2021北京一零一中学初二（上）期中数 学一、选择题：本大题共10小题，共30分.1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国
古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中
，不是轴对称图形的是 A．B．C．D．2．（3分）如图，，，，，则的长是 A．B．C．D．3．（3分）计算的结果是 A．B．C．D
．4．（3分）下列运算正确的是 A．B．C．D．5．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是 A．B．
C．D．6．（3分）如图，在中，，点在的延长线上，，则是 A．B．C．D．7．（3分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的
周长为13，，则的周长为 A．14B．18C．23D．288．（3分）如图，、是两个居民小区，快递公司准备在公路上选取点处建一个服
务中心，使最短．下面四种选址方案符合要求的是 A．B．C．D．9．（3分）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方
形铁片，则剩余部分面积是 A．B．C．D．10．（3分）如图1，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图2，点和点分别为，上的动点，把
纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是 A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，共24分.11．（3
分）计算： ．12．（3分）在中，，，则 ．13．（3分）已知一个正多边形的每个外角都等于，则这个正多边形是 边形．14．（3分）
等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．15．（3分）如图，与交于点，且．请添加一个条件使得，这个条件是：
（写出一个即可）．16．（3分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套
进衣服后松开即可．如图1，衣架杆，若衣架收拢时，，如图2，则此时，两点之间的距离是 ．17．（3分）若表示一种新的运算，其运算
法则为，则的结果为 ．18．（3分）如图，中，，平分，于点，于点，且与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③；④．其
中正确结论的序号是 ．三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题，每题6分；第
25、26题，每题7分）19．（5分）先化简，再求值：，其中．20．（5分）如图，已知平分，．求证：．21．（6分）下面是小明同学
设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：（如图，求作：一个角，使它等于．作法：如图①在的两边上分别任取一点，；②以点为圆
心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点；③连接，．所以即为所求作的角．请根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆
规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明．证明：连接，， ， ， （填推理依据）．．22．（5分）如图，平分，，，求与的度
数．23．（5分）如图所示， 边长为 1 的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上 ．（1） 作关于关于轴的对称图形， （其 中、
、的对称点分别是、、，并写出点坐标；（2）为轴上一点， 请在图中画出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标 ．24．（6分）【
知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同
类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是：原式，代数式的值与的取值无关，，解得．【理解应用】（1）若关
于的多项式的值与的取值无关，求值；（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按
照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终
保持不变，求与的等量关系．25．（7分）如图，在中，，过点作于点，点在内部，连结，，，其中，分别平分，．（1）求的度数；（2）试判
断的形状，并说明理由．26．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形．（1）直接写出点的纵坐标；
（2）如图2，于点，点关于轴的对称点为点，则点的纵坐标为 ；连接交于，则的长为 ．（3）若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等
边，当最短时，求点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）参考答案一、选择题：本大题共10小题，共30分.1．【
分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项不
合题意；、不是轴对称图形，故本选项符合题意；、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图
形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．【解答】解：，，，，．故
选：．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．3．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可
得答案．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．【分析】各式计算得到结果
，即可作出判断．【解答】解：、原式，符合题意；、原式，不符合题意；、原式，不符合题意；、原式不能合并，不符合题意，故选：．【点评】
此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．【分析】首先设第三根木棒长为，根据三
角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案．【解答】解：设第三根木棒长为，由题意得：，，选项符合题意，故选：．【点评
】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．6．【分析】根据三角形外角性质
得出，再代入求出答案即可．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意
：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7．【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明的周长，再求出解答即可．【解答】解：
的垂直平分线分别交，于点，，，，，，的周长，的周长为，故选：．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．8．【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．【解答】解：根据题意得，在公路上选取点，使最短．则选项 符
合要求，故选：．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问
题的能力．9．【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可．【解答】解：剩余部分面积：；故选：．【点评
】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键．10．【分析】由等腰三角
形的性质得出，如图3，在四边形中，，可得出，则可得出答案．【解答】解：如图1，，为中点，，，，如图3，与交于点，把纸片沿折叠，，在
四边形中，，，，，，，由图1可知，．故选：．【点评】本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是
解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，共24分.11．【分析】直接利用单项式乘以多项式计算得出答案．【解答】解：原式．故答案为：
．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到
答案．【解答】解：在中，，则，由题意得，解得：，，故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解
题的关键．13．【分析】多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．【解答】解：设所求正边形边
数为，则，解得．故正多边形的边数是6．故答案为：六．【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运
算、变形和数据处理．14．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
此时能组成三角形，周长；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长．综上所述，这个等腰三角形的周长是
10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．15．【分析】根据三角形全等的判定方法
填空．【解答】解：已知，（对顶角相等），则添加一组对应边相等即可．故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：，在和中，，，故答
案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全
等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等
边三角形进行解答即可．【解答】解：，，是等边三角形，，故答案为：18【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是的等腰三角
形的等边三角形进行分析．17．【分析】根据新定义运算法则进行列式，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减．【解答】解：原式，故答案为：
．【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．18．【分析】利用等腰直角三角形的性质可得①是正确的，
利用可判定③④的正确；利用可得，根据等腰三角形的三线合一可知，显然，由此可得②不正确．【解答】解：，，为等腰直角三角形，，①正确；
，，，．．在和中，，．，．平分，，，．在和中，，．，，．③正确；，．．④正确；，，是的平分线，，不是的中点，即，，．②不正确．综上
，正确的结论为：①③④．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形是性
质，角平分线的定义，证明是解题的关键．三、解答题：（本大题共8小题，共46分.第19、20、22、23题，每题5分；第21、24题
，每题6分；第25、26题，每题7分）19．【分析】直接利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式分别化简，进而合并同类项，再把已知数据
代入求出答案．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用整式乘法运算是解题关键．20．
【分析】根据角平分线的定义得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：平分，，在与中，，，．【点评】本题考查了全等
三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．21．【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．【解答】解：（1）如图2，即为补全的图形；（2）证明：连接，，，，．．故答案为：，，
边边边．【点评】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．22．【分析】根据角平分线的定义，由平分，得．
根据三角形外角的性质，得，故．根据平角的定义，得，那么．根据三角形外角的性质，得．【解答】解：平分，．，．，．．【点评】本题主要考
查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．23．【分析】（1） 分别作出点，，
关于轴的对称点， 再顺次连接即可得；（2） 由是定值知的周长最小即最小， 据此连接，与轴的交点即为所求 ．【解答】解： （1） 如
图所示，即为所求， 其中点坐标为．（2） 如图所示， 点即为所求， 其坐标为．【点评】此题主要作图轴对称变换， 关键是正确确定组成
图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质 ．24．【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整
理为，令系数为0，即可求出；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案；（3）设，由图可知，，即
可得到关于的代数式，根据取值与可得．【解答】解：（1），其值与的取值无关，，解得，；（2），，，的值与无关，，即；（3）设，由图可
知，，，当的长变化时，的值始终保持不变．取值与无关，，．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运
算顺序和法则及由题意得出关于的方程是解题的关键．25．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得，根据角平分线的定义得，由三角形的
内角和定理即可求解；（2）延长交于，根据等腰三角形的性质可得，，根据线段垂直平分线的性质得，可得，由得，则，可得，由三角形的内角和
定理得，根据周角的定义可得，即可得出结论．【解答】解：（1），，，分别平分，．，；（2）是等腰直角三角形，理由如下：延长交于，，平
分，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形．【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三
角形的性质是解题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形的性质可得，即可求解；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，由等
腰三角形的性质可得，可求，可得点纵坐标，即可求点纵坐标，由“”可证，可得；（3）由“”可证，可得，即点在过点且垂直的直线上运动，则
当时，有最小值，由直角三角形的性质可求，，即可求解．【解答】解：（1）如图1，过点作于，点的坐标为，，为等边三角形，，，，点的纵坐标为4；（2）过点作于，过点作于，连接，连接交于，，是等边三角形，，，，又，，，点的纵坐标为6，点关于轴的对称点为点，点的纵坐标，轴，，，，，，是等边三角形，，，又，，，故答案为：，2；（3）如图3，当点在的右侧时，连接，延长交轴于，是等边三角形，，，，又，，，点在过点且垂直的直线上运动，当时，有最小值，过点作于，，，，，，，，的纵坐标为，则当最短时，点的纵坐标为．当点在的左侧时，同理可求点的纵坐标为．综上所述：当最短时，点的纵坐标为．【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 1 |
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