2021北京初二（下）期中数学汇编菱形的判定一、单选题1．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论
中不正确的是（?????）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝B
D时，它是正方形2．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）下列说法不正确的是（ ）A．矩形的对角线相等B．直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．菱形的对角线互相垂直3．（2021·北京市第四十三中学八年
级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（?????）A．
AB＝CDB．OA＝OC，OB＝ODC．AC=BDD．，AD＝BC4．（2021·北京市第十五中学南口学校八年级期中）如图，将三角
尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（ ）A．AD＝ABB．四边形ABCD是平行四边形C．AD
＝2ACD．四边形ABCD是菱形5．（2021·北京市第十七中学八年级期中）下列关于的叙述，正确的是（???????）A．若，则是
矩形B．若，则是正方形C．若，则是菱形D．若，则是正方形6．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）下列命题中正确的是（ ）A．
对角线相等的四边形是矩形B．对角线互 相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边
平行的四边形是平行四边形二、填空题7．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：
过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：(1)在直线l上任取一点
B；(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；(4)作直线A
D．直线AD即为所求．小云作图的依据是_______________________________．8．（2021·北京·北大附
中八年级期中）如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别
交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩
形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．三、解答题9．（2021·北京市
昌平区第二中学八年级期中）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：求作：菱形ABCD作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线
l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、D
A，所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的
证明：证明：∵OA＝OC，OB＝OD，……∴四边形ABCD为菱形 （填推理的依据）．10．（2021·北京师大附中八年级期中）如图
，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连
接EF并延长，交AD的延长线于点G，若CEG＝30°，AE＝4，求EG的长．11．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）如图，
在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF．(1)求证：四
边形BFDE是菱形；(2)若AB=8，AD=4，求BF的长．12．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）尺规作图并回答问题
：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．请回答：在你的作法中，
判定四边形AECF是菱形的依据是 ．13．（2021·北京市文汇中学八年级期中）在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC
于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的
面积．14．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的
中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面
积．15．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A
，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的
面积．16．（2021·北京市第十五中学南口学校八年级期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD
，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面
积．17．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行
四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形
为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：，，
．在中，，即．四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据），四边形为菱形．（ ）（填推理的依据）18．（2021·北京市第十七中学八
年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．（1）求证：四边形OD
EC为菱形；（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．19．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在□ABCD中，点E在BC边上
，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EFAB．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，
请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少．参考答案1．D【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；C. 当∠ABC＝
90°时，它是矩形，正确，不符合题意；D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形、矩
形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．2．C【分析】利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性
质依次判断可求解．【详解】解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；对角
线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正
方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．3．B【分析】由题知AC⊥BD，所以只
要所给选项能使四边形ABCD为平行四边形即可．【详解】A、只有AB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；B、据对角线互相平分的
四边形是平行四边形，由OA＝OC，OB＝OD可判定四边形ABCD为平行四边形，再由AC⊥BD可得四边形ABCD为菱形；C、只有AC
=BD不能判定四边形ABCD为平行四边形；D、，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形；故只有B选项的条件可判定四边形ABC
D为菱形．故选：B．【点睛】此题考查菱形的判定，菱形的基本判定方法有三个：一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；二、对角线互相垂直的
平行四边形是菱形；三、四条边相等的四边形是菱形 ．其中第一、二两种判定方法都需要先判定四边形是平行四边形．4．B【分析】由平移的性
质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案．【详解】∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，∴AD＝BC，AD
∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴选项B正确．∵在Rt△ABC中，斜边AB大于直角边BC，∴AB>AD，∴四边形ABCD不是
菱形，即选项A、D均错误．∵∠ABC=30゜，∠ACB=90゜，∴AB=2AC，由勾股定理得：，∴，故选项C错误． 故选：B．【点
睛】本题考查了菱形的判定、平移的性质、平行四边形的判定与性质、30度角的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质与判定是解
决本题的关键．5．A【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项、、错误，正确；即可得出结论．【详解】解：中
，，四边形是矩形，选项符合题意；中，，四边形是菱形，不一定是正方形，选项不符合题意；中，，四边形是矩形，不一定是菱形，选项不符合题
意；中，，四边形是菱形，选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方
法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．6．C【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且
平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C7．四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【分析】利用作法可判定四边形ABCD
为菱形，然后根据菱形的性质得到AD与l平行．【详解】由作法得：BA＝BC＝AD＝CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AD∥BC．故
答案为：四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般
是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作．8．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH
是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF
，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD
∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线
分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CG
O（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点
E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；当EF为∠AOB平分线时，由EF⊥
GH∴∠HOD＝∠EOB＝45°∵∠EBO＝∠HDO，OB=OD∴△BEO≌△DHO（ASA）；∴EO⊥HO，EO=HO∴EF，H
G互相垂直平分且相等∴四边形EGFH是正方形，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判
定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．9．（1）见解析；（2）对
角线互相垂直的平行四边形为菱形【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线
垂直可判断四边形ABCD为菱形．【详解】（1）如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为
平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．故答案为:对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目
的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．10．（1）见解析；
（2）8．【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，从而得到AB=AD，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）利
用平行四边形的性质得到∠G=30°，∠EAG=90°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是
平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴≌，∴AB= AD，∴四边形A
BCD是菱形；（2）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，∵∠CEG=30°，A
E⊥BC，∴∠G=30°，∠EAG=90°，又∵AE=4，∴EG=2AE=8．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等
三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．11．(1)见解析；(2)3【分析】（1）易证四边形B
FDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，A
E＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．(1)证明：∵DEBC，DFAB，∴四边形BFD
E是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DEBC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴
平行四边形BFDE是菱形；(2)解：∵EDBF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在
RtADE中，AE2＝DE2+AD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，∴BF＝3．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角
平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键．12．证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱
形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，
四边形AECF即为所求作．理由：四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分线段AC，∴OA=O
C，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EA=EC或AC⊥EF
，∴四边形AECF是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行
四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据推
出：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股
定理得出方程，求出即可．【详解】解：（1）证明：是的垂直平分线，，，四边形是矩形，∴AD∥BC，，在和中，，； 又，四边形是平行四
边形，又平行四边形是菱形；（2）设，是的垂直平分线，，，在中，由勾股定理得：，，解得．，菱形的周长为20．【点睛】本题考查了勾股定
理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．14．（1）见解
析；（2）S菱形ADCF＝96．【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形A
DCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形
的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC
，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∵D是BC的中点，∴AF＝DB＝
DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设A
F到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC
＝×12×16＝96．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础
知识．15．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形
的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．【
详解】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中
线，∴CD=AD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：连接DE．∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°∴AB=4，AC
=2，∵四边形AECD是菱形，∴EC=AD=DB，?又∵EC∥DB∴四边形ECBD是平行四边形，∴ED=CB=2，∴S菱形AECD
=×AC×ED=2．【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确利用菱形的性质是解题关键．16．（1）见解析?
??????（2）【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的判定定理得结论；
（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE，最后根据菱形的面积公式得结
果．【详解】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC，∵BC＝2AD，∴BC＝2EC．∴E为
BC的中点∵∠BAC＝90°，∴BC＝2AE∴AE＝EC，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形；（2）解：连接DE
，∵AB＝AE＝2，AE＝BE，∴AB＝AE＝BE＝2，∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°．∵AD＝BE，AD∥BC，∴四边形
ABED为平行四边形．∴DE＝AB＝2，∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝4．∴．∴SAECD＝．【点睛】本题主
要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，关键是熟悉这些性质和定理．17．（1）见解析；（2）AF=BE
，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判
定，菱形的判定解决问题即可．【详解】（1）解：如图所示，菱形ABEF即为所求．（2）证明：∵AF=AB，BE=AB，∴AF=BE，
在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形． （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，）（填推理的依
据）∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：AF=BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形，邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．18．(1)详见解析；(2) 【分析】（1）利用矩形性质可得OD=OC，再借助对称性可得OD=DE=EC=CO，从而证明了四边形ODEC为菱形；（2）证明四边形OBCE为平行四边形，即可得到OE=BC=2．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OC=AC，OB=OD=BD∴OD＝OC∵点O关于直线CD的对称点为E∴OD＝ED，OC＝EC∴OD＝DE＝EC＝CO∴四边形ODEC为菱形； （2）连接OE．如图，由（1）知四边形ODEC为菱形∴CEOD且CE＝OD又∵OB=OD∴CEBO且CE＝BO∴四边形OBCE为平行四边形∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知特殊四边形的判定和性质是解题的关键．19．(1)见解析(2)点与点重合时，最小，最小值为【分析】（1）根据对边平行可得四边形是平行四边形，根据平行线、角平分线的定义以及等角对等边可得，进而证明四边形是菱形；（2）根据菱形的对称性可知与关于对称，根据点P在线段AE上，可得，代入数值即可求解．(1)四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 AE平分∠BAD， 四边形是菱形(2)四边形是菱形 与关于对称， ，当点与点重合时，最小，最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题等，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 1 / 17 |
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