2021北京三十五中初二（下）期中数 学一、选择题（共10个小题，每题3分，共30分）1．（3分）函数中，的取值范围是 A．B．C．且D．
且2．（3分）方程是关于的一元二次方程，则的值为 A．B．C．D．以上都不对3．（3分）一次函数的图象不经过的象限是 A．第一象限
B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）已知一次函数，若随的增大而减小，且此函数图象与轴的交点在轴的上方，则的取值范围是
．．．．5．（3分）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是 A．B．C．D．6．（3分）已知二次函数的图象如图所示，则
A．，，△B．，，△C．，，△D．，，△7．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为
，则下面所列方程正确的是 A．B．C．D．8．（3分）如图在同一个坐标系中函数和的图象可能的是 A．B．C．D．9．（3分）如图，
边长为1和2的两个正方形的一边在同一水平线上，小正方形沿水平线自左向右匀速穿过大正方形，下图反映了这个运动的全过程．设小正方形的运
动时间为，两正方形重叠部分面积为，则与的函数图象大致为 A．B．C．D．10．（3分）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为 A．
B．或C．2或D．2或或二、填空题（共7个小题，每空3分，共21分。）11．（3分）已知直线与直线平行，且与直线交于点，则 ，直线
的解析式为 ．12．（3分）已知直线与的交点为，则方程组的解是 ．13．（3分）方程有两个实数根，则的取值范围 ．14．
（3分）已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，则二次函数的解析式是 ．15．（3分）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，
对称轴为．给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论是 ．16．（3分）定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，则 ．17
．（3分）如图，边长为的正方形的边、分别在轴和轴的正半轴上，、、、、为的等分点，、、、为的等分点，连接、、、、，分别交于点、、、、
，当时，则 ．三、解答题（共6个小题，共49分，请将正确的解答过程填写在答题纸相应题号处。）18．（8分）用适当方法求解如下关
于的一元二次方程：（1）；（2）；（3）．19．（8分）已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；
（2）若函数有最小值，求函数表达式．20．（8分）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以
提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加台机器，每
天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是多少？21．（8分）利用学过的
如何研究函数图象及性质的知识，研究新函数：的函数图象及性质：（1）请通过列表、描点、连线，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（2
）由函数图象，可以得到该函数的图象性质；①自变量的取值范围是 ，函数值的取值范围是 ．②函数的增减性为： ．③函数 （有无）
最值；④函数的对称性为： ．22．（8分）阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设
所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．化简，得，故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用
阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反
数，则所求方程为 ；（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．2
3．（9分）已知抛物线的顶点是，，为常数），并经过点，点为一定点．（1）求含有常数的抛物线的解析式；（2）设点是抛物线上任意一点，
过作轴，垂足是，求证：；（3）设过原点的直线与抛物线在第一象限相交于、两点．若，且，求的值．参考答案一、选择题（共10个小题，每题
3分，共30分）1．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得且，即可求解．【解答】解：由题意得：且，解得：且．故选：．【点评】此
题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．2．【分析】根据一元二
次方程的定义得到：，且．【解答】解：方程是关于的一元二次方程，，且．解得．故选：．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未
知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3．【分析
】由直线的解析式得到，，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：，，，故直线经过第一、三、四象限．不经过第二象限．故
选：．【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由，的符号来确定．4．【分析】一次函数中，随增大而减小，说明自变
量系数小于0，即，图象过二、四象限；又该函数的图象与轴交点在原点右侧，所以图象过一、二、四象限，直线与轴交点在正半轴，故．据此解答
的取值范围即可．【解答】解：随的增大而减小，，即；又因为该函数的图象与轴交点在原点右侧，所以图象过一、二、四象限，直线与轴交点在正
半轴，故．解得．的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位
置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴
负半轴相交．5．【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，当时，
的值随值的增大而增大，由图象可知：，解得．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等
式是解题的关键．6．【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可、的符号，由抛物线与轴的交点△的符号．【解答】解：由函数图象
可知：抛物线开口向上，，对称轴在轴右边，即，，抛物线与轴的正半轴相交，，抛物线与轴有一个交点，△，故选：．【点评】本题考查了二次函
数图象于系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二
次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴
交点：抛物线与轴交于，△的符号决定抛物线与轴的交点．7．【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），本题可参照增长率问
题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：根据题意可得两次降价后
售价为，方程为．故选：．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中是变化前的原始量，是两次变化后的
量，表示平均每次的增长率．本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成．8．【分析】分两种情况进行讨论：与进行讨论即可．【
解答】解：当时，函数的图象经过一、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在轴上；当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对
称轴在轴上，故正确．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．9．【分析】小正
方形运动过程中，与的函数关系为分段函数，即当时，函数为，当时，函数为，当时，，即按照自变量分为三段．【解答】解：依题意，重叠部分的
面积函数关系式是分段函数，面积由“小大小”变化，每一段对应的自变量变化范围相等，故选：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．关键
是理解图形运动过程中的几个分界点．10．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线，①时
，时二次函数有最大值，此时，解得，与矛盾，故值不存在；②当时，时，二次函数有最大值，此时，，解得，（舍去）；③当时，时二次函数有最
大值，此时，，解得，综上所述，的值为2或．故选：．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．二、填空题（共7个小题
，每空3分，共21分。）11．【分析】根据直线与直线平行，直线的解析式的一次项系数等于2，再由与直线交于点，求得和直线的解析式的常
数项．【解答】解：依题意点在直线上，，；由直线与直线平行，可设直线的解析式为：，点在直线上，，，故直线的解析式为．故答案为：2；．
【点评】此题考查两条直线相交或平行问题，用待定系数法确定直线的解析式，是常用的一种解题方法．12．【分析】由于函数图象交点坐标为两
函数解析式组成的方程组的解．因此点的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是．【解答】解：直线与的交点
为，即，满足两个解析式，则是即方程组的解．因此方程组的解是．【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这
一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13．【分析】根据方程有两个实数
根，结合二次项系数非零以及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：方程有两个实数根，，即
解得：且．故答案为：且．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据方程解得情况结合根的判别式得出关于的一元一次不等式组．本题属
于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．14．【分析】分别把三个点
的坐标代入解析式列方程组求解即可．【解答】解：根据题意得，解得．二次函数的解析式是．【点评】主要考查用待定系数法求二次函数的解析式
．当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知、的三对对应值时，可设解析式为一般形式：．把三组值代入列出三元一次方程组求解即可．15．
【分析】①由图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，可以推出，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的
正半轴上得到，由对称轴为，可以②进行分析判断；③由时有最大值，由图象可知，可对③进行分析判断；④把，代入解析式得，，两边相加整理得
，即，即可对④进行判断．【解答】解：①图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，又二次函数的图象是抛物线，与轴有两个交点
，，即，故①正确；②抛物线的开口向下，，与轴的交点在轴的正半轴上，，对称轴为，，，，故②错误；③时有最大值，由图象可知，故③错误；
④把，代入解析式得，，两边相加整理得，即，故④正确；故答案为：①④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关
键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．16
．【分析】根据题中所给出的新运算法则，分即时和即时两种情况把对应的数值代入对应的式子计算即可．【解答】解：①即时，※，解得：或，或
均舍去；②即时，※，解得：或．故答案为：、．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确
的对两种情况进行讨论．17．【分析】根据题意表示出，的长，由确定点的坐标，代入解析式计算得到答案．【解答】解：正方形的边长为，点，
，，为的等分点，点，，，为的等分点，，，，，点在上，，解得．故答案为：75．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性
质，根据正方形的性质表示出点的坐标是解题的关键．三、解答题（共6个小题，共49分，请将正确的解答过程填写在答题纸相应题号处。）18
．【分析】（1）左边利用完全平方公式因式分解，再两边开平方即可；（2）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程
，分别求解即可得出答案；（3）利用公式法求解即可．【解答】解：（1），，则，，；（2），，则或，解得，；（3），，，△，则，即，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程
的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．【分析】（1）令，可得，利用判别式的值证明方程有两个不同的实数根；（2）根据题意构建
方程求出的值即可解决问题；【解答】（1）证明：令，可得，△，，△，方程有两个不同的实数根，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；（
2）解：由题意：，，，或3，抛物线的解析式为或【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，待定系数法等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）生产总量每台机器生产的产品数机器数；（2）根据函数性质求最值．【解答】
解：（1）根据题意得：；（2），当时，有最大值30976，则增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是30976件．【点评
】认真审题，表示函数关系式是关键．21．【分析】（1）按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（2）根据函数图象总结出函数性质
．【解答】解：（1）通过列表、描点、连线，在平面直角坐标系中画出函数的图象，123321（2）由函数图象，可以得到该函数的图象性质
：①自变量的取值范围是，函数值的取值范围是．②函数的增减性为：在各个象限内，随的增大而减小．③函数无最值；④函数的对称性为：关于原
点成中心对称或关于第一、三象限的角平分线或第二、四象限角平分线成轴对称．故答案为：①，．②在各个象限内，随的增大而减小．③无．④关
于原点成中心对称或关于第一、三象限的角平分线或第二、四象限角平分线成轴对称．【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得；（2）设所求
方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得．【解答】解：（1）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，得：，故答案为：；（2）设所求
方程的根为，则，于是，把代入方程，得 ，去分母，得，若，有，于是，方程有一个根为0，不合题意，，故所求方程为 ．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．23．【分析】（1）根据抛物线的图象设解析式为，将经过点，代入求出即可；（2）根据勾股定理得出，进而求出；（3）利用（2）中结论得出，，即可得出是的中点，进而得出，即可得出的值．【解答】（1）解：设抛物线的解析式为，经过点，，，抛物线的解析式为：；（2）证明：连接，设抛物线上一点，过作轴，轴，在中，由勾股定理得：，，，，而，；（3）解：过作，，连接，过作轴，由（2）的结论可得：，，，，，是的中点，是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，解题的关键是数形结合思想的应用及用含的代数式表示的坐标． 1 / 1 |
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