2021北京海淀外国语实验学校初二（上）期中数 学一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形中具有稳定性的是 A．三
角形B．平行四边形C．梯形D．五边形2．（3分）下列图形中与已知图形全等的是 A．B．C．D．3．（3分）下列各组线段中，能构成三
角形的是 A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，9D．5，6，104．（3分）能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的
A．角平分线B．中线C．高线D．重心5．（3分）下列四个图形中，线段是的高的是 A．B．C．D．6．（3分）用直尺和圆规作一个角
等于已知角，如图，能得出的依据是 A．B．C．D．7．（3分）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 A．两条直角边对应相等B．斜
边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等8．（3分）如图所示，，分别是，上的点，作于点，作于点，若，，下面
三个结论：①；②；③，正确的是 A．①和③B．②和③C．①和②D．①，②和③二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）9．（3分
）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）10．（3分）已知直角三角形的一个锐角的度数为，
则其另一个锐角的度数为 度．11．（3分）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 边形．12．（3分）如图是由6个边
长相等的正方形组合成的图形， ．13．（3分）如图，中，，平分，，垂足为，，，则的长为 ．14．（3分）在中，已知，，是边上的中
线，则取值范围是 ．15．（3分）如图，，，，与相交于点，则 ．16．（3分）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角
形为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ．三、解答题（
共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）17．（4分）求出下列图形中的值．18．（4分）如图，
在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．（1）利用尺规作图在边上找一点，使点到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕
迹）（2）在网格中，的下方，直接画出，使与全等．19．（6分）看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于．小红说：不对，你少加了一
个角．问题：（1）他们在求几边形的内角和？（2）少加的那个内角是多少度？20．（6分）已知：如图，，分别过点和点作，，两垂线相交于
点．求证：．21．（6分）如图，，，三点在同一直线上，且．（1）线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想满足什么条件时
，，并证明．22．（6分）如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上．（1）找出图中的全等三角形，
并说明理由；（2）当，则的长度为 ．（3）猜想与的位置关系，并说明理由．四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题
8分，共20分）23．（6分）在中，．（1）如图1，、的平分线相交于点，则 ；（2）如图2，的外角、的平分线相交于点，则 ；（3）
探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 ．（用的代数式表示）24．（6分）若三边均不相等的三角形三边
、、满足为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形
”．（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．①，，；②，，；③，，；④，，．（2）已知“不均衡三角形”
三边分别为，16，，直接写出的整数值为 ．25．（8分）数学课上，老师给出了如下问题：已知：如图1，在中，，，延长到点，，点是边
上一点，连接，作，交于点．（1）求证：；（2）求证：．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想
通过构造含有边和的全等三角形，因此我过点作于（如图2所示），如果能证明和全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像
这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继
续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．2021北京海淀外国语实验学校初二（上）期中数学参考答案一．选择题（共8小题，每小题3分，共
24分）1．【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【解答】解：．三角形具有稳定性，故本选项符合题意；．平行四边形不具有稳定性，
故本选项不符合题意；．梯形不具有稳定性，故本选项不符合题意；．五边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了三
角形的稳定性和平行四边形、梯形、五边形不具有稳定性．2．【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案是
．【解答】解：、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；、与已知图形能完全重合，正确；、中间是长方形，与已知图形不重合，错；、中间是
长方形，与已知图形不重合，错．故选：．【点评】本题考查的是全等形的性质；属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否
能够重合．3．【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．【
解答】解：、，无法构成三角形，不合题意；、，无法构成三角形，不合题意；、，无法构成三角形，不合题意；、，可以构成三角形，符合题意；
故选：．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．4．
【分析】利用三角形面积公式进行判断．【解答】解：能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的是三角形的中线．故选：．【点评】本题考查了
三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形的高、中线和
角平分线．5．【分析】根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段是的高的图
是选项．故选：．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义
是解题的关键．6．【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．【解答
】解：作图的步骤：①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，
长为半径画弧，交前弧于点；④过点作射线．所以就是与相等的角；作图完毕．在与△，，△，，显然运用的判定方法是．故选：．【点评】本题考
查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．7．【分析】根据
三角形全等的判定定理判断即可．【解答】解：、根据定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、根据定理可知，斜
边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、根据定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、
两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解
题的关键．8．【分析】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．【解答】解：连接，，是的平分线，，①正确．，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．故选：．【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．
二、填空题（共8小题.每小题3分，共24分）9．【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三
角形全等．【解答】解：，，可以添加，此时满足；添加条件，此时满足；添加条件，此时满足，故答案为或或；【点评】本题考查了全等三角形的
判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．10．【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．【解答】解：直角三
角形的一个锐角的度数为，其另一个锐角的度数，故答案为：53．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题
的关键．11．【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【解答】解：设多边形的边数为，根据题意，解得．故答案
为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．12
．【分析】如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明得到，则，从而求出的度数．【解答】解：如图，根据题意得，，，，
为等腰直角三角形，，在和中，，，，，，．故答案为．【点评】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性
质．13．【分析】先证明和全等，得出，即可得出的长度．【解答】解：是的平分线，，，，在和中，，，，，故答案为4．【点评】本题主要考
查全等三角形的判定，关键是要牢记全等三角形的判定定理．14．【分析】延长到使，连接，如图，证明得到，再利用三角形三边的关系得到，从
而得到的范围．【解答】解：延长到使，连接，如图，是边上的中线，，在和中，，，，，即，．故答案为．【点评】本题考查了全等三角形的判定
与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了三
角形三边的关系．15．【分析】根据全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，，根据对顶角相等得出，求出，再求出答案即可．【解
答】解：设交于，，，，，，又，，，，故答案为：40．【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是
解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．16．【分析】分角是、和既不是也不是三种情况，根据希望角的定义以及三角形的
内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：①角是，则友好角度数为；②角是，则，所以，友好角；③角既不是也不是，则，所以，，解得，综上
所述，友好角度数为或或．故答案为：或或．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于
分情况讨论．三、解答题（共6小题，17、18每小题4分，19、20、21、22每小题4分，共32分）17．【分析】（1）根据三角形
的内角和定理计算可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理计算可得到结论；（3）根据三角形外角的性质计算可得到结论【解答】解：（1）
；（2），；（3），解得．【点评】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解
题的关键．18．【分析】（1）作的平分线即可；（2）利用翻折变换，或构造平行四边形可得结论；【解答】解：（1）如图点即为所求；（2
）或△即为所求；【点评】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．19．【分析】设少加这个内角为度，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式列出算式，根据多边形的一个内角的度数大于
0度，且小于180度可求得的值．【解答】解：（1）设少加这个内角为，这个多边形的边数为则，，，，为整数，．（2），少加这个内角为1
35度．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，根据多边形的一个内角的度数大于0度，且小于180度求得多边形的边数是解题
的关键．20．【分析】连接，由可证，可得．【解答】证明：连接，，，在和中【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键
．21．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据邻补
角互补得出，再求出即可．【解答】（1）解：．理由：，，．，，三点在同一直线上，，；（2）猜想：，则．，，．又，，当满足时，．【点评
】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．22．
【分析】（1）根据证明即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）
，理由如下：，，即，在与中，，；（2），，故答案为：8；（3），理由如下：与相交于点，在与中，，，，，．【点评】此题考查全等三角形
的判定和性质，关键是根据得出与全等解答．四．能力展示题（共3小题，第23、24每小题6分，25题8分，共20分）23．【分析】（1
）根据三角形内角和定理，由，得．根据角平分线的定义，由平分，平分，得，，那么，从而推断出．（2）根据三角形外角的性质，得，，故．根
据角平分线的定义，由平分，平分，得，，故，那么．（3）根据角平分线的定义，由平分，平分，得，．根据三角形外角的性质，得，故，那么．
【解答】解：（1），．平分，平分，，．．．故答案为：．（2），，．平分，平分，，．．．故答案为：．（3）平分，平分，，．，．．故答
案为：．【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外
角的性质是解决本题的关键．24．【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．【解答】
解：（1）①，，，不能组成“不均衡三角形”；②，，，能组成“不均衡三角形”；③，，，不能组成“不均衡三角形”；④，，，不能组成“不均衡三角形”．故答案为：②；（2）①，解得，，解得，故不合题意舍去；②，解得，，解得，，为整数，，经检验，当时，22，16，14可构成三角形；③，解得，，解得，，为整数，或13或14，都可以构成三角形．综上所述，的整数值为10或12或13或14．故答案为：10或12或13或14．【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键．25．【分析】（1）依据“同角的余角相等”，即可得到；（2）在 上截取，连接，依据即可判定，进而得出．【解答】证明：（1），．，．．（2）如图3，在上截取，连接，，，即．，．．，．．由（1）可得：．．．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是作辅助线构造含有边和的全等三角形． 2 / 2 |
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