2021北京东城初二（下）期末数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（
3分）函数中自变量的取值范围是 A．B．C．D．2．（3分）如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半
轴于点，则点所表示的数为 A．B．C．D．3．（3分）为筹备学校元旦联欢晚会，在准备工作中，班长先对全班同学喜爱的水果做了民意调查
，再决定最终买哪种水果．下面的统计量中，他最关注的是 A．众数B．平均数C．中位数D．方差4．（3分）下列各组数中，能作为直角三角
形边长的是 A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，D．5，12，135．（3分）一次函数的图象经过点，，则以下判断正确的是 A．
B．C．D．无法确定6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为 A．B．C．D．7．（3分
）菱形和矩形都具有的性质是 A．对角线互相垂直B．对角线长度相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分8．（3分）甲、乙、丙、丁
四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选 甲乙丙丁平均数8
0858580方差42455459A．甲B．乙C．丙D．丁9．（3分）如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的
长为 A．1B．2C．3D．410．（3分）若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是 A．B．C．D．二、填空题（本大题共
8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式 ．12．（2分）在中，，则 ．
13．（2分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如表所示：日走时误差 （单位：秒）0123只数4321则这10只手表的平均
日走时误差是 秒．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．15．（2分）如图，已
知是正方形对角线上一点，且，则度数是 度．16．（2分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵
爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为 ．17．（2分）如图，把矩形沿直线向
上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为 ．18．（2分）如图，菱形的边长为4，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值
是 ．三、解答题（第19题4分，第20-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共54分）解答应写出文字说明、演算
步骤或证明过程。19．（4分）已知：如图1，为锐角三角形，．求作：菱形．作法：如图2．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于
点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点，点和
点分别位于的两侧，连接，；则四边形就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形 （保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．
证明：由作法可知，平分．， ．，四边形是平行四边形 （填推理的依据）．，四边形是菱形 （填推理的依据）．20．（5分）如图，在中，
点、分别在、上，且，、相交于点，求证：．21．（5分）如表是一次函数，为常数，中与的两组对应值．063（1）求这个一次函数的表达式
；（2）求这个一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．22．（5分）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点
分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是
有理数，另外一边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．23．（5分）2021年7
月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理
数据，得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：，，，，，从左到右依次为第一组到第五组．信息
二：第三组的成绩 （单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79．根据信息解答下列问题：（1
）补全频数分布直方图 （直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；（3）若该
校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．24．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交
于点，直线与轴交于点．（1）求直线的函数解析式；（2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，求的值．25．（5
分）如图，在四边形中，，，，．过点作，垂足为点，延长至点，使，连接，．（1）求证：四边形是矩形；（2）求的长．26．（6分）某种机
器工作前先将空油箱加满 （加油过程），然后停止加油立即开始工作 （加工过程）．当停止工作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱
里的油量 （单位：升）与时间 （单位：分）之间的关系如图所示．（1）机器加油过程中每分钟加油量为 升，机器加工过程中每分钟耗油量
为 升；（2）求机器加工过程中关于的函数解析式；（3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出此时的值．27．（7分）如图，点是
正方形边上一点，．作点关于直线的对称点，连接．作射线交直线于点，连接．（1）依题意补全图形；（2）求的度数 （用含的式子表示）；（
3）① ；②用等式表示，的数量关系，并给出证明．28．（7分）在平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，
那么称点为图形的和谐点．已知点，．（1）在点，，中，直线的和谐点是 ；（2）点在直线上，如果点是直线的和谐点，求点的横坐标的取值
范围；（3）已知点，，如果直线上存在正方形的和谐点，，使得线段上的所有点 （含端点）都是正方形的和谐点，且，直接写出的取值范围．参
考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．【分析】根据分母不能为
零，可得答案．【解答】解：由题意，得，解得，故选：．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
2．【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【解答】解：如图，在中，，则．以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，，点表示
的实数是．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．3．【
分析】班长最值得关注的应该是哪种水果喜欢的人数最多，即众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是
统计调查数据的众数．故选：．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均
数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．4．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等
于最长边的平方即可．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构
成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三
角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．5．【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到函数图象的变化趋势
，从而可以解答本题．【解答】解：一次函数，随的增大而增大，、是一次函数图象上的两个点，，．故选：．【点评】本题考查一次函数图象上点
的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．6．【分析】根据直线平移值不变，只有发生改变
解答即可．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：，即．故选：．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原
则是解答此题的关键．7．【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解．【解答】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平
分，菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题
的关键．8．【分析】此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛．【解答】解：由于乙的平均
数较大且方差较小，故选乙．故选：．【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．9
．【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：点、点分别是，的中点，是的中位线，，，，在中，
，点是的中点，，，，故选：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的
一半是解题的关键．10．【分析】根据，可得当时，，分两种情况：当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【解答】
解：当时，，当时，，即：，当时，，即：，，当时，，函数图象从左向右逐渐上升，随的增大而增大，综上所述，选项符合题意．故选：．【点评
】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．【分
析】直接根据正比例函数的性质求解．【解答】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，可取1，此时正比例函数解析式为．故答案为．【点评】
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小．12．
【分析】由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，故答案为：．【点评】此题考查了平行
四边形的性质．此题比较简单，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．13．【分析】利用加权平均数的定义求解即可．【解答】解：这10只
手表的平均日走时误差是（秒．故答案为：1．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．14．【分析】不等式的
解集，在图象上即为一次函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围．【解答】解：如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点
，则关于的不等式的解集是．故答案是：．【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．【分析】
根据正方形的性质可得到又知，从而可求得的度数，从而就可求得的度数．【解答】解：是正方形，，，，度数是．【点评】此题主要考查了正方形
的对角线平分对角的性质，平分每一组对角．16．【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个
直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形的面积，进一步求出正方形的边长．【解答】解：，，．答：正方形的边长为10．故答案为：
10．【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．17．【分析】先根据
折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出以及的长．【解答】解：四边形是矩形，，，是
由折叠得到，，，，，设，则，，在中，，，解得：，则的长为：．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的
判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．18．【分析】连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，
则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值．【解答】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，菱形，与关于对称，，，，点是的
中点，，，，在中，，，，，在中，，，，故答案为．【点评】本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长
是解题的关键．三、解答题（第19题4分，第20-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共54分）解答应写出文字说明
、演算步骤或证明过程。19．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【解答】（1）解：如
图，四边形即为所求．（2）证明：由作法可知，平分．，，．，四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
．，四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．【点评
】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考
题型．20．【分析】方法1、连接、，由已知证出四边形是平行四边形，即可得出结论．方法2、先判断出，进而判断出即可．【解答】证明：方
法1，连接、，如图所示：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，．方法2，四边形是平行四边形，，，，又，，在和中，，，．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．21．【分析】（1）根据待定系数法求
得即可；（2）求得函数图象与轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以一次函数的表达式为：
；（2）令，则，即，与轴的交点为，与轴的交点为，这个一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为：．【点评】本题考查了待定系数法求一次
函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．【分析】（1）根据要求作出三边为3，4
，5的三角形即可（答案不唯一）．（2）根据要求作出三边为3，3，的三角形即可（答案不唯一）．（3）根据要求作出三边为，，5的三角形
即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，即为所求（答案不唯一）．（2）如图，即为所求（答案不唯一）．（3）如图，即为所求（答案
不唯一）．【点评】本题作图应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2
3．【分析】（1）计算出第2组组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（
3）样本估计总体，样本中成绩不低于80分的人数占，总数乘以即可求解．【解答】解：（1）第2组组的人数为：（人，补全频数分布直方图如
图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数
的平均数为（分，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）（人，答：估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数有720人．【点评】
本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．24
．【分析】（1）先求出点的坐标，然后根据待定系数法即可求解；（2）先求得的坐标，即可求得，根据题意，，且，解方程即可求得的值．【解
答】解：（1）将点代入得：，解得：，故点，设直线的表达式为：，将点的坐标代入得：，解得：，故直线的表达式为：；（2）在直线中，令，
则，，，点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，．，，，，，解得或．【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式、两直线
平行和相交的问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出、的坐标是解题的关键．25．【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的
性质得到，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过作于，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得
到．于是得到结论．【解答】（1）证明：，，在与中，，，，，，同理，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是矩形；（2）过作于，，在
与中，，，，，．．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得是解题的关键
．26．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；（2）根据函数图象中的数据，可
以得到机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）根据（2）中的函数解析式和（1）中的加油的速度，令函数值为，即可得
到相应的的值．【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：，机器工作的过程中每分钟耗油量为：，故答案为：9，1；（2）当时，
设关于的函数解析式为，则，解得，即机器工作时关于的函数解析式为；（3）当时，得，当时，得，即油箱中油量为油箱容积的一半时的值是5或
55．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．【分析】（1）过点作，并使平分，连接
，作射线交直线于点，连接即可；（2）根据点的对称可得，再根据是等腰三角形即可求出的度数；（3）①根据外角定义可知，即可求出；②，过
点作于，过点作交延长线于，根据证，得出，再证是等腰直角三角形，即可得出线段的关系．【解答】解：（1）根据题意补图如下：（2）点是点
关于的对称点，，，，，四边形是正方形，，；（3）①，，故答案为：45；②，证明如下：如右图，过点作于，过点作交延长线于，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．【点评】本题主要考查点的对称，等腰直角三角形，三角形外角，全等三角形的判定和性质等知识点，利用辅助线构造全等三角形和证是等腰直角三角形是解题的关键．28．【分析】（1）作出直线图象、描出点，，，由和谐点定义结合图象即可；（2）设出的坐标，由和谐点的定义，找出直线上是直线最远距离的和谐点，求出的临界值，即得范围；（3）根据图象结合和谐点的定义找出临界位置的，再由对称性，写全范围即可．【解答】解：（1）如图，作出直线，由图可知，到直线的距离为3不符合和谐点条件，，到直线的距离在之间，符合和谐点条件，故答案为：，；（2）点为直线上一点，的横坐标为，的坐标为，要使为直线的和谐点，则只需到直线的距离最大为1，，解得：或3，；（3）如图，当时，图中线段上的点都是正方形的和谐点，且，当直线穿过正方形中间时始终存在线段，使得它上的点都是正方形的和谐点，且，再由对称性知，的范围为．【点评】本题是函数新定义题，考查了新定义“和谐点”的概念，一次函数图象及平移，正确地理解新定义“和谐点”，画出图象及考虑对称性是本题的关键． 1 / 1 |
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