2021北京十二中初二（下）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．（2分）中，，，的对边分别是，，，下列命题中
的假命题是 A．如果，则是直角三角形B．如果，则是直角三角形，且C．如果，则是直角三角形D．如果，则是直角三角形2．（2分）如图，
菱形对角线与交于点，点是边上的中点连接，，则菱形的面积为 A．96B．48C．192D．243．（2分）若点在函数的图象上，且，则
的取值范围为 A．B．C．D．4．（2分）如图，在中，于点，，分别为，的中点，，，，则的周长是 A．9.5B．13.5C．14.5
D．175．（2分）如图，函数和的图象相交于点 ，则不等式的解集为 A．B．C．D．6．（2分）定义新运算：※，则函数※的图象大致
是 A．B．C．D．7．（2分）若函数，则当函数时，自变量的值是 A．B．5C．或5D．5或8．（2分）如图，在中，，的垂直平分线
交于，交于，是直线上一动点，点为中点，若，的周长是36．则的最小值为 A．B．10C．12D．139．（2分）如图所示，表示一次函
数与正比例函数，是常数，且的图象是 A．B．C．D．10．（2分）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．
给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个 A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共1
0小题，每小题2分，共20分）11．（2分）将直线向上平移个单位后，经过点，若，则 ．12．（2分）函数中自变量的取值范围是
．13．（2分）已知一次函数的图象如图，当时，的取值范围是 ．14．（2分）如图，平行四边形中，平分，若，，则平行四边形的周长
是 ．15．（2分）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是 ．16．（2分）如图，四边形是矩
形，，，点在第二象限，则点的坐标是 ．17．（2分）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，垂直平分于点，则的长为 ．18．（2分）如
图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ．19．（2分）在、两地之间有汽车站在直线上），
甲车由地驶往站，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离站的路程，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则
下列结论：①、两地相距440千米；②甲车的平均速度是60千米时；③乙车行驶11小时后到达地；④两车行驶4.4小时后相遇，其中正确的
结论有是 ．（填序号）20．（2分）如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次
连接而成，其中，为正整数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为 ．三、解答题（本大题共10小题，21题5分；22-27题每小题5分
，28题5分；29-30题每小题5分，共60分）21．（5分）一次函数，当时，对应的的取值为，求该函数的解析式．22．（6分）如图
，直线与轴交于点，直线经过点，，与交于点．（1）求直线的解析式；（2）求的面积．23．（6分）如图，在中，，，，过点作，且点在点的
右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒
．（1）① （用含的式子表示）②若，求的长；（2）请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存
在，请说明理由．24．（6分）某市为节约水资源， 制定了新的居民用水收费标准， 按照新标准， 用户每月缴纳的水费（元与每月用水量之
间的关系如图所示 ．（1） 求关于的函数解析式；（2） 若某用户二、 三月份共用水（二 月份用水量不超过，缴纳水费 79.8 元，
则该用户二、 三月份的用水量各是多少？25．（6分）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，
若的面积为，求折叠的面积．26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象的交于
点．（1）求的值及一次函数的表达式；（2）若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点的坐标．27．（6分）如图，已知一次函数的图象
与反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．（1）求出两个函数解析式；（2）在轴正半轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存
在，求点坐标；若不存在，请说明理由．（3）直接写出满足的的取值范围．28．（5分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小菲根据学
习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小菲的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是 ．（2）如表是与的几
组对应值．1232表中的值为 ．（3）如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）根
据画出的函数图象，写出：①时，对应的函数值约为 （结果保留一位小数）；②该函数的一条性质： ．29．（7分）如图1，在四边形的边的
延长线上取一点，在直线的同侧作一个以为底的等腰，且满足，则称三角形为四边形的“伴随三角形”．（1）如图1，若是正方形的“伴随三角形
”：①连接，则 ；②若，连接交于，求证：是的中点；（2）如图2，若是菱形的“伴随三角形”， ，是线段的中点，连接、，猜想并证明与的
位置与数量关系．30．（7分）在平面直角坐标系中，如果点、点为某个菱形的一组对角的顶点，且点、在直线上，那么称该菱形为点、的“极好
菱形”．如图为点、的“极好菱形”的一个示意图．已知点的坐标为，点的坐标为．（1）点，，，中，能够成为点、的“极好菱形”的顶点的是
；（2）如果四边形是点、的“极好菱形”．①当点的坐标为时，求四边形的面积；②当四边形的面积为12，且与直线有公共点时，求出的取值范
围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．【分析】利用三角形内角和可对、选项进行判断；根据勾股定理的逆定
理可对、选项进行判断．【解答】解：、因为，即，，所以，则是直角三角形，所以选项为真命题；、因为，即，则是直角三角形，且，所以选项为
假命题；、因为，即，则是直角三角形，且，所以选项为真命题；、因为，所以，则是直角三角形，所以选项为真命题．故选：．【点评】本题考查
了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命
题是假命题，只需举出一个反例即可．2．【分析】根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长
，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【解答】解：菱形对角线与交于点，，，是边上的中点，，，，，则菱形的面积，故选：．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是
错误判断对角线的长而误选．3．【分析】由点的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再由，即可得出，此题得解．【解答】解：点在
函数的图象上，．，，，即．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征结合，找出是解题的关
键．4．【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：在中，于点，，分别为，的中点，，，，的周
长．故选：．【点评】考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．【分析】先
根据函数和的图象相交于点，求出的值，从而得出点的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式的解集．【解答】解：函数和的图象相交于点，，解
得，点的坐标是，，不等式的解集为；故选：．【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值
大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6．【分析】
先根据新定义运算列出的关系式，再根据此关系式及的取值范围画出函数图象即可．【解答】解：根据新定义运算可知，※，（1）当时，此函数解
析式为，函数图象在第一象限，以为端点平行于轴的射线，故可排除、；（2）当时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除．故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．【分析】根据题意，利用分类讨论的
方法可以求得当函数时，自变量的值．【解答】解：当时，令，解得；当时，令，解得；由上可得，的值是或5，故选：．【点评】本题考查二次函
数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．8．【分析】连接，，先求出，的长，由于是等腰三角形，点
是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点是点，故的长为的最小值，由此得出结论．【解答】
解：连接，，，的周长为36，，是中点，，是等腰三角形，点是中点，，，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，，，的长为的最小值
，的最小值为12．故选：．【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．9．【分析】根据“两
数相乘，同号得正，异号得负”判断出、的符号，再根据一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当，正比例函数过第一、三象限；与同号，同正
时过第一、二、三象限，故错误；同负时过第二、三、四象限，故错误；②当时，正比例函数过第二、四象限；与异号，，时过第一、三、四象限，
故错误；，时过第一、二、四象限．故选：．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．对于一次函数的图象有四种
情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．10．【分析】①，即可求解；②证明四边形为矩形，则四边形的周长，即可求解；③由正方形为轴对
称图形，则，即可求解；④当时，即时，的最小值等于，即可求解；⑤由，，即可求解；⑥证明，得到，进而求解．【解答】解：过点作于点，连接
，①是正方形的对角线，则，而，则为等腰直角三角形，，故①正确；②，，，四边形为矩形，四边形的周长，故②正确；③四边形为矩形，，由正
方形为轴对称图形，，，故③正确；④由，当最小时，最小，则当时，即时，的最小值等于，故④正确；⑤在和中，，，；故⑤正确；⑥平分，，，
，，，，，，，，，，故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：．【点评】本题为四边形综合题，综合考查了正方形的性质、矩形的性质；充分
利用正方形是轴对称图形可得相关验证．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．【分析】根据平移的性质找出平移后直线
的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征结合即可得出的值．【解答】解：将直线向上平移个单位后得到的直线解析式为，点在平移后的直线上
，，，．故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐
标特征得出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的性质找出平移后直线的解析式是关键．12．【分析】根据被开方数大于
等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，且，解得且．故答案为：且．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三
个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式
是二次根式时，被开方数非负．13．【分析】当时，图象在轴左侧，此时．【解答】解：根据图象和数据可知，当即图象在轴左侧时，的取值范围
是．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限
；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．14
．【分析】只要证明，即可解决问题；【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，四边形的周长，故答案为：．【点评】本题考查平行
四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．【分析】分别求出直
线经过、、三点时的值即可判断．【解答】解：直线经过时，，直线经过时，，直线经过时，，直线与有交点，，故答案为．【点评】本题考查一次
函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．【分析】作轴于，轴于，则，，
，，证明，得出，，得出，即可得出答案．【解答】解：作轴于，轴于，如图所示：则，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，在和中，，，，
，，点的坐标是；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键
．17．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．【解答】解：四边形是矩形，，，，，垂直平分，，，
，，故答案为：．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角
形是等边三角形是解决问题的关键．18．【分析】方法1、延长交于点，作于点，则是的中位线，求得的长和的长，在中利用勾股定理求解．方法
2、先造成，进而求出，，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：方法1、延长交于点，作于点．则．是的中点，是的中位线，．直角中，，
是等腰直角三角形，即，同理中，．．在中，．故答案是：．方法2、如图1，延长，相交于，四边形和四边形是正方形，，，，点是的中点，，，
，，，，根据勾股定理得，，，故答案为．【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．19．【
分析】利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可．【解答】解：、两地相距（千米），故①正确，甲车的平均速度（千米小时）
，故②正确，乙车的平均速度千米小时，（小时），乙车行驶11小时后到达地，故③正确，设小时相遇，则有：，解得：（小时），两车行驶4.
4小时后相遇，故④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出
其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．20．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：观察图象可知，点的位
置是8个点一个循环，与，的位置都在第三象限，且在直线上，第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，，第个等腰
直角三角形的边长为，第22个等腰直角三角形的边长为，可得，，，故答案为：，．【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三
角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，21题5分；22-2
7题每小题5分，28题5分；29-30题每小题5分，共60分）21．【分析】分类讨论：由于一次函数是递增或递减函数，所以当一次函数
为增函数时，则，；，，当一次函数为减函数时，则，；，，然后把它们分别代入中得到方程组，再解两个方程组即可．【解答】解：当，；，，，
解方程组得；当，；，，，解方程组得，函数的解析式为或．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数的解析式为，然后把
一次函数图象上两点的坐标代入得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用．22．【
分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）的面积．【解答】解：（1）设直线的表达式为，直线经过点，，，解得，故直线的表达式为；（2）
对于，令，则，解得，故点，则，联立、的表达式得，解得，故点，的面积．【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象
上点的坐标特征，三角形面积的计算等，解题的关键：（1）熟练掌握待定系数法，（2）求得的坐标．23．【分析】（1）①由运动知，即可得
出结论；②作于，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方
程，解方程即可；（2）分两种情况，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）①由运动知，，在线段上取点，使得
，，故答案为；②作于，如图所示，，，，，，，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，；（2）存在，或；理由如下：（ⅰ）当点、在线段
上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则，，解得：，（ⅱ）当点、在线段的延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形则，
解得：存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或12秒．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三
角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．24．【分析】（1） 根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式， 然后根据函
数图象中的数据求出相应的函数解析式；（2） 根据题意对进行取值进行讨论， 从而可以求得该用户二、 三月份的用水量各是多少．【解答】
解： （1） 当时， 设与的函数关系式为，，得，即当时，与的函数关系式为，当时， 设与的函数关系式为，，得，即当时，与的函数关系式
为，由上可得，与的函数关系式为；（2） 设二月份的用水量是，当时，，故此种情况不符合题意，当时， 令，解得，，，答： 该用户二、
三月份的用水量各是、．【点评】本题考查一次函数的应用， 解答此类问题的关键是明确题意， 求出相应的函数解析式， 利用数形结合的思想
和分类讨论的数学思想解答 ．25．【分析】根据三角形的面积求得的长，再根据勾股定理求得的长，即为的长；设，则，．根据勾股定理列方程
求得的值，进而求得的面积．【解答】解：由折叠的对称性，得，．由，，得．在中，由勾股定理，得．所以．设，则，，，在中，，即．解得．故
．【点评】此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段．26．【分析】（1）首先利用待定
系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点坐标，再利用待定系数法把、两点坐标代入一次函数中，计算出、的值，进而得到一次函数解
析式．（2）利用的面积为6，即可得出点的坐标．【解答】解：（1）点在正比例函数的图象上，，即点坐标为．一次函数经过、点解得：一次函
数的表达式为（2）点是轴上一点，且的面积为6，的高是4，，的坐标为，点的坐标为、．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式
等知识，根据待定系数法把、两点坐标代入一次函数中，计算出、的值是解题关键．27．【分析】（1）将点，点坐标代入两个解析式可求，，，
的值，即可得出结论；（2）设进而表示出，，，再分三种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）由题意可求点坐标，根据函数的图象即可求
得的取值范围．【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，，反比例函数的解析式为，反比例函数的图象过点，，，，一次函数的图象过，两点，
，解得，，一次函数的解析式为；（2）设点，，，，，，，为等腰三角形，①当时，，，（舍或，，，②当时，，，（舍，③当时，，，（舍或，
，，即满足条件的点的坐标为，或，．（3）一次函数的解析式为，其图象与轴交于点，点的坐标为，，的的取值范围是．【点评】此题是反比例函
数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．28．【分析】（1）由图表可知；（2）根据图
表可知当时的函数值为，把代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出时对应的函数值以及
该函数的性质．【解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是．故答案为：；（2）令，，，故答案为0；（3）如图（4）①根据函数图象，①
时，对应的函数值约为1.9，故答案为1.9；②该函数的性质：当时，随的增大而增大；故答案为当时，随的增大而增大．【点评】本题考查函
数的图象一个的问题，解题的关键是确定函数自变量的取值范围，学会用描点法画函数图象，能观察图象，总结函数的性质，属于中考常考题型．2
9．【分析】（1）①连接，由正方形的性质和“伴随三角形”的性质可求，即可求的度数；②连接，交于点，设，，由等腰直角三角形的性质可求
，，由相似三角形的性质可得，可得结论；（2）延长交于点，连接，，由菱形的性质和“伴随三角形”的性质可求，，，，通过证明，可得，，，
即可求与的位置与数量关系．【解答】解：（1）①连接，四边形是正方形，，是正方形的“伴随三角形”：又是等腰三角形故答案为：②连接，交
于点，，设，，，，，，，，，点是的中点，（2），理由如下：如图，延长交于点，连接，，四边形是菱形，，，，，若是菱形的“伴随三角形”， ，，，且是等腰三角形，，，，，，且，，，，且，，，【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．30．【分析】（1）如图1中，观察图象可知：、能够成为点，的“极好菱形”顶点．（2）①如图2中，根据已知三点的坐标可得极好菱形，根据菱形面积公式可得结果；②根据菱形的性质得：，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得的长，进而求解．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：、能够成为点，的“极好菱形”顶点．故答案为：，；（2）①如图2，，，，设点的坐标为，则且，解得，故点的坐标为，，由点、的坐标得，，同理可得，则边形的面积；②如图2，点的坐标为，点的坐标为，，四边形的面积为12，，即，，四边形是菱形，，，，作直线，交轴于，过点作轴的平行线交于点，，，，和在直线上，，△是等腰直角三角形，，则点，故点的纵坐标为，则点的坐标为，将代入得：，解得，同理可知：的坐标为，此时，，由题意得：四边形与直线有公共点时，的取值范围是．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了菱形的性质、正方形的判定、点，的“极好菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，属于中考创新题目。 1 / 1 |
|
