2021北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形全等的判定2一、单选题1．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD中，AB
=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P
的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或72．（2021·北京八中八年级
期中）下列命题中正确的有（ ）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别对应相等的
两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1B．2C．3D．43．（2021·北京八十中八年级期中）如图，AE⊥AB且AE＝
AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S是（ ）A．50B．62C．65D．684．（202
1·北京八中八年级期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ）A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B
＝∠CD．∠BDA＝∠CDA5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列判断中错误的是( )A．有两角和其中一个角的对边对应相等的
两个三角形全等B．有一边相等的两个等边三角形全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个
三角形全等6．（2021·北京八中八年级期中）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分
别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画
弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧二、填空题7．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，要测
量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一
条直线上.若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段______________即可．8．（2021·北京一七一中八年级期中）如图
，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是：________．（添加一个
即可）9．（2021·北京八中八年级期中）如图，点，，，在的边上，，且，且，于点，于点，，，，，，图中阴影部分的面积为__．10．
（2021·北京八十中八年级期中）如图，，欲使，只需添加一个条件__________，若，，可利用__________判定方法证明
．11．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_
______．（请从“、、、、”中选择一个填入）．12．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，BE与CD交于点A，且．请添
加一个条件使得，这个条件是：_________（写出一个即可）三、解答题13．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在三角
形中，，，点，分别在坐标轴上． （1）如图①，若点的横坐标为-3，点的坐标为______；（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，
过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（3）如图③，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？
若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．14．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，
AD=AM，求证：∠B=∠ANM．15．（2021·北京八中八年级期中）如图，在中，已知，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交
于点.（1）求证：≌；（2）设与相交于点，若点是的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论.16．（2021·北京·10
1中学八年级期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：∠O，求作：一个角，使它等于∠O.作法：如图：①
在∠O的两边上分别任取一点A，B；②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；③连结AC,BC ，
所以∠C即为所求作的角.请根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明． 证明：
连结AB，∵OA=AC，OB= ， ，∴≌（ ）（填推理依据）．∴∠C=∠O．17．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，D
是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．18．（2021·北京四中八年
级期中）如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.19．（2021·北京八中八年级期中）如图
，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．20．（2021·北京·清华附中八年
级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：DE＝DF．21．（2021·
北京八中八年级期中）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制
作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器
，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为，“宽臂”
的宽度，勾尺的一边为，且满足，，三点共线（所以．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，
以下是他想到的两种二等分角的方法．方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线；2．如图5，将勾尺边与已知
角边重合，沿勾尺边画直线，3．如图6，直线与交于点，作射线；射线即为的平分线．（1）证明过程：过点分别作于，于，勾尺宽臂的宽度相同
，，平分 ．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点落在边上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上；2．标记此时点所
在位置，作射线．射线是的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．22
．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，BE=CF．求证：△
ABC≌△DEF．23．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在中，D是边的中点，于点E，于点F，且．求证：平分．24．（20
21·北京八中八年级期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E． 25．（2021·北京·首都师范大
学附属中学八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．2
6．（2021·北京·101中学八年级期中）已知：如图，AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．参考答案1．C【分析】分两
种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°
，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=9
0°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△
ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．2．B【详解】根
据三角形全等的判定定理SSS，SAS，AS A，AAS，HL，可得出正确结论．解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错
误；②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；④等底等高的两个三角形不一定全等，错
误．故选B． 3．A【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由
此可以证明△EFA≌△AGB，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△CHD，GC=DH，CH=BG．故可求出FH的长，然
后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】∵如图，AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH?∠EAB=∠EFA
=∠BGA=90o，∠EAF+∠BAG=90o，∠ABG+∠BAG=90o?∠EAF=∠ABG，∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,
∠EAF=∠ABG?△EFA≌△AGB，∴AF=BG，AG=EF.同理证得△BGC≌△CHD得GC=DH，CH=BG.故FH=FA
+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S= (6+4)×16?3×4?6×3=50.故选A.【点睛】此题考查全等三角形的性质与
判定，解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.4．B【详解】试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS
对各个选项逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2
，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA
，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．故选B．考点：全等三角形的判定．5．C【详解】试题分析：对于三角形全等的判定，已
知两边和一角的情况，这个角必须是两边的夹角.考点：三角形全等的判定.6．D【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点
O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．
DE【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD=CD，可以判断两个三角形全等；所以AB=DE.【详解】根据题意可知∠B=∠D=90°
，BC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC∴AB=DE即只需要测量出线段DE即可.故答案为：DE【点睛】解答本题的关键是
设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．8．AC=
DB【分析】本题已知条件是一条公共边BC=BC和AB=CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SAS，所以添加的条
件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．【详解】添加AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC后可分别根据SAS、SSS
、SSS判定△ABC≌△DCB．故答案为：AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC．（添加一个即可）【点睛】本题考查三角
形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角
形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．50【分析】易证△AEO≌△BAH，
△BCH≌△CDF即可求得AO＝BH，AH＝EO，CH＝DF，BH＝CF，即可求得梯形DEOF的面积和△AEO，△ABH，△CBH
，△CDF的面积，即可解题．【详解】解：∵∠EAO+∠BAH＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠BAH＝∠AEO，在△AEO
和△BAH中，，∴△AEO≌△BAH（AAS），同理△BCH≌△CDF（AAS），∴AO＝BH＝3，AH＝EO＝6，CH＝DF＝4
，BH＝CF＝3，∴梯形DEOF的面积（EO+DF）?FO＝80，S△AEO＝S△ABHAO?OE＝9，S△BCH＝S△CDFCH
?BH＝6，∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，故答案为：50．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了
全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO≌△BAH，△BCH≌△CDF是解题的关键．10． AB＝DC（答案不唯一）
HL【分析】添加一个条件AB＝DC可以利用SSS定理证明△ABC≌△DCB；由已知条件利用HL可证明△ABC≌△DCB．
【详解】解：添加一个条件AB＝DC； 在△ABC≌△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；∵，，又BC=CB故可用HL判定△
ABC≌△DCB．故答案为： AB＝DC（答案不唯一）；HL．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有
：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．．【分析】根据题意得到和均为直角三角形，再由判断三角形全等，即可得出答案．【详解】由题意
可得∴和均为直角三角形在和中∴故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．12
．（答案不唯一）【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定．【详解】，当时，依据ASA可得，，故答案为：
（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．13
．（1）；（2）；理由见详解；（3）与的面积比不变；比值为【分析】（1）过点C作轴于点，通过证明可得，进而即可求得点B的坐标；（2
）延长AB与CD交于点N，先通过证明可得，再通过证明可得，进而即可得证；（3）过点C作轴于点，先通过证明可得，再通过证明可得，进而
得到，即可得证，则．【详解】（1）如下图，过点C作轴于点∵轴∴∵∴∴在与中∴∴∵点的横坐标为∴∴点的坐标为；（2）证明：如下图，延
长AB与CD交于点N∵∴∵轴∴∵∴在与中∴∴∵轴平分∴又∵轴∴在与中∴∴∴；（3）与的面积比不变；比值为如下图，过点C作轴于点∵轴
∴，∵∴∴∵∴∴在与中∴∴，∵∴又∵轴，∴在与中∴∴∵∴∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，熟练掌握相关三角形全等的
构造及全等的证明是解决本题的关键．14．证明见解析.【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠
DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．【详解】证明：∵∠BAC=∠D
AM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，∴∠BAD=∠NAM．在△BAD和△NAM中，∵AB=AN，∠B
AD=∠NAM，AD=AM，∴△BAD≌△NAM（SAS），∴∠B=∠ANM．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件
选择适当的判定定理是关键.15．（1）见解析；（2），见解析.【分析】（1）根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论
：NE?ME＝CM，作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，证明△DEF≌△CEM，推出，由此即可证明．【
详解】解：（1）证明：∵，，∴，∴∵，∴，∵，，∴在和中，∴≌；（2）结论： 证明：由（1）≌可得．作于点，又，∴，在和中，，∴≌
，∴，，∴.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于
中考常考题型．16．（1）见解析；（2）BC，AB= AB，边边边【分析】（1）根据描述利用尺规作出图形；（2）根据作图可得AO=
AC，BO=BC,AB=AB，再利用SSS判定△AOB≌△ACB即可得出∠O=∠C．【详解】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（
保留作图痕迹） （2）BC，AB= AB，边边边【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握
三角形全等的判定方法．17．见解析【分析】要直接证明∠DEA＝∠C，没有全等三角形也没有等腰三角形，不好证明，所以添加辅助线，过点
D作BC的平行线交CA的延长线于点F，可证△ADF≌△ABC，从而利用全等三角形的性质DF＝BC，从而有DE＝DF，进而通过等量代
换可得∠C＝∠DEA【详解】证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，∴∠C＝∠F．∵点A是BD的中点，∴AD＝AB．在△A
DF和△ABC中， ∴△ADF≌△ABC（AAS）∴DF＝BC，∵DE＝BC，∴DE＝DF．∴∠F＝∠DEA．又∵∠C＝∠F，∴∠
C＝∠DEA．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.18．见解析.【分析】根据平行线性
质得∠EDA=∠DAC，由ED=AE，得∠EAD=∠EDA．证△ADB≌△ADC（SAS）可得.【详解】证明：∵ED∥AC， ∴∠
EDA=∠DAC，∵ED=AE，∴∠EAD=∠EDA．∴∠EAD=∠DAC．在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS）
． ∴BD=CD．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.19．详见解析.【分析】可先利用“AA
S”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.【详解】
证明：在△AEB和△DEC中，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，AB=DC. ∴△AEB≌△DEC（AAS）∴EB=EC.∵F是BC
中点，∴∠BEF=∠CEF.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关
键.20．见解析．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，运用AAS证明△DEB≌△DFC即可．【详解】∵AB＝AC，D是BC
的中点，∴∠B=∠C，DB=DC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DE=
DF．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．21．方法一：（
1）到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；方法二：证明见解析；（2）见解析【分析】（1）方法一，利用角平分线的判定定理证明即可
．方法二：利用线段的垂直平分线的性质证明BR＝BP，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在B
C，BA上截取BM＝BN＝OP，BH＝BG＝PR，连接NH，GM交于点O，作射线BO，则BO平分∠ABC．利用全等三角形的判定和性
质证明即可．【详解】解：（1）方法一：如图6中，过点分别作于，于，勾尺宽臂的宽度相同，，平分（到角两边距离相等的点在这个角的角平分
线上）．故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．方法二：如图8中，，，，，平分．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在，上
截取，，连接，交于点，作射线，则平分．，，，，，，，，，，，，，，平分．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性
质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．2
2．答案见详解．【分析】由BE=CF可得BC=EF，然后再利用SAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明： ∵BE=CF，∴B
E+EC=FC+EC，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，
掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角
形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．见解析【分析】由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而B
E＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC
的平分线上，即AD平分∠BAC．【详解】证明：∵，D是的中点，∴． 在和中，∴，∴．又∵，∴平分．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．24．见解析【分析】根据∠BAE∠DAC，可推出∠BAC∠DAE，解题已知可证△BAC≌△DAE即可得出答案．【详解】∵∠BAE∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC∠DAC＋∠EAC，即：∠BAC∠DAE． 在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE． ∴∠C∠E．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAC≌△DAE是解题关键．25．相等，理由见解析【分析】连接AD，证明ACD≌△ABD，可得，进而根据角平分线的性质即可证明DE和DF相等．【详解】连接AD，如图，在△ACD和△ABD中，，∴ACD≌△ABD（SSS），即∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．26．见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB．在△ABC和△ABD中，∵，∴△ABC≌△ABD，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 1 |
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