2021北京十九中初二（下）期中数 学一、选择题（本大题共8小题，共24分）1．（3分）下列各式是二次根式的是 A．B．C．D．2．（3分
）以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 A．3，5，7B．5，7，9C．3，2，D．2，2，3．（3
分）的相反数是 A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是 A．B．C．D．5．（3分）若是整数，则正整数的最小值是 A．4B．
5C．6D．76．（3分）如图，在平行四边形中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是 A． B．C．D．，且7．（3分）如图，四边
形的对角线相交于点，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形为矩形的是 A．B．C．D．8．（3分）如图，正方形的边长为8，在上
，且，是上一动点，则的最小值为 A．6B．8C．12D．10二、填空题（本大题共8小题，共24分）9．（3分）当 时，二次根式
有意义．10．（3分）在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为 ．11．（3分）计算： ．12．（3分）如图，阴影部分是一个正方
形，此正方形的面积为 ．13．（3分）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是 ．14．（3分）如图，以直角
三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为，，．则它们满足的数量关系为 ．15．（3分）已知在
三角形中，，，为边上的高，且，则 ．16．（3分）如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测
量得出的中点；（2）连接并延长到，使得；（3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是 ．三、解答题（本大题共9小题，共52分）1
7．（8分）计算：（1）；（2）．18．（5分）如图，在中，于点，，，．求与的面积．19．（5分）如图，四边形是平行四边形，、是对
角线上的两点，且，顺次连接、、，．求证：四边形是平行四边形．20．（5分）在矩形中，点在上，，，垂足为．（1）求证：；（2）若，且
，求．21．（5分）如图，，，，分别是，，，的中点．（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）当，满足 时，四边形是菱形．22
．（5分）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．是边上的一点（点不与点，重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点．（1）如
图①，当点落在边上时，求点的坐标；（2）若点落在边的上方，，与分别与边交于点，如图②，当时，求点的坐标（直接写出结果即可）．23．
（7分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、
、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当、、、均
为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空： ；（3）若，且、、均为
正整数，求的值？24．（6分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中
一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为．（1）边的长度为 ，的取值范围为 ．（2）从运动开始，当 时，．
（3）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．25．（6分）数学上，把一组对边平行，
另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的一组对边叫做梯形的底，短的称为上底，长的称为下底；另一组不平行的对边叫做梯形的腰．连接两腰
中点的线段叫做梯形的中位线．如图1，在梯形中，，、分别为两腰和的中点，连接，则为梯形的中位线．（1）经观察和测量你能发现和两底、的
关系是 ；（2）请用你所学过的知识证明你的结论．（3）利用你所发现的结论解决问题：已知如图2，直线为平行四边形外的任意一条直线，
过、、、分别作垂线段、、和，则线段、、和的数量关系是 ．2021北京十九中初二（下）期中数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，
共24分）1．【分析】根据二次根式的概念，逐一判断．【解答】解：、，不是二次根式；、当时，不是二次根式；、，是二次根式；、根指数是
3，不是二次根式．故选：．【点评】主要考查了二次根式的概念．二次根式的概念：式子叫二次根式．是一个非负数．2．【分析】知道三条边的
大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故
错误；、，不能构成直角三角形，故错误；、，能构成直角三角形，故正确；、，不能构成直角三角形，故错误．故选：．【点评】本题考查勾股定
理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．【分析】直接利用相反数
的定义得出答案．【解答】解：的相反数是：．故选：．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．4．【分析】直接利
用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：、无法计算，故此选项错误；、无法计算，故此选项错误；、，故此选项错误；、，故此选
项正确．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式
的性质得出的最小值．【解答】解：是整数，正整数的最小值是：7．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握相关定义是解题
关键．6．【分析】由平行四边形的性质可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质
，掌握平行四边形的性质是本题的关键．7．【分析】首先证出四边形是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．【解答】解
：四边形的对角线相交于点，且互相平分，四边形是平行四边形，若，则四边形是矩形，故选项不符合题意；若，则四边形是矩形，故选项不符合题
意；若，则四边形是菱形，故选项符合题意；四边形是平行四边形，，若，，则四边形是矩形，故选项不符合题意；故选：．【点评】此题主要考查
了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理．8．【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化
，的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接，点和点关于直线对称，，则就是的最小值，正方形的边长是8，，，，的最小值是10
．故选：．【点评】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点的位置：利用轴对称的方法．
然后熟练运用勾股定理．二、填空题（本大题共8小题，共24分）9．【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．【解
答】解：根据题意，得，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式
．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．是一个非负数．10．【分析】直接利用
二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得：，，则．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质
以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．11．【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．【解答】解：原式．故答案为：14．【点
评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．12．【分析】由勾股定理和正方形的面积公式解答．【解答】解：由图
可知正方形的边长为，正方形的面积为．【点评】此题很简单，只要熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．13．【分析】易证是等边三角形
．再根据中位线定理易求．【解答】解：四边形是菱形，，、分别是、的中点，，又，是等边三角形．，、分别是、的中点，．故答案为：6．【点
评】本题考查了三角形中位线及菱形的性质，比较简单．如果三角形中位线的性质没有记住，还可以利用与的相似比为，得出正确结论．14．【分
析】设，，，利用正弦的定义求出等边三角形的面积，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设，，，是直角三角形，，，又，，，，故答案是：．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．15．【分析】
结合题意，画出图形，高可能在形内，也可能在形外，分别求解【解答】解：当高在内部时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，当
高在外部时由上面解答可知，故答案为：7或17．【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理，解决本题的关键是对高在形内还是形外进行分类．
16．【分析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论．【解答】解：是的中点，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为矩形，故答
案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质
，熟记“有一个角是直角的平行四边形为矩形”是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共52分）17．【分析】（1）根据零指数幂、负
整数指数幂和绝对值的意义计算；（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结
合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．【分析】利用勾股定理求得的长度，再次利用勾股定理可求
得的长度，从而结合三角形的面积公式可求的面积．【解答】解：于点，，，，，，．【点评】本题主要考查三角形的面积，勾股定理，解答的关键
是利用勾股定理求得的长与的长．19．【分析】首先连接，交于点，由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又
由，可得，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形．【解答】证明：连接，交于点，如图所示，四边形是平行四边形，，，，，即，四边
形是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．20．【分析
】（1）利用“”证即可得；（2）由、得，据此知，根据可得答案．【解答】证明：（1）在矩形中，，，又，，，又，，．（2），，，，，．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．【分析】（1）由点是的
中点、点是的中点，可得出为的中线，进而可得出、，同理，可得出、，即、，再利用平行四边形的判定定理即可证出四边形是平行四边形；（2）
易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．【解答】（1）证明：四边形是平行
四边形；点是的中点，点是的中点，，，同理，可得出：，，，，四边形是平行四边形；解：，满足时，四边形是菱形；，、、、分别是线段、、、
的中点，则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，，，当时，成立，则四边形是菱形．故答案为：．【点评】本题考查了中点四边形、平行四
边形的判定，根据三角形中线定义找出、是解题的关键．22．【分析】（1）由矩形的性质及已知点的坐标可得、、、的长及的度数，再由折叠的
性质及勾股定理可得和的值，求得的值即点的横坐标，其纵坐标为6，则点的坐标可得．（2）连接，设，则，，在中和在中，分别由勾股定理得出
，从而得出关于的方程，解得的值，则问题可解．【解答】解：（1）点，点，四边形为矩形，，，．根据题意，由折叠可知△，．在△中，，．点
的坐标为，．（2）连接，如图：设，则，，根据折叠可知，，在中，；在中，；，解得：，，．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾
股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．23．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出、的表达式；（2）首先确
定好、的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出、的值；（3）根据题意，，首先确定、的值，通过分析，或者，，然后即可确定好的值．【解
答】解：（1），，，．故答案为：，．（2）令，，，．故答案为4、2、1、1．（3）由（1）可知：，，且、为正整数，，或者，，，或．
或13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．24．【分析
】（1）过点作于，再利用勾股定理，即可得出结论，用点，的运动速度，即可求出的范围；（2）构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立
方程求解，即可得出结论；（3）先利用求出时间，再求出，进而得出，判断，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点作于，，，，，，
四边形是平行四边形，，，，根据勾股定理得，，点在上运动，，点在上运动，，，故答案为10，；（2）如图2，过点作于，则四边形是矩形，
，，，，，根据勾股定理得，，或，故答案为4或8；（3）不存在，理由：得四边形是菱形，，，，此时，，而，四边形不可能是菱形．【点评】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．25．【分析】（1）观察和测量，直接得出结论；（2）连接，并延长交的延长线于，判断出，进而判断出是的中位线，即可得出结论；（3）连接，交于点，过点作于，由（1）的结论，即可得出结论．【解答】解：（1）由观察和测量得，，，故答案为，；（2）如图（1），连接，并延长交的延长线于，，，，点是的中点，，在和中，，，，，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，，，；（3）如图（2），连接，交于点，四边形是平行四边形，，，过点作于，，，，，是梯形的中位线，，同理：，，，故答案为．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，判断出是的中位线时解本题的关键． 2 / 2 |
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