2021北京育才学校初二（下）期中数 学一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是（ ）A．a
＝1，b＝2，c＝B．a＝1，b＝2，c＝C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝2，b＝2，c＝33．（3分）下列方程中是关于x的一元
二次方程的是（ ）A．x2+＝0B．ax2+bx+c＝0C．3x2﹣2x﹣5＝3x2D．x2﹣2x＝04．（3分）已知四边形AB
CD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它
是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形5．（3分）如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ）A．﹣2B．﹣+1C．+1D．﹣
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（ ）A．4B．4C．2D
．27．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣3）2＝b的形式，则b等于（ ）A．4B．﹣4C．14D．﹣148．（
3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABC
D是矩形的是（ ）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CDD．AB∥CD9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中
，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣5）B．（0，﹣6
）C．（0，﹣7）D．（0，﹣8）10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点
E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的
结论有（ ）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）使有意义的条件是 ．12
．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．13．（3分）已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝ ．14
．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，
PF＝9，则图中阴影面积为 ．15．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为
7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．16．（3分）如图，矩形纸片
ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 ．17．（3分）直角△ABC中，∠
BAC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF＝3，则AE＝ ．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝
13cm，BC边上的高AH＝5cm，那么对角线AC的长为 cm．三、计算题：（每题5分，共10分）19．（5分）﹣（）+（）2
．20．（5分）计算：÷+（+）（﹣）四、解方程：（每题4分，共8分)21．（8分）解方程：（1）（x﹣5）2﹣9＝0；（2）x2
+2x﹣6＝0．五、解答题：（共计28分）22．已知：如图，A、C是?DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四
边形ABCD是平行四边形．23．如图，在?ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF∥AB．（1）求证：四
边形ABEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多
少．24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠B
AC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连接PC，求PC的长度．25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点
N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题
意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB＝1，若点M沿着线段
CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为 （直接写出答案）．参考答案一、选择题（共10个小题，每小题3分
，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即
可．【解答】解：A、故不是最简二次根式，故A选项错误；B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；C、故不是最简二次根式，故C选项
错误；D、故不是最简二次根式，故D选项错误；故选：B．2．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形
，故A选项不符合题意；B、∵12+22＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵32+42＝52，∴三条线段
能组成直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵22+32≠（2）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项符合题意；故选：D．3．【
分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意；B、当a≠0时，此方程是一元
二次方程，故本选项不符合题意；C、方程可化为﹣2x﹣5＝0，此方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、此方程是一元二次方程，故
本选项符合题意．故选：D．4．【分析】分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当
AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；当AC
＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，故选：D．5．【分析】本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．【解答】解：直角三角
形斜边长为，∴点M表示的数m为﹣1+．故选：D．6．【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB
＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线A
C，BD交于点O，AC＝4，∴OA＝OB＝AC＝2，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝O
A＝OB＝2．∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝＝2故选：C．7．【分析】方程常数项移项后，两边
加上一次项系数一半的平方，变形即可求出b的值．【解答】解：方程x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝
14，即（x﹣3）2＝14，则b＝14，故选：C．8．【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平
行四边形是矩形分别进行分析即可．【解答】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠ABC＝90°，∴AO＝O
B＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠BC
D＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝
CD，无法得出△ABO≌△DCO，故无法得出四边形ABCD是平行四边形，进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；D、∵AB||CD
，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠BAO＝∠ODC，∵∠AOB＝
∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴?ABCD是矩形，正确；故选：C
．9．【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题；【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边
形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，∴C（0，﹣5）．故选：A．10．【分析】延长FP交AB于点
G，证明△AGP≌△FPE，即可判断①②正确；在△PDF中，由勾股定理即可判断③正确；△APD为等腰三角形时，有AP＝DP、AP＝
AD、PD＝DA三种情况，即可判断④错误【解答】解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90
°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边
形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS
）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、
AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．二、
填空题（每题3分，共24分）11．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，解得x≤3．故
答案为：x≤3．12．【分析】把x＝1代入方程x2﹣2mx+m＝0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x
＝1代入方程x2﹣2mx+m＝0，得：1﹣2m+m＝0，解方程得：m＝1．故答案为：1．13．【分析】先求出x+y、x﹣y，再把原
式利用平方差公式变形，代入计算即可．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，x﹣y＝（+）﹣（﹣）＝2，∴x2
﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4，故答案为：4．14．【分析】过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，证明S四边形GPFD＝S四边
形EPHB，从而S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB，求出S△DPF的值即可求出整个阴影部分的面积．【解答
】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，由矩形性质可知，S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AE
P，∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，∴S四边形GP
FD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．∵GP＝AE＝2，PF＝9，∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．即图中阴影面积为S△
DPF+S△PEB＝9+9＝18．故答案为：18．15．【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C
+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．【解答】解：根据勾股定理可知，∵S正方
形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，∴S大正方形＝S正方形
C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；故答案为：17．16．【分析
】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A''DG，则A''D＝AD＝3，A''G＝AG，则A''B＝5﹣3＝2，在Rt△
A''BG中根据勾股定理求AG的即可．【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，由折叠的性质可得，△ADG≌
△A''DG，∴A''D＝AD＝3，A''G＝AG，∴A''B＝BD﹣A''D＝5﹣3＝2，设AG＝x，则A''G＝AG＝x，BG＝4﹣x，在
Rt△A''BG中，x2+22＝（4﹣x）2解得x＝，即AG＝．17．【分析】由三角形中位线定理得到DF＝BC；然后根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半得到AE＝BC，则DF＝AE．【解答】解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、F分别为AB、A
C的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE＝BC，∵DF＝3，∴DF＝AE．故
填：3．18．【分析】首先根据菱形的性质可得AB＝BC＝13cm，再利用勾股定理计算出BH的长，进而得到HC的长，然后再进一步利用
勾股定理计算出AC的长．【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝13cm，∵BC边上的高AH＝5cm，∴BH＝＝1
2cm，∴CH＝13﹣12＝1（cm），∴AC＝＝cm，故答案为：．三、计算题：（每题5分，共10分）19．【分析】①与有理数的混
合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根
式的和可以看作“多项式“．【解答】解：原式＝+3﹣﹣5+3+1+2＝+4．20．【分析】根据二次根式的除法和平方差公式可以化简题目
中的式子，然后再合并同类项即可解答本题．【解答】解：÷+（+）（﹣）＝＝3+7﹣5＝5．四、解方程：（每题4分，共8分)21．【分
析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣5）2＝9，
开方得：x﹣5＝±3，即x﹣5＝3，或x﹣5＝﹣3，解得：x1＝8，x2＝2；（2）这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵Δ＝b2﹣4a
c＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x＝＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．五、解答题：（
共计28分）22．【分析】如图，连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO＝CO，DO＝BO．【解
答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．∵四边形DEBF是平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF．又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF
+OF，即OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AF∥BE，推出四边形ABEF是平
行四边形，∠FAE＝∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAF，求得AB＝BE，于是得到四边形ABEF是菱形；（2）根据菱
形的性质得到点B与点F关于AE对称，于是得到结论．【解答】解：（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，∵EF∥AB，∴四
边形ABEF是平行四边形，∠FAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAF，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴四边
形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴点B与点F关于AE对称，∴当点P在点E的位置时，PC+PF取得最小值，最小值＝B
C＝3．24．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算
即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；
（2）作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝
AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝．25．【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性
质可得出∠ACD＝∠MCN＝45°，从而得出∠ACN＝90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE＝CE，由此即
可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）BE＝AD+CN．根据正方形的性质可得出BF＝AD，再结合三角
形的中位线性质可得出EF＝CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角
形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB＝1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出
结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，
AB＝BC，∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠CMN＝90°，CM＝MN，∴∠MCN＝45°，∴∠ACN＝∠ACD+∠MCN＝90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE＝CE＝AN．∵AE＝CE，AB＝CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE＝AD+CN．证明：∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，∴AF＝FC．∵点E是AN中点，∴AE＝EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE＝CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°．∵∠FCB＝45°，∴∠FBC＝45°，∴∠FCB＝∠FBC，∴BF＝CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2＝BC2，∴BF＝BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∴BF＝AD．∵BE＝BF+FE，∴BE＝AD+CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC＝45°，∠DCN＝45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB＝1，∴CF＝DF＝BD＝，CN＝CD＝，∴S梯形DFCN＝（DF+CN）?CF＝（+）×＝．故答案为：． 2 / 2 |
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