2021北京通州初二（上）期末数 学一、选择题1. 当时，下列分式没有意义的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列体育运动图案中，属于轴
对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列语句中正确的是（ ）A. 16的算术平方根是±4B. 任何数都有两个平方根
C. ∵3的平方是9，∴9的平方根是3D. ﹣1是1的平方根4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）A. 用长度分别是4cm，4
cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形B. 以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形C
. 分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变D. 任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合5. 下列计算正确
是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断ADF≌CBE的是
（ ）A. ∠D＝∠BB. ∠A＝∠CC. BE＝DFD. AD∥BC7. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先
画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于
点P，那么点P表示的数是（ ）A. 2.2B. C. D. 8. 如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交A
B于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（ ）A. 6B. 3C. 12D. 4．59. 某校为了解学生的课外阅读情况，
随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：读书时间（小时）7891011学生人数610987关于
该班学生一周读书时间的数据有下列说法：①一周读书时间数据的中位数是9小时；②一周读书时间数据的众数是8小时；③一周读书时间数据的平
均数是9小时；④一周读书时间不少于9小时的人数占抽查学生的50%．其中说法正确的序号是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②③④
D. ①③④10. 如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，
以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（ ）A. B. C.
D. 二、填空题11. 如果，那么m的值是_____．12. 一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相
同，如果从中任意摸出一个球，那么摸到红球的可能性大小是_________．13. 计算，的正确结果为_____________．1
4. 如图，已知∠ABC=∠BAD，添加一个条件使△ABC≌△BAD，你添加的条件是______15. 用一个的值说明命题“如果，
那么”是错误的，这个值可以是a＝_____．16. 已知，那么的值为_______．17. 如图中的每个小方格都是边长为1的正方形
，那么∠ABC的度数是_____．18. 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的
方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿
着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是_____
_______________．19. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用27
00元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是______________
_________．20. 给出表格：0.00010.011100100000.010.1110100利用表格中的规律计算：已知，
则____．（用含的代数式表示）三、解答题21. 计算：22. 解方程：．23. 如图，点在线段上，，，.求证：. 24. 计算：
．25. 已知，求代数式的值．26. 如图，在ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠A
BC＝40°，求∠DEC度数；（2）求证：BC＝2AB．27. 为了解某校八年级学生的物理和生物实验操作情况，随机抽查了40名同学
实验操作的得分（满分为10分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．（1）这40
个样本数据平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；（2）扇形统计图中m的值为 ；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是
；（3）若该校八年级共有480名学生，估计该校物理和生物实验操作得满分的学生有多少人．28. 下面是小明同学设计的“过直线外
一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线和直线外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥直线． 作法：如图2，①在直
线上取一点A，连接PA；②作PA的垂直平分线MN，分别交直线，线段PA于点B，O；③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一
点Q；④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，∴，，∵，∴．∴．∴PQ∥（ ）（填推理的依据）．29. 如图，将ABC
绕点B顺时针旋转90°得到DBE（点A，点C对应点分别为点D，点E）．（1）根据题意补全图形；（2）连接DC，CE，如果∠BCD＝
45°．用等式表示线段DC，CE，AC之间数量关系，并证明．30. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<6
0°），点A关于射线CP对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含的代数式
表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题1. 当时，下
列分式没有意义的是（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.【详
解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.【点睛】本题考查分式有意义条件,关键在于牢记有意义条件.2. 下列体育运动图案中，
属于轴对称图形是（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解
：通过观察，选项A、C、D中的图形不是轴对称图形，选项B是轴对称图形，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，理解定义，能找到
对称轴是解答的关键．3. 下列语句中正确的是（ ）A. 16的算术平方根是±4B. 任何数都有两个平方根C. ∵3的平方是9，∴
9的平方根是3D. ﹣1是1的平方根【3题答案】【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义分别分析即可判定．【详解】解
：A、16的算术平方根是4，故选项错误；B、0的平方根是0，只有一个，故选项错误；C、9的平方根是±3，故选项错误；D、-1是1的
平方根，故选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞
0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没
有平方根．4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）A. 用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角
形B. 以长度分别是5cm，4cm，3cm的线段为三角形三边，能构成直角三角形C. 分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的
值不变D. 任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据随机事件的定义、三角形的三
边关系、勾股定理、分式的性质、等腰三角形的性质对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A、用长度分别是4cm，4cm，9cm的细木条
首尾顺次相连不可能组成一个等腰三角形，是不可能事件，故此选项不符合题意；B、∵32+42=52，∴以长度分别是5cm，4cm，3c
m的线段为三角形三边，能构成直角三角形是必然事件，故此选项不符合题意；C、分式的分子、分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变是必
然事件，故此选项不符合题意；D、任意画一个三角形，恰好是同一条边上的高线与中线重合是随机事件，故此选项符合题意，故选：D．【点睛】
本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，还涉及三角形的三边关系、勾股定理的逆定理、分式的性质、等腰三角形的性质等知识，理解随
机事件的定义是解答的关键．5. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次根式
的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意；B、，此选项计算错误，不符合题意；C、，此选项计算正确，符
合题意；D、，此选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，解题的关键是准确利用公式计算．6.
如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断ADF≌CBE的是（ ）A ∠D＝∠BB. ∠A＝∠CC
. BE＝DFD. AD∥BC【6题答案】【答案】A【解析】【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【详解】解：、添加，由全等三角形的判定定理不能判定，故本选项正确；、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；、添加，由
全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误；、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项错误．故选：．【点睛】本题考查
三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴
上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是
（ ）A. 2.2B. C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意可知为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB的
长度，从而得出OP长度，即可选择．【详解】∵ ∴为直角三角形．∴在中，．根据题意可知，∴．又∵，∴P点表示的数为．故选：B．【点睛
】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出OB的长是解答本题的关键．8. 如图，在ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线E
F交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（ ）A. 6B. 3C. 12D. 4．5【8题答案】【答案】C【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90
°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB
=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB
=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，
熟记性质是解题的关键．9. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所
示：读书时间（小时）7891011学生人数610987关于该班学生一周读书时间的数据有下列说法：①一周读书时间数据的中位数是9小时
；②一周读书时间数据的众数是8小时；③一周读书时间数据的平均数是9小时；④一周读书时间不少于9小时的人数占抽查学生的50%．其中说
法正确的序号是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据可知该
班有学生40人，从而可以求得中位数、众数和平均数，再求出读书时间不少于9小时的人数的占比，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，该
班有学生为：6+10+9+8+7=40人第20、21位读书时间分别为9、9∴该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，一周
读书时间数据的平均数为=9小时一周读书时间不少于9小时的人数占比为故①②③正确；故选：A．【点睛】本题考查众数、中位数和平均数，解
答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数、中位数和平均数．10. 如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长
为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4
，那么线段AE的长度是（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】A【解析】【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分
线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，根据作
图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：AB?AC＝BC?AE，∴5AE＝12，∴AE＝．
故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关
键．二、填空题11. 如果，那么m的值是_____．【11题答案】【答案】3【解析】【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】∵
∴m=3故答案为：3．【点睛】此题主要考查二次根式运算，解题的关键是熟知二次根式的性质．12. 一个不透明的盒子中装有2个红球，1
个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，如果从中任意摸出一个球，那么摸到红球的可能性大小是_________．【12题答案】【答案】
【解析】【分析】用红球的个数除以球的总个数即可求得摸到红球的概率．【详解】解：在一个不透明的口袋中，装有2个红球，,1个白球和1个
黄球，它们除颜色外都相同，∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为；故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比，正确理解并运用概率公式求解是解题的关键．13. 计算，的正确结果为_____________．【13题答案
】【答案】【解析】【分析】根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．【详解】解：===，故答案为：．【点睛】本题考
查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．14. 如图，已知∠ABC=∠BAD，添加一个
条件使△ABC≌△BAD，你添加的条件是______【14题答案】【答案】答案不唯一：如（或或）【解析】【详解】试题分析：本题的答
案不唯一，可以根据SAS、AAS和ASA来进行判定三角形全等.考点：三角形全等的判定15. 用一个的值说明命题“如果，那么”是错误
的，这个值可以是a＝_____．【15题答案】【答案】-3【解析】【分析】根据有理数的乘方法则计算，将赋值，计算的值，判断即可．【
详解】当时，>1，而<1，∴命题“如果，那么”是假命题，故答案为：-3(答案不唯一)．【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一
个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，解答本题的关键是举出一个反例
即可．16. 已知，那么的值为_______．【16题答案】【答案】-1【解析】【分析】根据二次根式与平方的非负性即可求解．【详解
】∵，∴3+a=0，b-2=0，解得：a=-3，b=2，∴a+b=-3+2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查代数式求值，
解题的关键是熟知二次根式与平方的非负性．17. 如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是_____．【17题答
案】【答案】45°【解析】【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解．【详解】由图可知：，，，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．18. 数学课上，
同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上
，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3
）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是____________________．【18题答案】【答案】
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【解析】【分析】根据角平分线的判定定理即可得出答案．【详解】∵作图时使用同一把尺子
，尺子的宽度是一致的，∴点D到OA和OB的距离是一样的，∴射线OD是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上）．故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线判定定理
是解题关键．19. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与
用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是_______________________．
【19题答案】【答案】【解析】【分析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4
500元购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．【详解】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买
A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，可得．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂
题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．20. 给出表格：0.00010.011100100000.010.1110100利
用表格中的规律计算：已知，则____．（用含的代数式表示）【20题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意易得，然后问题可求解．【详
解】解：由，则；故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题21. 计算：【21
题答案】【答案】【解析】【分析】分别进行零指数幂运算、算术平方根运算、立方根运算、绝对值运算即可解答．【详解】解：原式= =．【点
睛】本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解答的关键．22. 解方程：．【22题答案】【答案】无解【解
析】【分析】本题的最简公分母是x-2，等式两边都乘以x-2，化简求解，最后检验即可．【详解】解：原方程整理得：，去分母得：，移项合
并得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母中，，∴是增根， ∴原方程无解．【点睛】本题主要考查的是分式方程，把分式方程转化为整式方
程，最后检验是解答本题的关键是．23. 如图，点在线段上，，，.求证：. 【23题答案】【答案】证明见解析【解析】【分析】若要证明
∠A=∠E，只需证明△ABC≌△EDB，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC，可得∠ABC=∠B
DE，因此利用SAS问题得解.【详解】∵DE//BC∴∠ABC=∠BDE在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS)∴∠
A=∠E24. 计算：．【24题答案】【答案】【解析】【分析】先利用平方差公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式合并即可．【详解
】解：原式= ==．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握化二次根式为最简二次根式是解题的关键．25. 已知，求代数式的值．【
25题答案】【答案】【解析】【分析】直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则进行化简，再把a的值代入即可得出答案．【详解】解：
原式= = = ∵，∴原式=【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．26. 如图，
在ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；（2）求证：
BC＝2AB．【26题答案】【答案】（1）40°；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由角平分线的定义求出，再由等边对等角和三角
形的外角性质，即可求出答案；（2）过点E作EF⊥BC于点F，先得到EA＝EF，然后证明△AEB≌△FEB，则AB=FB，然后得到B
C＝2AB．【详解】（1）解： ∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴ . ∵EB＝EC，∴ . ∵∠DEC是△EBC的一个外角
，∴. （2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，如图：∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF. 在Rt△AEB 和Rt△FEB
中∵ ∴ △AEB≌△FEB （HL） ∴ AB=FB（全等三角形的对应边相等） ∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB. ∴
BC＝2AB．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，解题的关键是熟
练掌握所学的知识，正确的进行解题．27. 为了解某校八年级学生的物理和生物实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分（满分为
10分）．根据获取的样本数据，制作了下面的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题．（1）这40个样本数据平均数是
，众数是 ，中位数是 ；（2）扇形统计图中m的值为 ；扇形统计图中“6分”所对的圆心角的度数是 ；（3）若该校八
年级共有480名学生，估计该校物理和生物实验操作得满分的学生有多少人．【27题答案】【答案】（1）8.3；9；8；（2）30；36
°；（3）84人【解析】【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可；（2）用1减去6、7、8、10分所占的扇形统计图中的
百分比得m所占的百分比，再用360°乘以6分所占的百分算即可得解；（3）用八年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解．【详解
】解：（1）这40个样本数据平均数是分由条形图可知：众数是9分，，所以中位数在从小到大排列第20和第21的平均值，由条形图可知是8
分；故答案为：8.3；9；8；（2）故m的值为：30；，故所对的圆心角的度数是36°；故答案为：30；36°；（3）40名同学中，
满分占比为7÷40＝17.5%，因此八年级全体同学物理和生物实验操作得满分的学生为：17.5%×480＝84（人）．【点睛】本题考
查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项
目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．28. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线和直线外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥直线． 作法：如图2，①在直线上取一点A，连接PA；②作PA的垂直平
分线MN，分别交直线，线段PA于点B，O；③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；④作直线PQ，所以直线PQ为所求作
的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵直线MN是
PA的垂直平分线，∴，，∵，∴．∴．∴PQ∥（ ）（填推理的依据）．【28题答案】【答案】（1）见解析；（2）AO，∠AOB，OB
，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行【解析】【分析】（1）根据题中描述即可作图；（2）根据垂直平分线的性质证明，得到，即可
根据平行线的判定定理证明．【详解】（1）用直尺和圆规，补全图形如下； （2）证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，∴，， ∵， ∴，
∴， ∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AO，∠AOB，OB，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行．【点睛】此
题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、平行线的判定定理．29. 如图，将ABC绕点B顺时针旋转90°
得到DBE（点A，点C的对应点分别为点D，点E）．（1）根据题意补全图形；（2）连接DC，CE，如果∠BCD＝45°．用等式表示线
段DC，CE，AC之间的数量关系，并证明．【29题答案】【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的定
义即可作图；（2）根据旋转的性质得到，△CBE是等腰直角三角形，得到，由已知条件可得，根据勾股定理和等量替换即可证明．【详解】（1
）根据题意补全图形（2）结论：.证明：由题意可知，.∴ ，.∴△CBE是等腰直角三角形.∴.∵，∴.在Rt△DCE中.∴．【点睛】此题主要考查旋转与几何综合，解题的关键是熟知旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质．30. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．【30题答案】【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°；（4）；证明见解析【解析】【分析】（1）根据对称性即可补全图形；（2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解；（3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解；（4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到．【详解】（1）依题意补全图形；（2）解： 连接CD.∵线段AC和DC关于射线CP的对称，∴，. ∵△ABC是等边三角形，∴，. ∴，.∴.（3）根据对称性可得=∵∴∠AEB==60°（4）结论：. 在EB上截取，连接AF.∵，∴△AEF是等边三角形，∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴. ∴ .在△BAF 和△CAE中∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS） ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等） ∵点A和点D关于射线CP的对称，∴ AE=DE.∴．【点睛】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 1 / 1 |
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