2022北京八一学校初二（下）期中数 学一、选择题（每题3分，共30分）第1－10题均有四个这项，符合题意的选项只有一个．1. 下列各式中
，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝140°，则∠B的度数为（ ）A
. 140°B. 120°C. 110°D. 100°3. 下列运算正确的是（ ）A. －＝B. ＝－3C. ＝2D. ＝＋4.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若D，E分别为边AC．BC的中点，则DE的长为（ ）A. 10B. 5C
. 4D. 35. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）A. a
∶b∶c＝2∶2∶3B. a＝3，b＝4，c＝5C. a＝1，b＝，c＝3D. ∠A＋∠B＝90°6. 如图，数轴上点M所表示的数
为m，则m的值是（ ）A. －2B. －1C. ＋1D. 1－7. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A 对角线互相平
分的四边形是平行四边形B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形D. 有两
组对角相等的四边形是平行四边形8. 如图，已知点，，将线段平移得到线段，点对应点恰好落在轴上，且四边形的面积为9，则四边形的周长为
（ ）A. 14B. 16C. 18D. 209. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O
的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）A. 2B.
3C. D. 10. 如图，在直角△ABC中，AB=BC，点D是边AC上一动点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F
，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个①△ABD≌△CBE： ②∠CDE= ∠ABD；③A
D2+CQ2=DQ2：④当AD：DC=1：2，S△BEC+S△DCE=S△DBE； ⑤当时CD=BC时，BD：EF=．A. 2B.
3C. 4D. 5二、填空题（每题3分，共18分）11. 若在实数范围内有意义，则取值范围是__．12. 比较大小： _____
___（填“＞”、“=”、“＜”）13. 如图，□ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长
为 ___________．14. 如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底
端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈＝10尺）15. 若是整数，则正整数n的最小值是_____．16. 在△A
BC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为____．三、解答题（17
题每小题3分，共12分，18－22每解题4分，23－26，每题5分，共52分）17. 计算：（1）＋－（2）×－4÷2（3）（2＋
6）2（4）（＋3）（－5）18. 下面是小明设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD
．求作：点M，使点M为边AB的中点．作法：如图，①作射线DA：②以点A为圆心，BC长为半径画弧，交DA的延长线于点E；③连接EC交
AB于点M．所以点M就是所求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证
明．证明：连接AC，EB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AEBC．∵AE＝_________，∴四边形EBCA是平行四边形（__
_______）（填推理的依据）∴AM＝MB（_________）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AB的中点．19. 如图，△
ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于D，求CD的长．20. 已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2的值
．21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE＝DF．22. 如图，
四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．23. 如图，△ABC中，D是
AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（
2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．24. 小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可
以写成另一个根号的代数式的平方，如3＋2＝（1＋）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a、b、m、n均为
整数），则有a＋b＝m2＋2mn＋2n2，a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a＋b的代数式化为平方式的方法．请你
仿照小明方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a
＝ ，b＝ ；（2）利用所探索的结论找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2（3）若a＋6＝（m＋n）2．且a、m、n
均为正整数，求a的值．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作射线BM，∠ABM＝80°．D在射线BM上，连接
AD，E是AD的中点，B关于点E的对称点为F，连接DF． （1）依题意补全图形：（2）判断AC与DF的数量关系并证明：（3）平面内
一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．26. 已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一
个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；①△AOB
与△ 全等，∠OBA＋∠ADC＝ °；②若OA＝a，OB＝b，则BD＝ ；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，在线段
BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求
出这个定值；如果变化，请说明理由．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）第1－10题均有四个这项，符合题意的选项只有一个．1.
下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是
逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】A、被开方数含分母，不最简二次
根式，不符合题意，B、，被开方数含能开的尽方的因数或因式，不符合题意，C、是最简二次根式，符合题意，D、，被开方数含能开的尽方的因
数或因式，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查最简二次根式，掌握简二次根式的定义是解题关键．2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠
A＋∠C＝140°，则∠B的度数为（ ）A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°【答案】C【解析】【分析】根据平行
四边形的性质可得，，结合已知条件即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∠A＋∠C＝140°，，，故选C【点睛】本题考
查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．3. 下列运算正确的是（ ）A. －＝B. ＝－3C. ＝2D. ＝＋【答
案】A【解析】【分析】根据二次根式加减与二次根式的性质，分别计算求解即可【详解】解：A. －＝，故该选项正确，符合题意；B. ＝3
，故该选项不正确，不符合题意；C. ＝，故该选项不正确，不符合题意； D. ＝，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查
了二次根式的性质与计算，掌握二次根式的性质是解题的关键．4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若D，E分
别为边AC．BC的中点，则DE的长为（ ）A. 10B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】首先利用勾股定理可求出AB的
长，再由三角形中位线定理可得到DE=AB，问题得解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=
，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=5，故选:B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及
勾股定理的运用，熟记性质与定理是解题的关键．5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△AB
C是直角三角形的是（ ）A. a∶b∶c＝2∶2∶3B. a＝3，b＝4，c＝5C. a＝1，b＝，c＝3D. ∠A＋∠B＝90°
【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．【详解】A. a∶b∶c＝2∶2∶3，设则不能判定△AB
C是直角三角形，故A选项符合题意；B. a＝3，b＝4，c＝5△ABC是直角三角形,故B选项不符合题意；C. a＝1，b＝，c＝3
△ABC是直角三角形,故C选项不符合题意；D. ∠A＋∠B＝90°△ABC是直角三角形,故D选项不符合题意；故选A【点睛】本题主要
考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．6. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ）A. －2B. －1
C. ＋1D. 1－【答案】B【解析】【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛
】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．7. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A. 对
角线互相平分的四边形是平行四边形B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、对
角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故B符合题意；C、两
组对边分别相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意；D、两组对角相等的四边形是平行四边形，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考
查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．8. 如图，已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴上，且四
边形的面积为9，则四边形的周长为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质可得四边形A
BCD是平行四边形，然后根据点A、B的坐标求出AB，再利用平行四边形的面积求出OC，然后利用勾股定理列式求出BC，再根据平行四边形
的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵线段AB平移得到线段CD，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（
1，0），B（4，0），∴AB=4-1=3，∵四边形ABCD的面积为9，∴3?OC=9，解得OC=3，在Rt△BOC中，由勾股定理
得，BC===5，∴四边形ABCD的周长=2（3+5）=16．故选：B．【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，勾股定理，平行四边
形的判定与性质，解题的关键是熟记性质并求出BC长度．9. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共
顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）A. 2
B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝＝，OA3＝＝，找到OAn＝的规律，即可计算OA
8的长．【详解】解：∵OA1＝1，∴由勾股定理可得OA2＝＝，OA3＝＝，…，∴OAn＝，∴OA8＝＝2．故选：A．【点睛】本题考
查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OAn＝是解题的关键．10. 如图，在直角△ABC中，AB=BC，点D是边AC上一动点，
以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个①
△ABD≌△CBE： ②∠CDE= ∠ABD；③AD2+CQ2=DQ2：④当AD：DC=1：2，S△BEC+S△DCE=S△DBE
； ⑤当时CD=BC时，BD：EF=．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得，，则
可判定①；由可得∠CDF=∠CBE，然后根据①可判定②；根据勾股定理的性质，得，通过三角形面积公式计算，得S△BEC+S△DCES
△DBE；根据等腰三角形三线合一、垂直平分线和勾股定理的性质，得AD2+CQ2=DQ2；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得，过点
F作FH⊥BE于点H，设，进而根据等腰直角三角形的性质、二次根式的计算，即可得到答案．【详解】解：∵直角△ABC中，AB=BC，等
腰直角△DBE，∴，，，∵，∴，△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，即①正确；∴，，∵，∴由三角形内角和可知∠CDF=∠
CBE，∴∠CDE=∠ABD，故②正确；∵AD：DC=1：2，∴设，，∴，∵在等腰直角△ABC中，∴，∵，∴，∵等腰直角△DBE∴
过点B作，交AC于点M，如下图，∵等腰直角△ABC∴，∴，，，∴S△BEC+S△DCES△DBE，即④错误；连接，如下图：∵BQ
⊥DE，△DBE是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴AD2+CQ2=DQ2，即③正确；∵CD=BC，∴，，∴,∴,∴，过点F作FH⊥
BE于点H，如图所示：设，∵，∴△FHE是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，即BD：EF=；故⑤正确；∴①②③⑤正确；故选：C．【点
睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及二次根式等知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角
形及勾股定理，从而完成求解．二、填空题（每题3分，共18分）11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是__．【答案】．【解析】【
分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案.【详解】解：若在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式.12. 比较大小： ________（填“
＞”、“=”、“＜”）【答案】<【解析】【详解】先把 化为 的形式，再比较被开方数的大小.本题解析: ∵=,12<13, ∴< 即
<,故答案为<.13. 如图，□ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为 _______
____．【答案】14【解析】【分析】根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．【详解】
由题意得，OB+OC=（AC+BD）=9，又∵AD=BC=5，∴△OBC的周长=9+5=14．故答案为14．【点睛】此题考查了平行
四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质．14. 如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中一个问题
：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈＝10尺）【答案】4.55【解
析】【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理求解即可得到答案
．【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺由勾股定理得解得故答案为：4.55．【点睛】本题主要考查了勾
股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．15. 若是整数，则正整数n的最小值是_____．【答案】5
【解析】【详解】 =，∵是整数，∴正整数n的最小值是5．故答案为5．16. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC
为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为____．【答案】或或【解析】【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作
出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】①如图，当时，是等腰直角三角形，,②如图，当时，过点作，交的延长线于点，，是等腰直
角三角形， ，又是等腰直角三角形在中，在中，在中，③如图，当时，是等腰直角三角形， ，在中，在中，综上所述，的长为：或或【点睛】本
题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题（17题每小题3分，共12分，18－22每解题4分，23－26
，每题5分，共52分）17. 计算：（1）＋－（2）×－4÷2（3）（2＋6）2（4）（＋3）（－5）【答案】（1） （2） （3
） （4）【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算计算即可；（2）根据二次根式的乘除混合运算进行计
算即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）根据多项式的乘法以及二次根式的混合运算进行计算即可【小问1详解】解：原式【小问2
详解】解：原式【小问3详解】解：原式【小问4详解】解：原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键
．18. 下面是小明设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边A
B的中点．作法：如图，①作射线DA：②以点A为圆心，BC长为半径画弧，交DA的延长线于点E；③连接EC交AB于点M．所以点M就是所
求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，EB．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AEBC．∵AE＝_________，∴四边形EBCA是平行四边形（_________）（填推理的
依据）∴AM＝MB（_________）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AB的中点．【答案】（1）见解析 （2）BC；一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分【解析】分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接AC，EB，根据作图
以及平行四边形的性质与判定完成证明过程即可．【小问1详解】如图所示，【小问2详解】证明：连接AC，EB．∵四边形ABCD是平行四边
形，∴AEBC．∵AE＝BC，∴四边形EBCA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∴AM＝MB（
平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AB的中点．故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
；平行四边形的对角线互相平分【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关
键．19. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于D，求CD的长．【答案】24【解析】【分析】先
利用勾股定理求出AC的长，再由三角形面积公式S△ABC=AB?CD=BC?AC，得到CD=，由此即可得到答案．【详解】解：∵△AB
C是直角三角形，AB=50，BC=30，由勾股定理有：AC2=AB2﹣BC2，∴AC= =40．又∵S△ABC=AB?CD=BC?
AC，∴CD==24；【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练运用勾股定理，特别注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角
边的乘积除以斜边．20. 已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2的值．【答案】13【解析】【分析】先将代数式变形，再计算的值，代入
代数式，根据二次根式的混合运算进行计算求解即可．【详解】解： a＝＋，b＝－，，原式=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平
方公式，将代数式化简是解题的关键．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次
根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接
BE，DF．求证：BE＝DF．【答案】见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，由SAS即可得出△ABE
≌△CDF，进而根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，在△ABE和△
CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；∴BE＝DF【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握
平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．22. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，
AD＝13．求四边形ABCD的面积．【答案】四边形ABCD的面积为36．【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及B
C的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=
直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【详解】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为
直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC==5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2
=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形ABCD=S△
ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×12×5=36．答：四边形ABCD的面积为36．【点睛】本题考查了勾股定理
，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．23. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作
CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，A
C＝，CD＝BD，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE
＝∠CED，根据等腰三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；（2）过点C作CG⊥AB于点G，根据等腰三角形
的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠CDA＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AB//CE，∴∠CAD＝
∠ACE，∠ADE＝∠CED，∵F是AC中点，∴AF＝CF，在△AFD与△CFE中，∴△AFD≌△CFE（AAS），∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，∵CD＝BD，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°，∴∠CDA
＝60°，在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，∴，在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，∴，GD＝1
，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判断、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．24. 小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如3
＋2＝（1＋）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＋b＝m2＋2mn＋2
n2，a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了把类似a＋b的代数式化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（
1）当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m、n的代数式分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；（2）利用所探索的结
论找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2（3）若a＋6＝（m＋n）2．且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】（1
）m2＋5n2，2mn； （2）21，4，1，2（答案不唯一） （3）a=46或14．【解析】【分析】（1）已知等式右边利用完全平
方公式展开，表示出a与b即可；（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；（3）根据第（1）题的结论，结合a、m、n均为正整数，
即可求解．【小问1详解】∵，又∵，∴a＝m2＋5n2，b＝2mn；故答案为m2＋5n2，2mn；【小问2详解】令m＝1，n＝2，则
a＝m2＋5n2＝1＋5×4＝21，b＝2mn＝4，∴21＋4＝（1＋2）2；故答案21，4，1，2；（答案不唯一）【小问3详解】
由（1）可知：a＝m2＋5n2，6＝2mn，∴a＝m2＋5n2，mn=3，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1
，∴a＝12＋5×32=46或a＝32＋5×12=14，即a=46或14．【点睛】本题考查了二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握完
全平方公式，是解题的关键．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作射线BM，∠ABM＝80°．D在射线BM上，
连接AD，E是AD的中点，B关于点E的对称点为F，连接DF． （1）依题意补全图形：（2）判断AC与DF的数量关系并证明：（3）平
面内一点G，使得DG＝DB，FG＝FC，求∠BDG的值．【答案】（1）见解析 （2）AC=DF；证明见解析 （3）130°或30°
【解析】【分析】（1）依题意补全图形；（2）根据作图可得四边形ABDF是平行四边形，根据平行四边形的性质结合已知条件，可得结论；（
3）分两种情况讨论，由“SSS”可证△AFC≌△DGF，可得∠FAC＝∠GDF＝130°，即可求解．【小问1详解】如图所示，【小问
2详解】∵E是AD的中点，B关于点E的对称点为F∴EF=EB，AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB＝AC
，∴AC=DF【小问3详解】如图，∵∠ABM＝80°，AF∥BD，∴∠BAF＝100°＝∠FDB，∵∠BAC＝30°∴∠FAC＝∠
BAC＋∠BAF＝130°，当点G在直线FD的下方时，∵AC＝AB＝DF，FC＝FG1，DG1＝DB＝AF，∴△AFC≌△DG1F
（SSS），∴∠FAC＝∠G1DF＝130°，∵四边形ABFD是平行四边形∴∠FDB=∠BAF＝100° ∴∠BDG1＝30°，
当点G在直线DF的上方时，同理可求∠FDG＝∠FAC＝130°，∴∠BDG＝360°?130°?100°＝130°，综上所述：∠B
DG＝130°或30°．【点睛】本题是平行四边形的性质与判定，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性
质，确定点G的位置是本题的关键．26. 已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞
OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；①△AOB与△ 全等，∠O
BA＋∠ADC＝ °；②若OA＝a，OB＝b，则BD＝ ；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，在线段BO上截取BE，使B
E＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化
，请说明理由．【答案】（1）①DCA，90；②；（2）当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°．【解析】【分析
】（1）①根据平行线的性质可得∠ACD＝∠AOB＝90°，结合已知则可证明△AOB≌△DCA，再利用全等三角形的性质即可求得∠OB
A＋∠ADC＝90°．②延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE，利用矩形的判定及性质可得DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b，即可利用勾
股定理得出结果；（2）过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD，结合已知推
出四边形OBFC是矩形，并利用三角形全等判定及性质可证明△ABD是等腰直角三角形，再矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°，即可证明结论．【详解】解：（1）①∵CD∥OB，∠MON＝90°，∴∠ACD＝∠AOB＝90°．∵AC＝OB，CD＝OA，∴△AOB≌△DCA（SAS）．∴∠OBA＝∠CAD．∵∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠OBA＋∠ADC＝90°．故答案为：DCA，90；②如图，延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE，∵△AOB≌△DCA，OA＝a，OB＝b，∴AC＝OB＝b，CD＝OA＝a．∵CD∥OB，OE＝CD，∴四边形OCDE平行四边形．∵∠OCD＝90°，∴平行四边形OCDE是矩形．∴DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b．∵BE＝OB＋OE＝a＋b，∴．故答案为：；（2）如图，过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD，∵∠MON＝90°，∴∠OBF＝∠OCF＝∠MON＝90°．∴四边形OBFC是矩形．∴OC＝BF，OB＝CF，∠F＝90°．∵AC＝OB，∴△AOB≌△DCA（SAS）．∴∠OBA＝∠CAD，AB＝AD．∵∠OAB＋∠OBA＝90°，∴∠OAB＋∠CAD＝90°．∴∠BAD＝90°．∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠ABD＝45°．∵OB＝CF，∴OE＋BE＝CD＋DF．∵BE＝OA＝CD，∴OE＝DF．∵OC＝BF，∠EOC＝∠F＝90°，∴△COE≌△BFD（SAS）．∴∠OCE＝∠FBD．∵∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°，∴∠OBA＋∠OCE＝45°．∴当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°．【点睛】此题属于全等三角形综合问题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握所学知识并灵活运用其解决问题是解题的关键． 1 / 1 |
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