2021北京四中初二（下）期中数 学一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）能使有意义的x的取值范围是（ ）A．x≥0B．x＞﹣1
C．x≥﹣1D．x≤﹣12．（3分）平行四边形的一边长为6cm，周长为28cm，则这条边的邻边长是（ ）A．22cmB．16cm
C．11cmD．8cm3．（3分）下列各式中正确的是（ ）A．＝3B．＝﹣2C．＝﹣2D．＝±44．（3分）如图，在菱形ABCD
中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（ ）A．20B．15C．10D．55．（3分）下列各组数据能组成直角三角形的
是（ ）A．2，3，4B．4，5，6C．8，15，17D．11，12，136．（3分）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的
是（ ）A．一组对边平行且相等B．两组对边分别平行C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分7．（3分）我们把形如（a，
b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数8．（3分
）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的
变化依次为（ ）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形9．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位
置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）A．B．C．4D．10．（
3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其
中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）A．12B．24C．36D．48二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）
比较大小： 4．12．（3分）已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长为 cm．13．（3分）如果
＝?，请写出一个满足条件的x的值 ．14．（3分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF
∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 ．15．（3分）阅读下面材料在数学课上，老师提出如下问题：已知：Rt
△ABC，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．小敏的作法如下：①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧
相交于点D；②连接DA、DC；所以四边形ABCD为所求矩形．老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作法正确的理由是 16
．（3分）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m
的值为 ．17．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5
）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如图左图）中大正方形的面积是（
x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在如图右边三个构图（矩形的
顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）18．（3分）如图，点
A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过
程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ
是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是 ．三、解答题19．（8分）计算（1）﹣+（1﹣）0+|﹣1
|；（2）+（）（）．20．（6分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）（用配方法解方程）x2﹣8x+1＝0．21．（
5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE＝DF，连接AF，CE，求证：AF＝CE．22．（4分）如图
，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中
，画一个格点三角形ABC，使得AB＝，BC＝2，CA＝5．（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高．（3）在图②中，画一个直角
三角形，使它的三边长都是无理数．23．（3分）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣
x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，①解得： ．②综上，原方
程的根是 ．③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．24．（5分）如图，菱形ABCD的边长为1，∠A
BC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（
1）求证：AF＝EF；（2）①∠CEF＝ ；②MN+NG的最小值为 ．25．（7分）如图，正方形ABCD中，点E在AB上，
点F在BC的延长线上，DF⊥DE，EG平分∠BEF交BD于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）请写出线段DG和DF的数量关系并证明
；（3）作GH⊥EF于点H，请直接写出线段AB、GH与EF的数量关系．26．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如
下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记
作d（M，N），已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）①求d（点O，△ABC）；②若点P在x轴正半轴上，d
（点P，△ABC）＝3，求点P的坐标．（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若d（图G，△ABC）＝1，直接
写出k的取值范围；（3）以点P（x，y）为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到P点距离为1的正方形为P﹣单位正方形，若点P（t，0
）在x轴上且d（P﹣单位正方形，△ABC）＝1，请直接写出t的取值范围．四、附加题27．（6分）如图，将等边三角形的三条边分别8等
分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样
就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号
来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（3，1，4）．（1）按此方法，则点C
的坐标可表示为 ，点D的坐标可表示为 ．（2）若P点的坐标为（3，m，m﹣1），则m＝ ．（3）在图中以A、B、C、E
为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为 ．28．（6分）小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝5
0°，AB＝CD，AD＝2，BC＝4，求四边形ABCD的面积．经过思考小明想到如下方法：以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABC
D绕着正方形BCMN的中心逆时针旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，则四边形ADEF是
（填一种特殊的平行四边形）∴S四边形ABCD＝ ．解决问题：如图3，四边形ABCD，∠BAD＝140°，∠CD4＝160°
，AB＝CD，AD＝6，BC＝12，则四边形ABCD的面积为 ．29．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点K是线段A
B延长线上一点，点E是∠CBK的平分线上一点，连接DE，取DE的中点F，连接BF．（1）依照题意补全图形．（2）求证：∠FDA＝∠
FBA．（3）若点G是线段BE延长线上任意一点，连接CG，点H为CG中点，连接FH，用等式表达EG，DA，FH的数量关系，并证明．
2021北京四中初二（下）期中数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】利用二次根式的有意义的条件可得1+x≥0，
再解即可．【解答】解：由题意得：1+x≥0，解得：x≥﹣1，故选：C．2．【分析】根据平行四边形的对边相等，得平行四边形的一组邻边
的和等于周长的一半，即28÷2＝14，已知一边长可求另一边长．【解答】解：∵平行四边形周长为28，∴一边长与另一边长和为14，∴另
一边长＝14﹣6＝8cm．故选：D．3．【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可．【解答】解：A，＝＝3，故此选项符合题意；B，＝
＝2，故此选项不符合题意；C，无意义，故此选项不符合题意；D，＝4，故此选项不符合题意．故选：A．4．【分析】根据菱形的性质及已知
可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝18
0°，∵∠BCD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5．故选：D．5．【分析】由82＝64，152＝
225，172＝289，64+225＝289，可得出82+152＝172，再利用勾股定理的逆定理，即可找出三边长分别为8，15，1
7的三角形为直角三角形．【解答】解：∵82＝64，152＝225，172＝289，64+225＝289，∴82+152＝172，∴
三边长分别为8，15，17的三角形为直角三角形．故选：C．6．【分析】由平行四边形的判定可求解．【解答】解：一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形，故选项A不符合题意；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边
形不一定是平行四边形，故选项C符合题意；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．7．【分析】先利用完全平
方公式计算，再化简得到原式＝4+8，然后利用新定义对各选项进行判断．【解答】解：＝2+2+6＝4+8，所以是型无理数．故选：B．8
．【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化
依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．9．【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则
DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．【解答】解：如图所示，连接
EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG
，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，∴EG＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2
+22＝（8﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：B．10．【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△
ABC中，AC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△A
BC中，AC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，故选：D．二、
填空题（每小题3分，共24分）11．【分析】求出3＝，4＝，再进行比较即可．【解答】解：3＝＝，4＝，∵＞，∴3＞4．故答案为：＞
．12．【分析】首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边，再根据直角三角形的性质进行计算．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°
，AC＝6cm，BC＝8cm∴AC2+BC2＝AB2∴AB＝＝10cm∵CD是AB边上的中线∴CD＝AB＝×10＝5cm．13．【
分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵＝?，∴，解得：x≥6，即写一个满足条件的x的值，例如：7（答案不唯
一，大于等于6的数均可）．故答案为：7（答案不唯一，大于等于6的数均可）．14．【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形B
CFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE为△
ABC的中位线，∴DE∥BC，，∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴．故答案为：．15．【分析】直接利
用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．【解答】解：①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆
心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA、DC；所以四边形ABCD为所求矩形．理由：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形AB
CD是平行四边形，∵∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．16．【分析】由作图知，
点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如
图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角
形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD
＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2，∴D′E＝3，∴AD′＝＝2，∴m＝
2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．17．【分析】仿照案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12
+42，可求出x＝6，此题得解．【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4
）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得x＝6．故答案为：②．18．【分析】连接AC、B
D，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ＝AC，MN∥AC，MN＝AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②当AC与BD相等
且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形M
NPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两
个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：①②③④．三、解答题19．【分析】（1）先利用零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二
次根式后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝﹣3+1+﹣1＝﹣；（2）原式＝+7﹣5＝
+2．20．【分析】（1）利用因式分解法求解即；（2）利用配方法求解即可可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0
，则x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2；（2）∵x2﹣8x+16＝15，∴（x﹣4）2＝15，则x﹣4＝，解得x1＝4+，x
2＝4﹣．21．【分析】只要证明△ADF≌△CBE，即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝B
C，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ADF+∠ADB＝180°，∠CBE+∠DBC＝180°，∴∠ADF＝∠CBE，∵DF＝BE，∴△A
DF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．22．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用面积法求解即可．（3）根据要
求作出图形（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）AC边上的高＝＝2．（3）如图，△DEF即为所求作（答案
不唯一）．23．【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解
这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．②综上，原方程的根是x1＝2，
x2＝﹣2；故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．当x
＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．故答案为：x1＝2，x2＝﹣3
．24．【分析】（1）连接AC交BD于O，连接CF，由CF＝EF，BD垂直平分AC有CF＝AF即可得证；（2）①延长EF交CD于H
，由∠AFD＝∠CFD＝∠AFC得∠AFD＝∠FEA+∠CEF，而∠AFD＝∠FAE+∠ABF，从而∠ABF＝∠CEF即可得答案；
②首先证明MN+NG＝（AF+CF），MN+NG最小，需AF+CF最小，F与菱形ABCD对角线交点重合，再计算AC即可．【解答】解
：（1）证明：连接AC交BD于O，连接CF，如图：∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝O
C，∴BD垂直平分AC，∴CF＝AF，∴AF＝EF；（2）①延长EF交CD于H，如图：∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠
FAE+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，∵BD垂直平分AC，∴∠AFD＝∠CFD＝∠AFC，∵AF＝
CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵
∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°；故答案为：30°；②连接AC交BD于O，∵AE，EF的中点分别为M，N，G为CE中
点，∴MN＝AF，NG＝CF，∴MN+NG＝（AF+CF），∴当F与菱形ABCD对角线交点重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG
最小，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，又∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，AC＝AB＝1，∴MN+NG最小为．故答案
为：．25．【分析】（1）证△EDA≌△FDC（ASA），即可得出DE＝DF；（2）证∠DEF是等腰直角三角形，得∠DFE＝∠DE
F＝45°，再证∠DEG＝∠DGE，得DE＝DG，即可得出DG＝DF；（3）过点G作GM⊥AB于M，先由角平分线的性质得GM＝GH
，再证△BGM、△ABD是等腰直角三角形，得BG＝GM＝GH，BD＝AB，由（2）可知，DG＝DE，△DEF是等腰直角三角形，则E
F＝DE，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠ED
A＝90°，∠FCD＝∠EAD＝90°，∵DE⊥DF，∴∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠EDA，∴△EDA≌△FDC（A
SA），∴DE＝DF；（2）解：DG＝DF，证明如下：由（1）得：DE＝DF，∵∠FDE＝90°，∴∠DEF是等腰直角三角形，∴∠
DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DEG＝45°+∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABG＝45°，∴∠DGE＝∠ABG+∠BE
G＝45°+∠BEG，∵EG平分∠BEF，∴∠FEG＝∠BEG，∴∠DEG＝∠DGE，∴DE＝DG，∴DG＝DF；（3）解：AB﹣
GH＝EF，理由如下：过点G作GM⊥AB于M，如图所示：∵EG平分∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，∴GM＝GH，∵∠ABG＝45
°，∴△BGM、△ABD是等腰直角三角形，∴BG＝GM＝GH，BD＝AB，由（2）可知，DG＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∴E
F＝DE，∵DE＝DG，∴DG＝EF，∵BD﹣BG＝DG，∴AB﹣GH＝EF，∴AB﹣GH＝EF．26．【分析】（1）根据点A、B
、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y＝kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求
得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分P﹣单位正方形在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义
逐一判断即可得．【解答】解：（1）①如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）＝2；②P在x轴正半轴，由点
到直线垂线段最短可知，P在O时，最小距离d＝＝2＜3，故P在ACA与x轴交点右侧，过C作CE⊥x轴于E，∴CE＝DE＝2，则PC＝
3，故PE＝，∴OP＝4+2+，故P（6+，0）；（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y＝k
x（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，
﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）正方形与△ABC的位置关系分
三种情况：①当P﹣单位正方形在△ABC的左侧时，由d（P﹣单位正方形，△ABC）＝1知此时t＝﹣4；②当在P﹣单位正方形△ABC内
部时，当点P与原点重合时，d（P﹣单位正方形，△ABC）＝1，知此时t＝0；当点P位于P3位置时，由d（P﹣单位正方形，△ABC）
＝1知P3M＝2，∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°，∴∠C＝∠P3DM＝45°，则P3D＝＝＝2+，∴t＝2﹣，故此时0≤t≤2
﹣；③当在P﹣单位正方形△ABC右边时，由d（P﹣单位正方形，△ABC）＝1知P4N＝2，∵∠P4DC＝∠C＝45°，∴P4D＝＝
＝2+，∴t＝6+；综上，t＝﹣4或0≤t≤2﹣或t＝6+．四、附加题27．【分析】（1）由“三角形”坐标系的坐标特征求解即可；（
2）由“三角形”坐标系的坐标特征得点P的坐标可表示为（3，3，2），即可求解；（3）画出平行四边形，即可求解．【解答】解：（1）点
C的坐标可表示为（3，2，3），点D的坐标可表示为（5，3，0），故答案为：（3，2，3），（5，3，0）；（2）根据题意得，点P
的坐标可表示为（3，3，2），∴m＝3，故答案为：3；（3）如图所示：E点的坐标为（5，1，2）或（1，1，6）或（1，3，4）；
故答案为：（5，1，2）或（1，1，6）或（1，3，4）．28．【分析】如图2，由旋转的性质可得AF＝FE＝ED＝AD，根据有四条
边相等的四边形是菱形得四边形ADEF是菱形，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，根据旋转的性质得∠DOA＝∠FOA
＝90°，OD＝OA＝OF，可得出∠OAD＝∠OAF＝45°，则∠FAD＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形得：菱形形ADE
F为正方形，根据S四边形ABCD＝（S四边形BCMN﹣S四边形ADEF）求解即可；解决问题：如图3，以BC为边作等边三角形BCM，
将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心逆时针旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，则三角形ADE是等边三
角形，根据S四边形ABCD＝（S△BCM﹣S△ADE）求解即可．【解答】证明：如图2，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD
、OF，∵以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心逆时针旋转90°，180°，270°，而分别得到四边
形FNBA，EMNF，DCME，∴AF＝FE＝ED＝AD，∠DOA＝∠FOA＝90°，OD＝OA＝OF，∴四边形ADEF是菱形，∠
OAD＝∠OAF＝45°，∴∠FAD＝90°，∴菱形形ADEF为正方形，∴S四边形ABCD＝（S四边形BCMN﹣S四边形ADEF）
＝（42﹣22）＝3．故答案为：正方形，3；解决问题：如图3，以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的
中心逆时针旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，∵以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角
形BCM的中心逆时针旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，∴AD＝AE＝ED，∴三角形ADE是等边三角形，∴
S四边形ABCD＝（S△BCM﹣S△ADE），∵AD＝6，BC＝12，∵S△BCM＝BC?BC?sin60°＝×12×12×＝36
，S△ADE＝AD?AD?sin60°＝×6×6×＝9，∴S四边形ABCD＝（36﹣9）＝9，故答案为：9．29．【分析】（1）按照题目要求作图即可；（2）连接DB，根据四边形ABCD是菱形，可得∠DBC＝30°，∠CBE＝60°，即可得出∠DBE＝90°，再由F为BE中点，运用直角三角形性质即可证得结论；（3）连接CE，取CE中点为点M，连接FM，HM，延长HM交AB于点N，设EG＝a，DA＝b，FH＝c，运用三角形中位线定理可得HM＝a，FM＝b．∠HMF＝∠MNA＝∠ABG＝120°；过点H作HP⊥FP交FM延长线于点P，运用勾股定理即可得出结论．【解答】解（1）如图所示．（2）如图所示，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，同理∠CBE＝∠CBK＝60°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，在Rt△DBE中，F为BE中点，∴BF＝DE＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵DA＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠FDA＝∠FBA．（3）4FH2＝EG2+DA2+EG?DA．如图1所示，连接CE，取CE中点为点M，连接FM，HM，延长HM交AB于点N，不妨设EG＝a，DA＝b，FH＝c，∵H，M分别为CG，CE的中点，∴HM∥GE，且HM＝EG＝a，同理FM∥DC，且FM＝DC＝DA＝b．∴∠HMF＝∠MNA＝∠ABG＝120°；如图2所示，过点H作HP⊥FP交FM延长线于点P，在Rt△HMP中，∠HMP＝60°，HM＝a，∴MP＝a，HP＝a．∴FP＝b+a．在Rt△HMP中，∠HPM＝90°，∴HP2+MP2＝HM2，即（a）2+（b+a）2＝c2，化简得：4c2＝a2+b2+ab．即4FH2＝EG2+DA2+EG?DA． 2 / 2 |
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