2021北京重点校初二（上）期中数学汇编与三角形有关的角一、单选题1．（2021·北京一七一中八年级期中）在下列条件中：①②③④中，能确△A
BC是直角三角形的定条件有A．①②B．③④C．①③④D．①②③2．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，将沿翻折，三个顶点恰好
落在点处．若，则的度数为（ ）A．B．C．D．3．（2021·北京八十中八年级期中）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是（
）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．（2021·北京·人大附中八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=
66°，∠C=40°，将△ABC绕点B逆时针旋α转角后得到△A′BC′，此时点A恰好在线段A′C′上，则∠ABA′的度数为（ ）
A．28°B．30°C．32°D．35°5．（2021·北京四中八年级期中）如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若，，则的度数为
（ ）A．B．C．D．6．（2021·北京一七一中八年级期中）图中的两个三角形全等，则∠等于（ ）A．65°B．60°C．55°D
．50°7．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在中，，点D在BC的延长线上，，则是（ ）A．B．C．D．二、填空题8．
（2021·北京八中八年级期中）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为
___．9．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝_____（用含α的式子表示）
．10．（2021·北京·101中学八年级期中）已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为____
___．11．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，已知直线AB∥CD，∠C＝115°，∠A＝25°，则∠E等于 ______
.12．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB的度数为____
_13．（2021·北京八十中八年级期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．14．（202
1·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，
交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．15．（2021·北京八中八年级期中）等腰三角形的一个外角是140
°，则它的顶角的度数为 ___．16．（2021·北京·清华附中八年级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三
角形的底角的度数为_______．17．（2021·北京·101中学八年级期中）在中，，，则____________．三、解答题1
8．（2021·北京·人大附中八年级期中）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在C
B的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线
上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC
，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．19．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD=DE，求∠CDE的度数．20．（
2021·北京一七一中八年级期中）如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边恰好分别经过.
（1）若，则 °， °， °. （2）若则 °.（3）请你猜想一下与所满足的数量关系 . 21．（2021·北京·101中学八
年级期中）已知：如图，在中，，于，平分，，求的度数．22．（2021·北京八十中八年级期中）如图，等边三角形△AOB，点C为射线O
A上一动点，连接BC，以线段BC为边在射线OA同侧作等边三角形△CBD，连接DA．（1）求证：△OBC≌△ABD （2）在点C的运
动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．23．（2021·北京·101中学八年级
期中）如图，AD平分，，，求与的度数．24．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，过点B作BD⊥
AC于点D，点E在△ABC内部，连结AE，BE，CE，其中AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．（1）求∠AEB的度数：（2）试判
断△BEC的形状，并说明理由．参考答案1．D【详解】①∠A+∠B=∠C，根据三角形的内角和定理可得2∠C=180°，∠C=90°，
所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，根据三角形的内角和定理可得x+2x+3x=180，解得x
=30°，所以∠C=30°×3=90°，即△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°-∠B，所以∠A+∠B=90°，即可得∠C=18
0°-90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A=∠B=∠C，三角形为等边三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②
③共3个．故选D．点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理和判定一个三角形为直角三角形的方法，只要三角形中有一个内角为90°，则△A
BC是直角三角形．2．D【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD
+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数．【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在
点O处，∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，∵∠HOD+∠EOF
+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2=360°-180°=180°，∵∠1=40°，∴∠2=140°，故选：D．【
点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题
关键．3．B【分析】本题考查三角形的角之间的关系，把三个角都统一成一个角，根据内角和为180°即可求出三个角的大小.【详解】解：∵
∠A=∠B，∠A=∠C，∴2∠A=∠B，3∠A=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+3∠A=180°∴∠A=30°，
∴∠C=90°，所以三角形为直角三角形.【点睛】三角形的三个角存在关系时，统一成同一个角，再根据内角和为180°，即可求出大小.4
．C【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC=74°，根据旋转的性质可得A′B=AB，∠A′=∠BAC=74°，再根据三角形内角和
定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=66°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-66°-40°=74°
．∵将△ABC绕点B逆时针旋α转角后得到△A′BC′，此时点A恰好在线段A′C′上，∴A′B=AB，∴∠A′=∠BAC=74°，∴
∠A′=∠A′AB=74°，∴∠ABA′=180°-74°-74°=32°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性
质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．5．B【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即
可求出答案．【详解】解：根据题意，∵，∴，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌
握所学的知识，正确的进行解题．6．C【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．【详解】解：∵两个三角形全等，∠α是边a、边c的夹角
，∴∠α=180°-65°-60°=55°，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应
角相等是解题的关键．7．B【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】解：中，，点D在BC的延长线上，，
，故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是明确三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．8．【分析】在AC上截取A
E=AB，连接DE．由题意可证明．又根据“”易证，即得出，．即证明，得出．最后由三角形外角性质即可求出，从而求出结果．【详解】如图
，在AC上截取AE=AB，连接DE．∵，∴．根据题意角平分线的性质可知：，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．故答案为．【点睛】
本题考查角平分线的定义，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题
的关键．9．2α．【分析】根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠A的度数；【详解】解：∵BD⊥AC，∠CB
D＝α，∴∠C＝（90﹣α）°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°∴∠A＝
90°﹣（90﹣2α）°＝2α；故答案为：2α．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和
三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．10．135°或45°【分析】分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝
角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果．【详解】解：分两种情况： （1）当∠A为锐角时
，如图1，∵∠DOC=45°，∴∠EOD=135°，∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠A=360°-9
0°-90°-135°=45°；（2）当∠A为钝角时，如图2，∵∠F=45°，同理：∠ADF=∠AEF=90°，∴∠DAE=360
°-90°-90°-45°=135°，∴∠BAC=∠DAE=135°，综上所述，∠BAC的度数为45°或135°，故答案为：或．【
点睛】本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°是关键，解题时要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计
算．11．90°【详解】解：∵AB//CD，∴∠C=∠BFE=115°，∵∠A=25°，∴∠E=∠BFE-∠A=115°-25°=
90°.故答案为：90°.12．110°【分析】由DE与AB垂直，利用垂直的定义得到∠BED为直角，进而确定出△BDE为直角三角形
，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠B的度数，在△ABC中，利用三角形的内角和定理即可求出∠ACB的度数．【详解】解：∵DE⊥AB
，∴∠BED=90°，∵∠D=45°，∴∠B=180°-∠BED-∠D=45°，又∵∠A=25°，∵∠ACB=180°-（∠A+∠
B）=110°．故答案为110°【点睛】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是
解本题的关键．13．75°【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式
计算即可得解．【详解】如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．故答案为75°【点睛】本题主要考查了
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．14．20°【分析
】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：在中，，，，，，．故答案为：20°【点睛】本题考查了等腰三角形的性
质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．15．40°或100°##100°或40°【分析】由该等腰三角形的外角是140
°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出
顶角大小．【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：，①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；②当40°角为
底角时， 该等腰三角形顶角度数 故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解
答本题的关键．16．72°或18°##18°或72°【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据
三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，∵∠ABD=54°
，∴∠A=90°-∠ABD=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°-∠A）=72°（2）如图 当△EFG是钝角三角形
时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，∵∠HFE=54°，∴∠HEF=90°-∠HFE=36°，∴∠FEG=180°-∠HFE=
144°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°-∠FEG）=18°．故答案为：72°或18°【点睛】本题主要考查了等腰三角
形的性质和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，学会分类思想的应用是解题的关键．17．60°【分析】根据直角三
角形两个锐角互余得出，解方程组即可．【详解】解：在中，，∴，解方程组得，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组
，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组．18．（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．【分析】（1）根
据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；（3
）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24
°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在
CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据
AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴
，，∵，，∴，∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在和中， ，∴（SAS
），∴，∵，，∴，∴；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，
∴，设，则；又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中， ，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；
当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使
AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，
，∴，在和中， ，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等
三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关
键．19．∠CDE=20°．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，进而可得∠BDC＝30
°，由BD＝DE可得∠E＝∠BDC＝30°，再根据三角形外角的性质得∠ACB＝∠E＋∠CDE，即可得到∠CDE的大小.【详解】∵A
B＝AC，∠BAC＝80°，∴ ．∵∠ABD＝20°，∴∠DBC＝30°．∵BD=DE，∴ ．∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CD
E=20°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解答本题的关键
.20．（1）140，90，50；（2）35；（3）【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=14
0°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+
∠ACB=180°-∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（3）根据
三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A．【详解】解：（1）在△ABC
中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=18
0°-90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；故答案为：140；90；50．（2）在△ABC中，∵∠A=5
5°，∴∠ABC+∠ACB=180°-55°=125°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=
90°，∴∠ABD+∠ACD=125°-90°=35°，故答案为：35；（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+
∠ACD=90°-∠A．证明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．∴∠
ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A，故答案为：∠ABD+∠ACD
=90°-∠A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．21．121°【分析】先在△ABC中
根据内角和定理算出，再根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可．【详解】解：在中，，，于，，在中，，平分，，．【点睛】本题主要考查了
垂直平分线和角平分线的性质应用，结合三角形内角和定理求解是关键．22．（1）见解析；（2）变化， 或或0°【分析】（1）根据等边三
角形可得，，，可推得，可证；（2）变化，由，∠OCB=∠ADB，由对顶角性质得∠AEC=∠BED，利用三角形内角和可求∠CAD=1
80°-∠ACB-∠AEC=180°-∠EDB-∠BED=∠EBD=60°或∠CAD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°
，即可 ．【详解】证明：（1）是等边三角形，，，∵△CBD是等边三角形，∴，，∴∠OBA+∠ABC=∠ABC+∠CBD，即可，在和
中,， ；（2）变化，当点C在线段OA的延长线上设AD与BC交于E点，，∴∠OCB=∠ADB，∵∠AEC=∠BED，∴∠CAD=1
80°-∠ACB-∠AEC=180°-∠EDB-∠BED=∠EBD=60° ， ．当点C在线段OA上时，∴∠BOC=∠BAD=6
0°，∵△OAB为等边三角形，∴∠OAB=60°，∴∠CAD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°，当点C与点A重合时，∠
CAD=0°，∴∠CAD=60°或120°或0°，∴∠CAD大小发生变化．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，
对顶角性质，三角形内角和，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键．23．，．【分析】由角平
分线的定义，得，由外角的性质，即可求出的度数，结合三角形的内角和定理求出的度数．【详解】解：∵，AD平分，∴，∵，，∴，∴；【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，外角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出角的度数．24．（1）∠AEB=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理求得∠1+∠4=45°，然后根据三角形内角和定理即可求解；（2）利用SAS证明△BEA△CEA，易证明△BEC是等腰直角三角形．【详解】解：（1）∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即2∠1+2∠4=90°，∴∠1+∠4=45°，在△BEA中，∠AEB=180°-(∠1+∠4)=135°；（2）△BEC是等腰直角三角形．理由如下：在△BEA和△CEA中，，∴△BEA△CEA(SAS)，∴BE=CE，∠AEC=∠AEB=135°，∴∠BEC=180°-∠AEC-∠AEB=180°-135°-135°=90°，∴△BEC是等腰直角三角形．．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 1 / 1 |
|
