2021北京重点校初二（上）期中数学汇编代数式章节综合1一、单选题1．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系
是（ ）A．B．C．D．2．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知一个正方形的边长为，则该正方形的面积为（ ）A．B．C．D．
3．（2021·北京四中八年级期中）如图1，将长为宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两
个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A．B．C．D．4．（2021·北京四中八年级期中）下列运算正确的是（
）A．B．C．D．5．（2021·北京八中八年级期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A．x2+3x+6B．x
（x+3）+6C．3（x+2）+x2D．x2+5x6．（2021·北京八中八年级期中）下列运算正确的是（ ）A．a2?a5＝a1
0B．a2+a2＝a4C．（a2b）3＝a5b3D．（﹣a2）4＝a87．（2021·北京·清华附中八年级期中）下列各式运算结果为
的是（ ）A．B．C．D．8．（2021·北京·人大附中八年级期中）在下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．二、填空题9．（20
21·北京八中八年级期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，_______，若，，，且满足，则______．10
．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长
为______．的边长为______．11．（2021·北京四中八年级期中）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每
个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式
，很快得到计算结果．①______________；请参考丽丽的方法进行运算：②的值为____________．12．（2021·
北京八中八年级期中）计算a2?（﹣6ab）的结果是 ___．13．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知，则代数式的值为___
___．14．（2021·北京师大附中八年级期中）计算＝_______．15．（2021·北京·人大附中八年级期中）若x+y＝5，
xy＝6，则x2y﹣xy2的值为 ___．16．（2021·北京·清华附中八年级期中）若关于x代数式是完全平方式，则常数_____
_．17．（2021·北京四中八年级期中）计算：________；_________．18．（2021·北京八中八年级期中）已知a
＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是 ___（用“＜”连接）．三、解答题19．（2021·北京师大附中八
年级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M，N，给出如下定义：P
为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“直角距离”，记
作D（M，N）．（1）已知，则＝________，＝________；（2）已知，若，则t的取值范围是________；（3）已知
A（1，0），若坐标平面内的点P满d（P，A）＝1，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_________；
（4）已知，直线过点且垂直于y轴，若直线上存在点Q满足，则t的取值范围是________．20．（2021·北京四中八年级期中）我
国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单
独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．（1）根据表中规律，写出的展开式；（2）写出展
开式中含项的系数是____________．21．（2021·北京四中八年级期中）计算：（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．2
2．（2021·北京八中八年级期中）计算：（1）a?（a2）3?（﹣a2）；（2）4xy2?（x2yz3）；（3）2xy（x2﹣3
y2）﹣4xy（2x2+y2）；（4）（3x﹣2）（x+5）．23．（2021·北京·清华附中八年级期中）我们规定：若实数a与b的
平方差等于80，则称实数对在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”；若实数a与b的平方差等于0，则称实数对在平面直角坐标系中对应的点
为“十字点”．(1)若为“双曲点”，则a，b应满足的等量关系为______；(2)在点，，，中，是“双曲点”的有______；(3
)若点是“双曲点”，求k的值；(4)若点为“十字点”，点是“双曲点”，求x，y的值．24．（2021·北京·清华附中八年级期中）已
知，求代数式的值．25．（2021·北京·清华附中八年级期中）计算：(1)(2)(3)26．（2021·北京师大附中八年级期中）计
算：（1） （2）27．（2021·北京四中八年级期中）课堂上，老师让同学们计算．左边文本框中是小朱的解题过程．请你判断其是否正确
？如果有错误，请写出正确的解题过程．28．（2021·北京四中八年级期中）计算：（1）；（2）（3）；（4）．29．（2021·北
京·清华附中八年级期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺
数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数
学公式：______；(2)解决问题：如果，，求的值；(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．30
．（2021·北京·清华附中八年级期中）运用所学乘法公式等进行简便运算：(1)(2)(3)参考答案1．A【分析】根据幂的乘方的逆运
算可直接进行排除选项．【详解】解：∵，，，∴，，，∴；故选A．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关
键．2．A【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a
+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．3．D【分析】利用变形
前后两个图形的面积相等，建立等式即可．【详解】如图1，图形的面积为（x+1）（x-1）；如图2，图形的面积为x（x-1）+1×（x
-1）==，∴，故选D．【点睛】本题考查了图形解释平方差公式，熟练掌握图形变形前后的面积相等是解题的关键．4．C【分析】由合并同类
项、单项式乘以单项式、积的乘方、单项式除以单项式，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故
C正确；D、，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减、整式的乘除，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．5．D【分析
】由图可得，阴影部分的面积可以有三种表达方式：一个小正方形与两个小长方形的面积和；长为x+3、宽为x的长方形与长为3、宽为2的长方
形的面积和；长为x+2、宽为3的长方形与小正方形的面积和，据此求出阴影面积，即可得出答案．【详解】由图可知，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；，故C正确，不符合题意；所以选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算，用不同的方式表
达阴影部分的面积是关键．6．D【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和加法、积的乘方的计算方法逐项计算，即可判断．【详解】，故A选项
错误，不符合题意；，故B选项错误，不符合题意；，故C 选项错误，不符合题意；，故D选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查幂的
乘方、同底数幂的乘法和加法、积的乘方，掌握各运算法则是解答本题的关键．7．C【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可直接进行排除选
项．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、，计算结果不为，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，计算结果不为，
故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方是解题的关键．8．C【分析
】利用同底数幂的乘法法则计算A，利用合并同类项法则计算B，利用幂的乘方法则计算C，利用同底数幂的除法法则计算D．【详解】解：A、，
故错误，不符合题意；B. 不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；C. ，故正确，符合题意；D. ，故错误，不符合题意；故选择：
C【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法、合并同类项法则等知识点，题目难度不大，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．9．
3 80【分析】由，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得，根据同底数幂的运算及已知p+q=r，即可求得t的值．【详解】
∵∴(2，8)=3故答案为：3；由规定得：∴∵p+q=r∴∴t=80故答案为：80【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，
能熟练进行同底数幂的运算．10． 2a 2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1
B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到A
nBn＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1
B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△AnBnAn
+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌
握三角形边长的变化规律．11． 【分析】（1）添加因式，然后依次按照平方差公式计算即可；（2）将原式化为，依次按照平方差公式计算即
可．【详解】解：①故答案为：②======故答案为：【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够根据定义观察得出需要添加的因式并能进行准
确计算是解题关键．12．【分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可．【详解】∵?（﹣6ab）=，故答案为：．【点睛】本题考查了单项
式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．13．11【分析】先将原代数式化简，再将代入，即可求解．【详解】解： ∵，
∴原式 ．故答案为：11【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．14．【分析】根据积的乘方运算法
则和幂的乘方进行计算即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查了积的乘方运算法则和幂的乘方，掌握积的乘方运算法则和幂的乘方是解题的关
键．15．6或-6【分析】先利用完全平方公式并根据已知条件求出x-y的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后整体代入数据计
算．【详解】解：∵x+y=5，xy=6，∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=1，∴x-y=±1，∴x2y-xy2=xy（x-y）
=6（x-y），当x-y=1时，原式=6×1=6；当x-y=-1时，原式=6×（-1）=-6．故答案为：6或-6．【点睛】本题主要
考查了提公因式法分解因式，根据完全平方式的两个公式之间的关系求出（x-y）的值是解本题的关键，也是难点．16．±1【分析】根据完全
平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值．【详解】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，x2+4mx+4是完全平方式，∴±
4x＝4mx，∴m＝±1．故答案为：±1．【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟练应用，两种情况是
求m值得关键．17． 【分析】根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的除法即可得出答案．【详解】；．故答案为：；．【点睛】本题考查整式
的乘除，掌握幂的乘方与积的乘方和同底数幂的除法运算是解决本题的关键．18．【分析】根据幂的乘方法则的逆用将a、b、c转化为同底数形
式，即可比较大小．【详解】解：a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61
＝3122，∵3124＞3123＞3122，∴ ．故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方法则的应用，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘
方法则．19．（1）3，1；（2）或；（3）画图见解析，2；（4）．【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定
系数法求出AB的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解；（2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和y=-x+1
的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围；（3）首先设出点P的坐标为（x，y），根据题意代入表示出d（P，A）＝
1，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可．（4）设点Q的坐标为（x，t），根据题
意代入，得到，然后分情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，设AB的表达式为，将，代入得：，解得，∴，∴设线段AB上一点的坐标
为（x，-2x+2），且，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴随x的增大而减小，∵，∴当时，有最小值，最小值，∴．故答案为：3，1；（2）∵
设经过点A和点的表达式为，代入得：，解得：，∴．∴点O和“直角距离”，∵，∴，∴或；（3）设点P的坐标为（x，y），∵A（1，0）
，∴代入足d（P，A）＝1，得: ，即．当时，，即，当时，；当时，；当时，，即，当时，；当时，；∴如图所示，正方形ABCD即所有满
足条件的点P所构成的图形，∴，∴S正方形ABCD= ；（4）设点Q的坐标为（x，t），∵，∴，即．∴当时， ，解得：，应舍去；当时
， ，解得：；∴当时， ，解得：，应舍去；∴当时， ，解得：，∵，∴，∴，∴，解得：；∴当时， ，解得：，∴综上所述，t的取值范围
是．【点睛】此题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的
公式，并列出方程求解．20．（1）；（2）66【分析】（1）根据表中规律即可得；（2）根据表中规律写出的展开项，即可得．【详解】解
：（1）根据表中规律得，；（2），故答案为：66．【点睛】本题考查了整式，解题的关键是找出规律．21．（1）72；（2）3【分析】
（1）直接根据同底数幂的逆运算和乘方的逆运算进行求解即可；（2）由完全平方公式的变形进行求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵，，
∴，；（2）∵①，②∴①-②得，，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，完全平方公式的变形，解题的关
键在于能够熟练掌握相关计算法则．22．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可；（2
）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）先提取公因式，整理，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．（4）根据多项式乘多项式的运算
法则计算即可．【详解】（1）（2）；（3） ；（4） ．【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘多项
式和多单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．23．(1)(2)，(3)(4)或【分析】（1）根据题干所给“双曲点”的定义可直接
进行求解；（2）根据“双曲点”的定义分别取验算即可；（3）由题意易得，然后问题可求解；（4）根据题意易得，然后进行求解即可．(1)
解：由题意得：，故答案为；(2)解：由题意得：∵，∴是“双曲点”的有，；故答案为，；(3)解：∵点是“双曲点”，∴，解得：；(4)
解：由点为“十字点”，点是“双曲点”可得：，解得：或．【点睛】本题主要考查平方差公式、实数及二元一次方程组的解法，解题的关键是理解
“双曲点”和“十字点”的定义．24．，【分析】根据乘法公式进行整式的化简，然后再代入求解即可．【详解】解：原式==，把代入得：原式
=．【点睛】本题主要考查乘法公式及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．25．(1)(2)(3)【分析】（1）根据单项式乘
以单项式可直接进行求解；（2）先去括号，然后再利用多项式除以单项式进行求解即可；（3）把a+b看作整体，然后利用平方差公式及完全平
方公式进行化简．(1)解：原式=；(2)解：原式===(3)解：原式==．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式及整
式的运算是解题的关键．26．（1）；（2）【分析】(1)先计算积的乘方，然后再利用单项式乘单项式运算法则进行计算；(2) 运用多项
式乘以多项式的运算法则将原式展开，然后合并即可得．【详解】解：（1） ；（2） 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方和多项式
乘以多项式的运算法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘单项式的运算法则．27．错误，【分析】利用平方差公式及单项式乘以
多项式法则分别去括号，再合并同类项即可．【详解】解：错误；==．【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握平方差公式、单项式乘以多项
式法则、去括号及合并同类项法则是解题的关键．28．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】根据整式乘除法法则和乘法公式进行计算即可．
【详解】解：（1）=（2）==（3）=（4）===【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟练运用整式乘法法则和乘法公式进行计
算．29．(1)（a+b）2＝a2+2ab+b2(2)76(3)8【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．(1)解：（1）用大正方形面积公式
求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝
a2+2ab+b2；(2)解：（2）∵a+b＝10，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；(3)解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，∴ab＝8，∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．30．(1)﹣1．(2)98.01．(3)5000．【分析】（1）根据积的乘方逆运算求解即可．（2）根据完全平方公式求解即可．（3）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：（1）（﹣0.125）11×811＝＝＝（﹣1）11＝﹣1．(2)解：（2）9.92＝（10﹣0.1）2＝102﹣2×10×0.1+0.12＝100﹣2+0.01＝98.01．(3)解：（3）＝＝＝502+1+502﹣1＝5000．【点睛】本题主要考查积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键． 1 / 1 |
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