2021北京重点校初二（上）期中数学汇编：全等三角形1

2021北京重点校初二（上）期中数学汇编全等三角形1一、单选题1．（2021·北京四中八年级期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在
要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（?）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A．①B．②C．③D．①②③2．（202
1·北京四中八年级期中）正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（ ）A．点MB．点NC．点PD．点Q3．（2021·北
京四中八年级期中）如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若，，则的度数为（?）A．B．C．D．4．（2021·北京·101中学八年
级期中）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA=PB．下面四种选址方案，符合要求的是（
?）A．B．C．D．5．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）A． AB＝D
E，BC＝EF，AC＝DFB．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DC．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠C＝∠F6．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若的周长为13，BE
=5，则的周长为（?）A．14B．28C．18D．237．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）如图，在四边形中，对角线平分，
，下列结论正确的是（?）A．B．C．D．与的大小关系不确定8．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知图中的两个三角
形全等，则∠α等于（?）A．50°B．60°C．70°D．80°9．（2021·北京市第十二中学八年级期中）如图，若△ABC≌△D
EF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（?）A．2B．3C．5D．7二、填空题10．（2021·
北京·清华附中八年级期中）如图，在中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若，，P是直线MN上的任意一点，则的最小值是______．
11．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在中，，点D，E在边BC上，，若，，则CE的长为______．12．（2021·
北京师大附中八年级期中）如图，A、B、C、D四点共线，且AB＝CD，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，请添加一个条件使△ACE≌△B
DF，并证明．添加条件____________________．证明：13．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在△ABC中
，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且OD＝3，则△ABC的面积为________．1
4．（2021·北京四中八年级期中）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长是_________．15．（2021·北京四中八年级
期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为___________．16．（2021·北京四中八年级期中）如图，已
知，添加一个条件______________，使得．17．（2021·北京市第十二中学八年级期中）在△ABC中，若AB＝5，AC＝
7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是___．18．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，BE与CD交于点A，且．请
添加一个条件使得，这个条件是：_________（写出一个即可）19．（2021·北京八中八年级期中）如图，OP平分∠MON，PA
⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为__________．20．（2021·北京市第一六一中学八年
级期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，的周长为9，则的周长=__________．21．（2021·北京市第十二中
学八年级期中）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝_____°．22．（2021·北京师大附中八年级期中）如图
，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，
C在一条直线上.若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段______________即可．三、解答题23．（2021·北京四中八
年级期中）我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边
分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等
吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定
全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条
件可分为以下四种类型：Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相
等．（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．（2）
小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，四边形和四边形中，，，，，．求证：四边形
四边形．（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形和四边形为例，分为以下几类：①；②；③；④．其中
能判定四边形和四边形全等的是__________（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是_________
________．24．（2021·北京四中八年级期中）已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），
满足．（1）如图2，若，且，则________，_______．（2）求证：．（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．25．（2
021·北京四中八年级期中）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点M
，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．则射线是的角平分线．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，
作出射线（请保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接，．在和中，∵∴（?），∴________（
?），即平分．26．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝
DF证明：在△ABD和△ACD中，， ， ∴△ABD≌△ACD（?）∴∠ ＝∠ （?）∴AD是∠BAC的角平分线又∵DE⊥AB
于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（?）27．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，过点B作BD
⊥AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．（1）求∠AEB的度数：（2）试
判断△BEC的形状，并说明理由．28．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥
AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．29．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）已知：如图，∠B=
∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明
你的结论．30．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.参
考答案1．C【分析】根据全等三角形的判定定理解答．【详解】解：第③保留有原三角形的两个角和一条边，可以利用ASA证明两个三角形全等
，故选：C．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、ASA、AAS、SAS、HL，熟记各判定定理并熟练应用解决问题是解题的关
键．2．A【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，根据角平分线的性质解答．【详解】解：如图，作的平分线，点M在该角平分线上，∴点
M到两边距离相等，故选：A．【点睛】此题考查角平分线的性质，熟记性质定理并正确作出角平分线是解题的关键．3．B【分析】由全等三角形
的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：根据题意，∵，∴，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查了全
等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．4．C【分析】根据题意，使PA=PB，即点在的垂直
平分线上，进而观察选项即可求得答案【详解】PA=PB，点在的垂直平分线上，只有C选项的P点的位置满足题意，故选C【点睛】本题考查了
垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．5．A【分析】根据三角形全等的判定方法逐个判断即可．判定三角形全等的方法有：S
SS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．【详解】解：A、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可以根据SSS判断两个三角形
全等，符合题意；B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，两边及其一边的对角相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；C、∠A＝∠D，
∠C＝∠F，AC＝EF，不能判定两个三角形全等，，不符合题意；D、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，三组角对应相等的两个三角形不
一定全等，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的
方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．6．D【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB＋AC
，再求出BC＝2BC解答即可．【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，∴DB＝DC，BE＝EC，∵BE＝5，∴B
C＝10，∵△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝13，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝13＋10＝
23，故选：D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．A【分析】先通过在AB上
截取AE=AD，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A选项正确．【详解
】解：如图，在AB上取，对角线平分，，在和中，，，，，．故选：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的
三边关系，要求学生能根据已知条件做出辅助线构造全等三角形，并能根据全等三角形的性质得到不同线段之间的关系，利用三角形三边关系判断大
小，解决本题的关键是牢记概念和公式，正确作辅助线构造全等三角形等．8．C【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．【详
解】解：如图，∵两三角形全等，∴∠2=60°，∠1=52°，∴∠α=180°-50°-60°=70°，故选：C．【点睛】本题主要考
查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．9．A【分析】根据全等三角形的性质证得EF=BC=7，从而求得答案.【
详解】∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF= 7∴ CF=EF-EC=7-5=2故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．题目简
单，熟记全等三角形的性质是解题的关键.10．8【分析】如图，连接PB．利用线段的垂直平分线的性质，可知PC＝PB，推出PA+PC＝
PA+PB≥AB，即可解决问题．【详解】解：如图，连接PB．∵MN垂直平分线段BC，∴PC＝PB，∴PA+PC＝PA+PB，∵PA
+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，∴PA+PC≥8，∴PA+PC的最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，
线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．11．5【分析】由题意易得，然后
可证，则有，进而问题可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴（ASA），∴，∵，，∴，∴；故答案为5．【点睛】本题主要考查全等三角形的性
质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．12．∠E＝∠F（不唯一）【分析】添加条件∠E=∠F，利用AAS证明两个三角
形全等即可．【详解】解：添加条件：∠E=∠F，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠
ACE=∠BDF=90°，在△ACE和△BDF中， ，∴△ACE≌△BDF（AAS），故答案为：∠E=∠F（不唯一）．【点睛】本题
主要考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．13．30【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF
⊥AC于F，连接AO根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：
如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，连接AO∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3
，∴ ，∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC=20，∴，故答案为：30．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等
的性质，熟记性质是解题的关键．14．9【分析】由垂直平分线的性质，得到AE=CE，然后得到BE+CE=5，即可求出答案．【详解】解
：∵是中边的垂直平分线，∴，∴，∴的周长是：；故答案为：9．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，
正确得到．15．20【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝4，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：作
EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝4，∴S△BCE＝BC?EF＝×10×4＝20．故答案为
：20．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．16．或或【分析】根据全等三角形全
等的方法判断即可．【详解】解：根据SAS判定，可以添加；根据ASA判定，可以添加；根据AAS判定，可以添加；故答案为：或或．【点睛
】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．17．【分析】如图，过作 交的延长线于 证
明可得 再利用三角形的三边关系可得答案.【详解】解：如图，过作 交的延长线于 AD是BC边上的中线， 故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形中线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，作出适当的辅助线构建三角形全等是
解题的关键.18．（答案不唯一）【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定．【详解】，当时，依据ASA可
得，，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是
解题的关键．19．2【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各
点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=P
Q，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．【详解】解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥
ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故答案为：2．【点睛】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离．理解角平分线上的点到角的两边的距
离相等是解题关键．20．15【分析】根据垂直平分线的性质及定义可得AD=BD，AB=2AE=6，然后根据三角形的周长公式和等量代换
可得BC＋AC=9，从而求出△ABC的周长．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，AB=2AE=6∵的周长为9，∴AD＋D
C＋AC=9∴BD＋DC＋AC=9即BC＋AC=9∴的周长=BC＋AC＋AB=9＋6=15故答案为：15．【点睛】此题考查的是垂直
平分线的性质的应用，掌握直平分线的性质及定义是解决此题的关键．21．28【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DCE，再
根据等式的性质两边同时减去∠ACE可得结论．【详解】证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DC
E﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE＝28°．故答案是：28．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全
等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．22．DE【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD=CD，可以判断两个
三角形全等；所以AB=DE.【详解】根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC∴AB=DE
即只需要测量出线段DE即可.故答案为：DE【点睛】解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段
之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）①②③，有一组邻边和三个角对应相等
的两个四边形全等【分析】（1）可以利用正方形与矩形进行说明；（2）根据四条边对应相等，和一个角对应相等，结合图形即可写出已知与求证
．证明时可以连接AC、A1C1，转化为证明△ABC≌△A1B1C1，和△ACD≌△A1C1D1．即可证得；（3）根据条件能证明①②
③中△ABD≌△A1B1D1（SAS），和△BCD≌△B1C1D1（AAS或ASA），从而利用全等三角形的性质与等式的性质得出两个
四边形四条边对应相等，四个角对应相等，因而这两个四边形全等．【详解】解：（1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但显然不一定全等．如
图，已知AB=A1B1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，正方形ABCD和矩形A1B1C1D1不一定全等；（
2）已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠
B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1． 证明：连接AC、A1C1．∵AB=A1B1，∠B=∠B1，BC=B1C1，∴
△ABC≌△A1B1C1，∴AC=A1C1，∠BAC=∠B1A1C1，∠BCA=∠B1C1A1．又∵CD=C1D1，DA=D1A1
，∴△ACD≌△A1C1D1．∴∠D=∠D1，∠DAC=∠D1A1C1，∠DCA=∠D1C1A1，∴∠BAD=∠B1A1D1，∠B
CD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；（3）①②③；?①已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D
1中，AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1． 证
明：连接BD、B1D1．∵AB=A1B1，A=∠A1，AD=A1D1，∴△ABD≌△A1B1D1，∴BD=B1D1，∠ABD=∠A
1B1D1，∠ADB=∠A1D1B1，又∵∠ABC=∠A1B1C1，∠C=∠C1，∴∠DBC=∠D1B1C1，∴△BCD≌△B1C
1D1．∴BC=B1C1，CD=C1D1，∠BDC=∠B1D1C1，∴∠ADC=∠A1D1C1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C
1D1；同理可证明②③成立；④如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，已知AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠
B=∠B1，∠C=∠C1．显然四边形ABCD和四边形A1B1C1D1不一定全等．概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法
是：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．故答案为：①②③；有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．【点睛】本题考查了四
边形综合题，涉及的知识点有：四边形的全等，三角形全等的判定与性质，解题的关键是注意：多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全
等的问题．24．（1）36，126；（2）见解析；（3）【分析】（1），且，再结合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分线，再结合
三角形内角和定理即可求解；（2）在上截取，连接，可证，故，，从而可得，所以进而可证得：（3）由，可得，，，又是的平分线，可得，故是
的平分线，所以是的平分线，故，又，所以和的数量关系即可求解．【详解】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EA
C+∠ACE=36°，又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126（2）在上截
取，连接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=
∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等，
又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等，∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，准确
作出辅助线，熟练运用数形结合的思想．25．（1）见解析；（2），，全等三角形的对应角相等【分析】（1）根据题目中的作图步骤画图即可
；（2）根据全等三角形的判定定理和性质，补充完整即可．【详解】（1）如图所示，射线即为所求；（2）连接，．在和中，∵∴（ SSS
?），∴∠BOC（ 全等三角形对应角相等），即平分．【点睛】本题考查了角平分线的画法和全等三角形的判定与性质，解题关键是明确角平分
线画法，熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．26．，，SSS，，，全等三角形的对应角相等，角平分线上的点到角两边的距离相等【分
析】根据全等三角形的判定与性质，结合上下文以及条件，求解即可．【详解】在△ABD和△ACD中，，，∴△ABD≌△ACD（SSS）∴
（全等三角形的对应角相等）∴AD是∠BAC的角平分线又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离
相等）故答案为：，，SSS，，，全等三角形的对应角相等，角平分线上的点到角两边的距离相等【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，
角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．27．（1）∠AEB=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由见解析【分析
】（1）根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理求得∠1+∠4=45°，然后根据三角形内角和定理即可求
解；（2）利用SAS证明△BEA△CEA，易证明△BEC是等腰直角三角形．【详解】解：（1）∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD
，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠1+2∠4=90°，∴∠1+
∠4=45°，在△BEA中，∠AEB=180°-(∠1+∠4)=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由如下：在△BEA和△
CEA中，，∴△BEA△CEA(SAS)，∴BE=CE，∠AEC=∠AEB=135°，∴∠BEC=180°-∠AEC-∠AEB=1
80°-135°-135°=90°，∴△BEC是等腰直角三角形．．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的
判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．28．相等，理由见解析【分析】连接AD，证明ACD≌△ABD，可得，进而根据角
平分线的性质即可证明DE和DF相等．【详解】连接AD，如图，在△ACD和△ABD中，，∴ACD≌△ABD（SSS），即∵DE⊥AE
，DF⊥AF，∴DE＝DF．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．29．（1）见解析；（2）AM⊥DM，证明见解析．【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可；（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．【详解】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，∴MC=ME，∵M为BC的中点，∴BM=MC=ME，∵∠B=90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB；（2）AM⊥DM，证明如下：∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB//DC，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，∴AM⊥DM．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．30．见解析.【分析】根据平行线性质得∠EDA=∠DAC，由ED=AE，得∠EAD=∠EDA．证△ADB≌△ADC（SAS）可得.【详解】证明：∵ED∥AC， ∴∠EDA=∠DAC，∵ED=AE，∴∠EAD=∠EDA．∴∠EAD=∠DAC．在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS）．?∴BD=CD．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司