2021北京重点校初二（上）期中数学汇编等腰三角形2一、单选题1．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，AD，CE分别是△ABC的中线
和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2021·北京
·首都师范大学附属中学八年级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.
这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）A．60°B．65°
C．75°D．80°3．（2021·北京一七一中八年级期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐
标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）A．5个B．6个C．7个D．8个4．（2021·北京·首都师范大学附
属中学八年级期中）如图，将Rt过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，现有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤垂直平
分；其中正确的有（ ）A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤二、填空题5．（2021·北京·101中学八年级期中）由于木质衣架
没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=
18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm.6．（2021·北京师大附中八年级期中
）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为_______
___．7．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝_____（用含α的式子表示）
．8．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，中，，AD平分，点E线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直
平分线上，若，则的周长是___．9．（2021·北京一七一中八年级期中）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是______
___．10．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的
“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．11．（2021·北京·101中学八年级期中）等腰三角形的两条边长分别为
3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．12．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠AC
B＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．三、解答
题13．（2021·北京一七一中八年级期中）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C
不重合，若EC=ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形A
OC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图
中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：___.②若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直
接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围:P_____(用含n的代数式表示）．14．（2021·北京八中八年级
期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．参考答案1．B【分析】先根
据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平
分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=
40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选B．【点睛】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平
分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．2．D【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形
的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．【详解】∵，∴，，
设，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.故答案为D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题
的关键．3．C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解
决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点； ②若BC＝BA，则以点B为圆心，B
A为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x
轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定
、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．4．D【分析】根据翻折的性
质即可知，再根据全等三角形的性质即可判断①②③⑤正确，由于不一定等于，故不一定是等边三角形，故④错误，由此即可选择．【详解】解：将
过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，，，，，，，平分，故①②③正确，，，垂直平分，故⑤正确，不一定等于，不一定是等边三角形，故④
错误，综上可知，①②③⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定，垂直平分线的判定以及等边三角
形的判定．理解折叠后的两个三角形全等是解答本题的关键．5．18【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．6．或【分析】作CD⊥BE,根据平移定义和等腰三角形
性质可得有两种情况：当CE∥AB时; 当CE与AB不平行时.【详解】因为点A（4，3），点C（5，3），所以AC∥OB如图，当CE
∥AB时，由平移性质可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE当CE与AB不平行时，作CD⊥BE,则四边形AEDC是矩形，故E
D=AC=1,根据等腰三角形性质得DE’=DE=1,BE’=3；所以E’（6,0）故E的坐标是或故答案为：或【点睛】考核知识点：矩
形性质，等腰三角形性质，平移性质.根据题意画出相关情况是关键.7．2α．【分析】根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定
理不难求得∠A的度数；【详解】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）
°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案为：2α．【点睛】本题主要考查等腰三角
形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．8．24cm【分析】由AB=AC，
AD是△ABC的角平分线，根据三线合一的性质，可得BD=CD，又由点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，继而可得AB=CE，则
可得△ABC的周长为2DE．【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE∵AB=AC，AD平分∠BAC∴BD=CD∴AB+B
D=AC+CD=CE+CD=DE∵DE=12cm∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×12=24 cm即△ABC的周长等
于24 cm故答案为：24cm．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记
性质并准确识图是解题的关键．9．18或21【详解】分两种情况：①当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21；②当5为腰时，此三角
形的周长=8+5+5=18．10．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【详解】解：①当为顶角时，等腰
三角形两底角的度数为： ∴特征值②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值综上所述，特征值为或故答案为或【点睛】本题主要考查等腰三角形
的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．11．10或11
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长
＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰
三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键．12．2
0°【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：在中，，，，，，．故答案为：20°【点睛】本题考查了等腰
三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．13．（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2
或n+2≤t＜n+3．【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，
即可求点D坐标；②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；（2）分点E在点E在A
B的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF=DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．【详解】（1）①
如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，∵EC=ED，EF⊥OC∴DF=FC，∵点C的坐标为（2，0），∴AO=CO=2，∵点E是AO
的中点，∴OE=1，∵∠AOC=60°，EF⊥OC，∴∠OEF=30°，∴OE=2OF=1∴OF=，∵OC=2，∴CF==DF，∴
DO=1∴点D坐标（-1，0）故答案为（-1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∴OC=2．∴AO=
OC=2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE=2，∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与
坐标原点O重合，∵EC=ED，EC=2，∴ED=2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∴D点坐标为（-2，0）?如图，若
点E在边OA的延长线上，且AE=2，∵AC=AE=2，∴∠E=∠ACE．∵△AOC为等边三角形，∴∠OAC=∠ACO=60°．∴∠
E=∠ACE=30°．∴∠OCE=90°．∵EC=ED，∴点D与点C重合．这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍
去，综上所述：D（-2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∴BC=1，∴AB=AC=1∵2≤AE＜3，∴点E在AB的延长
线上或在BA的延长线上，如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=，
∵AH⊥BC，EF⊥BD∴AH∥EF∴,若AE=2，AB=1∴BE=1，∴=1∴BH=BF=∴CF==DF∴D的横坐标为：n--=
n-2，若AE=3，AB=1∴BE=2，∴=∴BF=2BH=1∴CF=DF=2∴D的横坐标为：n-1-2=n-3，∴点D的横坐标t
的取值范围：n-3＜t≤n-2，如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，同理可求：点D的横坐标t的取值范
围：n+2≤t＜n+3，综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．故答案为n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【点睛】此题考查三角形综合题，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，解题关键在于理解题意作辅助线，是中考压轴题．14．详见解析.【分析】可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.【详解】证明：在△AEB和△DEC中，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，AB=DC. ∴△AEB≌△DEC（AAS）∴EB=EC.∵F是BC中点，∴∠BEF=∠CEF.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键. 1 / 1 |
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