2021北京初二（下）期中数学汇编：四边形章节综合1

2021北京初二（下）期中数学汇编四边形章节综合1一、单选题1．（2021·北京市第十七中学八年级期中）在中，若，则的度数是（???????
）A．B．C．D．2．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是
AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（???????）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的
长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知，如图长方形A
BCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（　　）A．6B．7.5C．12D．1
54．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC＝8，OB＝
5，则OM的长为（　　）A．2B．2.5C．3D．45．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）菱形ABCD的边长为5
，一条对角线长为6，则菱形面积为（　　）A．20B．24C．30D．486．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）平
行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　）A．120°B．60°C．30°D．15°7．（2021·北京·和平街第
一中学八年级期中）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长
； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变化的是(?????
??)A．①②③B．①②⑤C．①③④D．①④⑤8．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（???????）A．2B．3C．4D．6二、填空题9．（2021·北京市第
十七中学八年级期中）三角形的各边长分别是8、10、12、则连接各边中点所得的三角形的周长是___．10．（2021·北京广渠门中学
教育集团八年级期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离
为___km．11．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的
中点，已知DF＝3，则AE＝___．12．（2021·北京师范大学昌平附属学校八年级期中）如图，在矩形中，，，将矩形翻折，使得点落
在边上的点处，折痕交于点，则______13．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC
⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．14．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC
上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为______；15．
（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，在中，，D为外一点，使，E为BD的中点若，则__________．16．（
2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，点 A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC
，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中
点四边形MNPQ是菱形③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是___．三、解
答题17．（2021·北京·101中学八年级期中）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为
平行四边形．18．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，
且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．19．（2021·
北京师范大学昌平附属学校八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P、Q是对角线BD上的两个点，请在题目中添加合适的条件，
就可以证明：AP=CQ．(1)你添加的条件是 (2)请你根据题目中的条件和你添加的条件证明20．（2021·北京市昌平区第二中学八
年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形 EBFD 是平行四边形．2
1．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知：如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：．22．
（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与
x轴，y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐
标为（b，0），(1)若b=2，则R（，-4），S（3，4），T（5，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ；(2)若点A
，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；(3)点C的坐标为（4，4）．若在线段AC上存在点M，使点M，B的“相关菱形”为正方形，请直
接写出b的取值范围．23．（2021·北京·101中学八年级期中）在△ABC中，CD⊥AB于点D．(1)如图1，当点D是线段AB中
点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．①按要求补全图1；②若AB＝2，AC＝，求EB的长．(2)如图2，当点D不是线段A
B的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE
的数量关系，并说明理由．24．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点
A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接CF并延长交DE延长线于点K．(1)根据题意，补全图形；(2)求∠CKD
的度数；(3)请用等式表示线段AB、KF、CK之间的数量关系，并说明理由．25．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）
如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．(1)求证：BD=EC．(2)若∠E=57°，求
∠BAO的大小．26．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四
边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：?AGHD，使∠GAD=30°．作法：如图，①分别以A，B为圆心，以大于AB长为半
径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心
，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：(1)
∠BAG的大小为　；(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是　；(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面
积S2的数量关系为　．27．（2021·北京市师达中学八年级期中）已知四边形ABCD为凸四边形，点M、N、P、Q分别为AB、BC、
CD、DA上的点（不与端点重合），下列说法正确的是______（填序号）①对于任意凸四边形ABCD，一定存在无数个四边形MNPO是
平行四边形；②如果四边形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是矩形；③如果四边形ABCD为任意矩形，那么一定
存在一个四边形为正方形；④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．28．（2021·北京师范大学附属实验中学
分校八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那
么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0，3)，B(2，3)．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小
值是 ，最大值是 ；②在P1(，0)，P2(1，4)，P3(﹣3，0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是 ；(2)如图2
，已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为(2，0)．若点E(x，2)在第一象限，且点D与点E是正方
形的一对平衡点，求x的取值范围；(3)已知点F(﹣2，0)，G(0，2)，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为a（a≤2）．若线
段FG上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出a的取值范围．29．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图①，在正方形A
BCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N．（1）求证：（
2）如图②，当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD、MN与BD交于点G，连接BF．求证：．参考答案1．B【分析】
利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解
题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考基础题．2．C【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接
AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为的中位线，所以，为定值．所以线段的长不改变．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中
位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．3．B【分析】根据翻折的性质可得，BE＝DE，设AE＝x，则ED＝B
E＝9?x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32＋x2＝（9?x）2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，由
矩形的性质可得∠FED＝∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE＝BF，即可得出答案．【详解】解：设AE＝x，则ED＝BE＝9
?x，根据勾股定理可得，32＋x2＝（9?x）2，解得：x＝4，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，∵ADBC，∴∠FED＝∠BF
E，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，∴S△BFE＝×5×3＝7.5．故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质
，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．4．C【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求
得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中
点，OB＝5，∴AC＝2OB＝10，∴CD＝AB＝，∵M是AD的中点，∴OM＝CD＝3．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、直
角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．5．B【分析】根据菱形的性
质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【详解】解：如图，当BD＝6时，∵四边形AB
CD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∵AB＝5，∴AO＝=4，∴AC＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选
：C．【点睛】本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．6．A【分析】根
据平行四边形的性质得出BCAD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCAD，∴∠A＋∠B＝180°，把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴∠C＝120°故选：A．【点睛】本题
主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键．7．C【分析】根据三角形中
位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【详解】解：①∵
点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周
长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，MN∥
AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN
，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三
角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．C【分析】由矩形的性质得OA＝OB＝OC＝O
D，继而证明△ABC为等边三角形，解得∠ACB＝30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半解
题．【详解】解：∵矩形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠
BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝4．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质、含30°角的直角三角形的
性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．15【分析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原
三角形各边长的一半，即可求其周长．【详解】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴
△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=×（8+10+12）cm=15cm．故答案为15．【点睛】本题考查了三角形
的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．10．1
.2【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM解答即可．【详解】解：∵M是公路AB的中点，∴AM=BM，
∵AC⊥BC，∴CM=AM=BM，∵AM的长为1.2km，∴M，C两点间的距离为1.2km．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．11．3【分析】根据已知条件可得是的中位线，进而求得，根据是的中点
，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC
，AC的中点，∴ 故答案为：【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等内容，理解和掌握
相关概念是解题的关键．12．【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则E
F=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌
△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-D
E=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，
x=，∴FC=．故此答案为．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．13．
6【分析】由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，
求得答案．【详解】解：∵AC⊥BC，E为AB中点，∴AB=2CE=2×3=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6．故答
案为：6．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．14．【分析】作PM⊥AD于M，交BC
于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFP
M，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，,∴，，∴S阴=9+9=18，故答案为：18．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积
等知识，解题的关键是证明．15．（30度）【分析】延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．【详
解】解：延长BC、AD交于F，在△ABC和△AFC中，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴BC=FC，∴C为BF的中点，∵E为BD的
中点，∴CE为△BDF的中位线，∴CE//AF，∴∠ACE=∠CAF，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴
∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平
行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．16．①②③【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形
的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．【详解】解：∵一般中
点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正
方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为
：①②③【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．17．见解析【分析】由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE=AD，BF=BC，则DE=B
F，DE∥BF，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E、F分别为平行四边形AB
CD的边AD、BC的中点，∴DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形EBFD为平行四边形．【点睛】本题考查了平行
四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．18．(1)见解析(2)120【分析】（1）根据平行四边形的性质可
得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；（2）连接AC，交BD于点H，
利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，，∴，在和中，，∴
，∴，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，在中，，∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定
理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．19．(1)BP=DQ；(2)见解析【分析】（1）添加条件BP=DQ；（2）由平行
四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，得出∠ABP=∠CDQ，由SAS证明△ABP≌△CDQ，即可得出结论．(1)解：添加条件是
：BP=DQ；故答案为：BP=DQ；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABP=∠CDQ，在△
ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴AP=CQ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关
键．20．见解析【分析】连接BD交AC于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形EBFD是平行四边形．【详解】解：
证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF
，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．21．见
解析【分析】根据平行四边形的性质证得，推出∠DAC=∠ACB，根据SAS证明△ADF≌△CBE，推出∠AFD=∠BEC，即可得到结
论．【详解】证明：在中，，∴∠DAC=∠ACB，∵AF＝CE．∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD=∠BEC，∴．【点睛】此
题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．22．(1)R，S(2)或5(3)≤b≤或5≤
b≤8【分析】（1）由A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、S（3，4），可判断点B在AR的垂直平分线上，也在AS的垂直平分
线上，由“相关菱形”的定义，可判断点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点；（2）作点A关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点N
，由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BN=AN=4，然后按点B在AE左侧及点B在AE右侧，分点求出b的值；（3）分别作点A、
C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′、CC′、AF分别交x轴于点G、H、Q，当点Q与点G重合时，b的值最小；当点Q与点
H重合时，b的值最大；由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BQ=MQ=4，按点B在AF左侧及点B在AF右侧分别列出不等式组求出
b的取值范围．(1)解：当b=2时，则B（2，0）. 如图1、图2，连接AR、AS，∵A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、
T（3，4），∴点B在AR的垂直平分线上，点B也在AS的垂直平分线上，∴点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点．故答案为：R，
S．(2)解：过点A作AH垂直x轴于H点．∵ 点A，B的“相关菱形”为正方形，∴ △ABH为等腰直角三角形．∵ A（1，4），∴
BH=AH=4． ∴b =或5．(3)解：如图4，作分别作点A、C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′交x轴于点G，连接
CC′交x轴于点H，则G（1，0）、H（4，0）；连接MF交x轴于点Q，∵点M、B的“相关菱形”为正方形，∴BQ=MQ=4．当点B
在MF左侧时，则Q（b+4，0），由题意，得1≤b+4≤4，解得-3≤b≤0；当点B在MF右侧时，则Q（b-4，0），由题意，得1
≤b-4≤4，解得5≤b≤8．综上所述，b的取值范围是-3≤b≤0或5≤b≤8．≤b≤或5≤b≤8．【点睛】此题考查菱形了的判定与
性质、正方形的判定与性质、一元一次不等式组的应用、图形与坐标等知识，解题的关键是正确地画出图形并且能综合运用有关知识和方法；涉及求
点的坐标及动点的坐标的取值范围，要分类讨论，求出所有符合条件的值和取值范围，以免丢解．23．(1)①见解析；②；(2)4CD2+A
B2＝AE2，见解析【分析】（1）①按要求画图即可；②根据线段垂直平分线，得出AC＝CB，根据CE＝CB，得出CD是△ABE的中位
线，根据AE＝2AC＝，利用勾股定理BE＝；（2）如图2所示：先证四边形ADCH是矩形，再证△ACE≌△TCB（SAS），根据勾股
定理AT2+AB2＝BT2，得出（2CD）2+AB2＝AE2即可．(1)①延长AC，在AC延长线上，截取CE=CB，补全图形如图1
，②解：∵CD⊥AB，D为AB的中点，∴AC＝CB，∵CE＝CB，∴AC＝CE，∴CD是△ABE的中位线，∴CD∥BE，∴AB⊥B
E，∴∠ABE＝90°，∵AB＝，AC＝，∴AE＝2AC＝，∴BE＝；(2)如图2所示：线段AB，CD，AE的数量关系为：4CD2
+AB2＝AE2．证明：如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．∵CA＝CT
，CH⊥AT，∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，∴∠ACH＝∠CAB，∴CH∥AB，∴
∠CHA＝∠HAB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCH是矩形，∴CD＝AH＝HT，∴AT＝2AH＝2CD，
∵∠ACT＝∠ECB，∴∠ACE＝∠TCB，∵CA＝CT，CE＝CB，∴△ACE≌△TCB（SAS），∴AE＝BT，∵AT2+AB
2＝BT2，∴（2CD）2+AB2＝AE2，即4CD2+AB2＝AE2．【点睛】本题考查画图，垂直平分线的性质，三角形的中位线，勾
股定理，矩形的判定与性质，掌握垂直平分线的性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形判定与性质是解题关键．24．(1)见解析(2)45°
(3)KF2+CK2=2AB2，见解析【分析】（1）按题意要求出画出图形即可；（2）过点D作DH⊥CK于点H，由轴对称的性质得出D
A=DF，∠ADE=∠FDE，由正方形的性质得出∠ADC=90°，AD=DC，证出∠EDH=45°，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）连接AC，由轴对称的性质得出AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，由正方形的性质得出∠B=90°，∠BAC=45°，由等腰
直角三角形的性质及勾股定理可得出结论．(1)如图，(2)过点D作DH⊥CK于点H，∵点A关于DE的对称点为点F，∴DA=DF，∠A
DE=∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC，∴DF=DC，∵DH⊥CK，∴∠FDH=∠CDH，∠DH
F=90°，∴∠ADE+∠FDE+∠FDH+∠CDH=90°，∴∠FDE+∠FDH=45°，即∠EDH=45°，∴∠CKD=90°
-∠EDH=45°；(3)线段AB、KF、CK之间的数量关系为：KF2+CK2=2AB2．证明：连接AC，∵点A关于DE的对称点为
点F，∴AK=KF，∠AKE=∠CKD=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，在Rt△ABC中，∠B
=90°，∴AC=AB，在Rt△AKC中，∠AKC=90°，∴AK2+CK2=AC2，∴KF2+CK2=2AB2．【点睛】本题考查
了正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．(1)见
解析(2)33°【分析】（1）由菱形的性质可得AB=CD=BE，AB//CD，可证四边形BECD是平行四边形，可得BD=EC；（2
）由平行四边形的性质可得BD//CE，可得∠ABO=∠E=57°，菱形的性质可求∠BAO的大小．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形
，∴AB=CD，AB//CD又∵BE=AB，∴BE=CD，BE//CD，∴四边形BECD是平行四边形∴BD=EC(2)∵四边形BE
CD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=57°又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°∴∠BAO+∠
ABO=90°∴∠BAO=90°-∠ABO=33°【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的
关键．26．(1)60°(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)S2=2S1【分析】（1）连接BG，由作图知，EF是线段
AB的垂直平分线，得到AG=BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，推出GH∥AD
，得到四边形AGHD是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．(1)连接BG，由作图知，
EF是线段AB的垂直平分线，∴AG=BG，∵AB=AG，∴AB=AG=BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG=60°；故答案为：
60°；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵EF⊥AB，∴GH//AD，∵GH=AD，∴四边形AGHD是平行四边形
，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(3)设EF与AB交于M，∵S2=AD?AB，S1=HG?AM=AD?AB=AD
?AB，∴S2=2S1，故答案为：S2=2S1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的
识别图形是解题的关键．27．④【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，逐一判断各个选项，即可．【详解】解：①对于任
意凸四边形ABCD，当点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA上的中点时，四边形MNPO是平行四边形，故原说法错误；②如果四边
形ABCD为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，故原说法错误；③如果四边形ABCD为任意矩形，不一定存在
一个四边形为正方形，故原说法错误；④如果四边形ABCD为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形，原说法正确．故答案是：④.【点睛
】本题主要考查四边形综合，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，是解题的关键．28．(1)3，，P1；(2)0＜x≤
4；(3)6?8≤a≤2．【分析】（1）①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理即可得出结果；②过P1作P1N⊥A
B于N，可得出P1N＝OA＝3，根据平衡点的定义，即可得出点P1与点O是线段AB的一对平衡点；（2）如图2，可得E1B＝DB，E2
B＝D1D，由平衡点的定义可求出x的范围；（3）如图2，正方形ABCD边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD
的交点是O，根据平衡点的定义，可得2?≤d（F）≤2＋，2?a≤d（G）≤＋a，即可求出a的范围．(1)解：①由题意知：OA＝3，
OB＝，则d的最小值是3，最大值是；②如图1，过P1作P1N⊥AB于N，∵P1N＝OA＝3，∴根据平衡点的定义，点P1与点O是线段
AB的一对平衡点；P2、P3与点O不是线段AB的一对平衡点故答案为：3，，P1；(2)如图2中，E1B＝DB，E2B＝D1D，且M
，N均在正方形上，符合平衡点的定义，∴0＜x≤4；(3)如图2，正方形ABCD1边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，则2?≤d（F）≤2＋，2?a≤d（G）≤＋a，∴2?≤a≤＋a，∴a≥6?8，∴6?8≤a≤2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．29．（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）作辅助线，构建平行四边形PMND，再证明△ABE≌△DAP，即可得出结论；（2）连接AG、EG、CG，构建全等三角形和直角三角形，证明AG＝EG＝CG，再根据四边形的内角和定理得∠AGE＝90°，在Rt△ABE 和Rt△AGE中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF＝AE，FG＝AE，则BF＝FG．【详解】证明：（1）如图，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD＝∠AMN，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，AB∥DC，∠DAB＝∠B＝90°，∴四边形PMND是平行四边形且PD＝MN，∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∵MN⊥AE于F，∴∠BAE＋∠AMN＝90°，∴∠BEA＝∠AMN＝∠APD，又∵AB＝AD，∠B＝∠DAP＝90°，∴△ABE≌△DAP（AAS），∴AE＝PD＝MN．（2）如图，连接AG、EG、CG，由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AG＝EG，∴EG＝CG，∠GEC＝∠GCE，∴∠GAB＝∠GEC，由图可知∠GEB＋∠GEC＝180°，∴∠GEB＋∠GAB＝180°，又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，∴BF＝AE，FG＝AE，∴BF＝FG．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等． 1 / 17