2021北京初二（上）期中数学汇编实数和二次根式一、单选题1．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（?
）A．B．C．D．2．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）下列说法正确的是（?）A．都是无理数B．无理数包括正无理数、零、
负无理数C．数轴上的点表示的数是有理数D．绝对值最小的数是03．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）下列等式一定成立的是（
?）A．B．C．D．4．（2021·北京昌平·八年级期中）下列各数：﹣，，0.31，，0.2020020002…（每两个2之间依次
多一个0），其中无理数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2021·北京昌平·八年级期中）下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．6．（2021·北京·大峪中学八年级期中）下列实数是无理数的是（?）A．B．C．D．二、多选题7．（2021·北京
·大峪中学八年级期中）下列计算结果正确的是（ ）A．B．C．D．8．（2021·北京·大峪中学八年级期中）下列二次根式中，最简二
次根式是（ ）A．B．C．D．三、填空题9．（2021·北京昌平·八年级期中）如图，实数，在数轴上的位置，化简__．10．（20
21·北京市平谷区峪口中学八年级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简______．11．（2021·北京市平谷区峪口中
学八年级期中）计算：______．12．（2021·北京·大峪中学八年级期中）如果二次根式有意义，则x___．13．（2021·北
京昌平·八年级期中）若|x﹣5|+2＝0，则x﹣y的值是 ___．14．（2021·北京昌平·八年级期中）已知m是整数，且m＜＜m
+1，那么m的值等于 ___．15．（2021·北京昌平·八年级期中）化简：＝___．16．（2021·北京市第十二中学八年级期中
）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则____________．17．（2021·北京·大
峪中学八年级期中）已知|x+2|+＝0，则＝_____．四、解答题18．（2021·北京昌平·八年级期中）阅读下列材料，然后回答问
题在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；还可以用以下方法分母有理化：．(1)请用不同的方法分
母有理化：；(2)化简：．19．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）20．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）．2
1．（2021·北京·中关村中学八年级期中）阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数
对”．即：如果，那么α与b就叫做“差商等数对”，记为．例如：；；则称数对，是“差商等数对”．根据上述材料，解决下列问题：（1）下列
数对中，“差商等数对”是_______________（填序号）；①②③（2）如果是“差商等数对”，请求出的值；（3）在（2）的条
件下，先化简再求值：．22．（2021·北京·大峪中学八年级期中）计算：．23．（2021·北京·大峪中学八年级期中）计算：．24
．（2021·北京·大峪中学八年级期中）计算：．25．（2021·北京·大峪中学八年级期中）计算：．26．（2021·北京昌平·八
年级期中）计算：．27．（2021·北京昌平·八年级期中）计算：．28．（2021·北京昌平·八年级期中）计算：．29．（2021
·北京昌平·八年级期中）阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．（3）的值．30．（2021·北京市平谷区峪
口中学八年级期中）已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．（1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关
于1的“平衡数”；（2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由．参考答案1．D【详解】解：A. ，被开方数含有分母，不是最
简二次根式，不符合题意；B. ，被开方数含有开的尽的因数4，不是最简二次根式，不符合题意；C. ，被开方数还有开的尽的因式，不是最
简二次根式，不符合题意；D. ，是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了最简二次根式．最简二次根式的概念：（1）
被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式2．D【分析】依据实数的相关定义判断即可．【详解】解：A. 是无理数，
都是有理数，故该选项说法错误，不符合题意；B. 无理数包括正无理数、负无理数，0属于有理数，故该选项说法错误，不符合题意；C. 数
轴上的点表示的数是实数，故该选项说法错误，不符合题意；D. 绝对值最小的数是0，故该选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题
考查实数的相关定义．需注意B选项中0属于有理数，易混淆；C选项中数轴上的点表示的数是实数．3．C【分析】根据二次根式的加减法对A进
行判断；根据绝对值的性质对B进行判断；根据零指数幂的性质对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．【详解】解：A、和不是同类二次
根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、，原计算错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的性质，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．4．B【分析】根据无理数、有理数的定义即
可判断．【详解】解：、0.31是有理数，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0）是无理数，∴无理数有3个，故选B
．【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽才是无理数，无限不循环小数是无理数，如：，0.808008000
8…（每两个8之间依次多一个0）等形式．5．B【分析】根据平方根与算术平方根的性质计算即可；【详解】，故A、C错误；，故B正确，D
错误；故选B．【点睛】本题主要考查了平方根与算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．6．B【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理
数的定义逐一判断即可．【详解】解：是分数，是有理数，所以A错误，是不尽方根，是无理数，所以B正确，是整数，是有理数，所以C错误，是
整数，是有理数，所以D正确，故选B．【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．7．BD【分析】根据二次根式的
加减乘除运算法则，逐项分析判断.【详解】A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；B、，正确；C、，故错误；D、，正确；故选：BD.
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，属于基础题型.8．CD【分析】根据最简二次根式的定义：1、被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，
不符合题意；B、不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：CD．【点睛】本题
考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．9．【分析】直接利用数轴得出a<0，，a-b<0，进而化简求出答案．【详
解】解：由数轴可得：，，则，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．10．【分析
】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再运用二次根式的性质化简即可．【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，∴．故答案为：．【
点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，是基础知识比较简单．11．12【分析】根据二次根式的性质计算即可求解．【详解】
解：，故答案为：12．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．12．【分析】根据被开方数是非负数，可得答
案．【详解】解：由题意，得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．1
3．【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入代数式进行计算即可．【详解】解：由题意得：，解得：,，故答案为：．【点睛】本题考查
了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．14．【分析】直接利用的取值范围进而分析得出答案．【详解】解：，，，故答案为
：．【点睛】本题考查了无理数的估算，正确得出的取值范围是解本题的关键．15．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：有
意义，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是正确化简得前提．16．-2【分析】按规定的运算可得
关于x的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：∵=ad-bc，又∵，∴(x-2)2-(x+3)(x+1)=17，即：-8x=16，
解得：x=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义
的运算规则是解题的关键．17．-2【分析】根据绝对值与平方根的非负性列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解
：根据题意得，x+2＝0，y﹣6＝0，解得x＝﹣2，y＝6，所以x﹣y＝﹣2﹣6＝﹣8所以．故答案为：﹣2．【点睛】本题结合绝对值
与平方根的非负性考查立方根运算，熟练掌握相关知识是解答关键.18．(1)，见解析(2)1【分析】（1）法一：原式；法二：，进行求解
即可；（2）：原式化简求解即可．（1）解：法一：；法二：；（2）解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运
算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．19．【分析】先计算除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可
．【详解】解：原式====．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．一般乘除运算先计算再化简二次根式，加减运算先化简二次根式，再看能否
合并．20．【分析】先利用完全平方公式去除括号，再化简二次根式，最后进一步计算即可．【详解】解：原式===．【点睛】本题考查二次根
式的混合运算．本题中还用到完全平方公式，正确利用是解题关键．21．（1）①③（2）4（3）-12【分析】（1）利用题中的新定义判断
即可；（2）根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）根据整式的混合运算法则化简，再代入a的值即可求解．【详解】
（1）①∵?8.1?（?9）＝?8.1＋9＝0.9，?8.1÷（?9）＝0.9，∴?8.1?（?9）＝?8.1÷（?9），∴（?8
.1，?9）是“差商等数对”；②∵?＝0，÷＝1，∴?≠÷，∴不是“差商等数对”；③∵?（?1）＝，÷(?1)＝， ∴?（?1）=
÷(?1)，∴是“差商等数对”；故答案为：①③；（2）由题意得：a?2＝，解得a＝4；（3）====代入a=4，原式=-12．【点
睛】此题考查了实数与整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．22．【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可．【详解】解：原
式＝＝＝＝．【点睛】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．【分析】根据平方差公式以及完全平方公式，结合
二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式＝＝＝．【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握
乘法公式以及二次根式混合运算法则是解本题的关键．24．．【分析】依次进行化简二次根式、开立方、及零指数幂的运算，最后合并同类二次根
式即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查二次根式的化简、同类二次根式的合并、零指数幂的运算，掌握二次根式的性质以及零指数幂的运算
法则是解题关键．25．【分析】先将各式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：原式＝＝．【点睛】本题考查了二次根
式的加减，熟练运用运算法则是解本题的关键．26．【分析】根据乘法公式和二次根式的运算性质计算即可；【详解】原式；【点睛】本题主要考
查了二次根式的运算，结合乘法公式计算是解题的关键．27．【分析】分别对各项计算后，相加即可．【详解】解：原式==【点睛】本题考查二
次根式的混合运算，立方根．能分别正确计算是解题关键．28．【分析】根据二次根式的性质计算即可；【详解】原式；【点睛】本题主要考查了
二次根式的加减运算，准确计算是解题的关键．29．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用分母有理化求值；（2）把分子分母有乘以，然
后根据平方差公式计算；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）原式．【点睛】本题考查了分母有理化，二次
根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30．（1），；（2）不是，理由详见解析.【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”；（2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断.【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1的“平衡数”，，所以与是关于1的“平衡数”故依次填：，；（2）不是.∵，∴.∴.∴.∴===3.∴与不是关于1的“平衡数”.【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并. 1 / 1 |
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