个三角形的周长是：12+16+20=48cm．故选D.考点：本题考查的是勾股
定理的应用点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键．7．4.55【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出
离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（
10-x）尺由勾股定理得解得故答案为：4.55．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾
股定理解题．8．12米【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x
的值，从而求出旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为米，根据题意可得：，解得：，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．9．cm2【分析】设BC=acm，AC=
bcm，则a+b=，即可得到，根据勾股定理得到，进而得到，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：设BC=acm，AC=bcm，则
a+b=，∴，即，∵∠C=90°，∴,∴，∴cm2．故答案为：cm2【点睛】本题考查了完全平方公式，勾股定理等知识，准确掌握两个知
识点并建立联系是解题关键．10． 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，根
据勾股定理可列方程：，故答案为：；．【点睛】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．11．【分析】由勾股定理求
出AB，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB⊥CD于E，且AE=BE=1，求出AE=
CE=1，由勾股定理求出DE，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=，∴AB=，∠CAB=∠CBA=45°，∵
ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC，AD=BD，∴AB⊥CD于E，且AE=BE=
1，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt△AED中，∠AE
D=90°，AD=2，AE=1，∴DE=，∴CD=．故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，
线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE是解决本题的关键．12．15【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得
DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E，∵∠C=90°，∴在Rt△ACD中，
,∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3，∴△ABD 的面积为．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了角
平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．13．45°【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾
股定理，即可求解．【详解】由图可知：，，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌
握勾股定理是解答本题的关键．14．①②④【分析】根据垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，和直角三角形的性质，勾股定理对各项逐
一进行判定即可．【详解】解：∵分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，∴AD=CD=AC，故①正确；∴△ACD是等
边三角形，故④正确；∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，故②正确；∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30
°，∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，∴∠BAD=90°，∵BD⊥AC，∴∠ADB=30°，∵AB=BC=3，∴DB=6
，∴，∴AC=，故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，勾
股定理熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．15．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，
根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．【详解】∵∠ACB＝90°，B
C＝6，AB＝10，∴AC===8，∵BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，∴BD=AB=10，DE=
AE，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x，则DE=AE=AC-CE=8-x，∴在Rt△DCE中，DE2
=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应
用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．16．45【分析
】设每个小格边长为1，可以算得AD、CD、AC的边长并求得∠ACD的度数，根据三角形外角性质即可得到∠CAB+∠CBA的值．【详解
】解：设每个小格边长为1，则由图可知：∴，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，又∠ACD=∠CAB+∠CBA，∴∠CA
B+∠CBA=45°，故答案为45．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性质是解题关键．1
7．2【分析】过点作于点，则，，结合可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，即，结合可求出的长．【详解】解：过点作于点，
如图所示．，，，．，，．在中，∵，，即，，．又，，．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在中，利用勾
股定理求出的长是解题的关键．18．（1）④；（2）；（3）【分析】（1）根据题意所给的均分点的定义逐项判断即可．（2）根据均分点的
定义结合勾股定理，分别计算出和时，的大小即可．（3）过C点作，交直线于点E．根据均分点的定义可知，．根据勾股定理即可求出PD．又根
据题意易证，推出，．再利用勾股定理即可求出CP长．【详解】（1）①D点在直线AE上，故D点不是关于顶点B的均分点．②D点在直线AE
上，故D点不是关于顶点B的均分点．③，不能推出AE=EC，即不能说明，故不能证明D点是关于顶点B的均分点．④由AE=EC，可知，所
以D点是关于顶点B的均分点．综上，选④．（2）如图，当时，∵AB=AC，P点是均分点，∴BD=DC=1，．∴在中，，∴BD=DC=
DP=1，∴，∴．如图，当时，同理可求出，∴．综上，．（3）过C点作，交直线于点E，∵点P是关于顶点A的均分点，，∴，在中，，，，
，，.，，在中，．【点睛】本题考查新定义“均分点”，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．根据题意充分理解均分点的定义是解答本题
的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，，连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得，在中
利用勾股定理列出方程即可求解；（2）根据题意画出图形，若使的值最小，则A，M，N共线，且，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详
解】解：（1）连接AE，，∵，，∴，∴ABC是直角三角形，，∵DE垂直平分AC，∴，在中，，即，∴，解得；（2）∵DE垂直平分AC
，M是DF上一动点，∴，∴，若使的值最小，则A，M，N共线，且，如图，，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三
角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．20．画图见解析，5【分析】根据等腰三角形的定义作图
即可求解．【详解】解：如图，和是腰长为的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有、、、、共5种．【点睛】本题
考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．21．（1），；（2）①，②见解析；（3）．【分析】（1）由等腰直角三角形
的性质得到，根据题意可知，即，再利用证明≌，可得到，，从而算出的度数，进而得到线段与的位置关系；（2）①根据角度的运算得到，再利用
证得≌，得到，再根据，等量代换即可求出答案；②由①中≌，得到，，在根据等腰直角三角形的性质即可得出的度数，进而证得，根据勾股定理得
到，，等量代换后得到，又因为，，代入即可得出答案；（3）过点作，并且，连接，，得到是等腰直角三角形，由（2）得≌，得到，在中，通过
勾股定理求出的长度，在中又由勾股定理得：，再根据，代入数据即可求出的长度．【详解】（1）在中，，，，，，即，在和中，≌，，，，．故
答案为：，．（2）①，，，即，在和中，≌，，，．故答案为：．②证明：由①得：≌，，，和都是等腰直角三角形，，，?在和中，由勾股定理
得：，，，，，，即．（3）过点作，并且，连接，，如图，是等腰直角三角形，，，，由（2）中②可知，≌，，，，，在中，由勾股定理得：，
，在中，由勾股定理得：，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等．22．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据三线合一得BAD=∠CAD，由AE=DE，得∠CAD=∠EDA，从而∠BAD=∠EDA，所以DE∥AB；（2）由AB=AC，∠B=60°，DE∥AB，得∠C=60°，∠EDC=∠B=60°，从而△DEC为等边三角形， DE=DC=EC=AE=2，最后在Rt△ADC中，由勾股定理求AD．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AE=DE，∴∠CAD=∠EDA，∴∠BAD=∠EDA，∴DE∥AB（2）∵AB=AC，∠B=60°，∴∠C=60°∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE=DC=EC=AE=2在Rt△ADC中，AD==．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，灵活运用是解题的关键．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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